高中全程复习方略配套课件：直接证明与间接证明人教A·数学理浙江专用

第六节

直接证明与间接证明三年9考高考指数:★★★1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法.1.本考点在历年高考中均有体现，主要以直接证明中的综合法为主；2.分析法的思想应用广泛，反证法仅作为客观题的判断方法，一般不会单独命题；3.题型以解答题为主，主要在与其他知识点交汇处命题.1.直接证明（1）综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出

的证明方法.②框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论).③文字表示为：“因为……所以……”或“由……得……”.④思维过程：由因导果.所要证明的结论成立(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为

（已知条件、定理、定义、公理等）为止的证明方法.②框图表示：(Q表示要证明的结论）.③文字表示为：“要证……”，“只需证……”，“即证……”④思维过程：执果索因.判定一个明显成立的条件【即时应用】(1)思考下列思维特点：①从“已知”逐步推向“未知”，即逐步寻找已知成立的必要条件.②从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”即逐步寻找结论成立的充分条件.满足综合法的是

，满足分析法的是

（请填写相应序号）.(2)已知t=a+2b,s=a+b2+1,则s,t的大小关系是

.(3)在正项等比数列{an}和正项等差数列{bn}中，a1=b1,a3=b3,a1≠a3，则a5与b5的大小关系为

.【解析】(1)由分析法、综合法的定义可判断.①满足综合法；②满足分析法.（2）由s-t=a+b2+1-a-2b=b2-2b+1=(b-1)2≥0,故s≥t.(3)由a1≠a3,得b1≠b3,所以b1≠b5,且b1>0,b5>0,又即又a1=b1,所以a5>b5.答案：（1）①

②

(2)s≥t

(3)a5>b52.间接证明（1）反证法的定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明

，从而证明

的证明方法.(2)利用反证法证题的步骤①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.简言之，否定→归谬→断言.假设错误原命题成立【即时应用】(1)判断下列说法是否正确.（请在括号内打“√”或“×”)①综合法是由因导果法

()②综合法是顺推法

()③分析法是执果索因法

()④分析法是逆推法

()⑤反证法是间接证法

()(2)用反证法证明“如果a>b,那么

”，其中假设内容应是_______.(3)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设

.【解析】(1)由分析法、综合法、反证法的定义可知①②③④⑤都正确.(2)否定结论，

的否定是(3)因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”，即“三角形三个内角都大于60°”.答案：（1）①√

②√

③√

④√

⑤√(2)

(3)三角形三个内角都大于60°

综合法的应用【方法点睛】利用综合法证题的基本思路【例1】已知x+y+z=1，求证：x2+y2+z2≥【解题指南】由基本不等式x2+y2≥2xy,得到关于x、y、z的三个不等式，将三式相加整理变形,然后利用x+y+z=1得(x+y+z)2=1从而可证.【规范解答】∵x2+y2≥2xy,x2+z2≥2xz,y2+z2≥2yz,∴2x2+2y2+2z2≥2xy+2xz+2yz,∴3x2+3y2+3z2≥x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz,即3（x2+y2+z2）≥(x+y+z)2,∵x+y+z=1,∴(x+y+z)2=1,∴3（x2+y2+z2）≥1,即x2+y2+z2≥【反思·感悟】利用综合法证明不等式是不等式证明的常用方法之一，即充分利用已知条件与已知的基本不等式，经过推理论证推导出正确结论，是顺推法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就需保证前提正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确.【变式训练】设a>0,b>0,a+b=1,求证：

≥8.【证明】方法一：∵a>0,b>0,a+b=1,∴又∵方法二：∵a+b=1,∴≥

故

等号成立的条件是a=b=分析别法的炼应用【方希法点背睛】分析摘法的你特点骆与思挖路分析赛法的催特点梦和思赛路是陕“执温果索拴因”昨，即梁从“微未知残”看盛“需步知”，逐步薯靠拢慢“已毁知”剪或本菜身已考经成害立的完定理简、性捞质或炉已经足证明污成立乱的结辜论等.通坟常采拜用“硬欲证杏——棚只需担证—炕—已略知”的格校式，在表减达中举要注转意叙朵述形恶式的汁规范.【例2】夫(2磁01蚂2·南通绸模拟滩）已和知m>壮0,镇a,勺b∈按R,求证雁：【解题尝指南】利用壮分析榴法，宪去分袜母后误移项会作差橡，最衔后变偷形可榜证.【规范中解答】∵m饿>0尼,∴采1+老m>巡寿0.所以寺要证飞原不屑等式肢成立权，只需款证明(a船+m荒b)2≤(哈1+既m)川(a2+m转b2),即证m(朝a2-2刊ab技+b2)≥酷0,即证(a各-b织)2≥0吐,而(a偿-b赤)2≥0显然终成立闸，故原圆不等去式得果证.【反思·感悟】1.逆向集思考毙是用嫁分析遥法证门题的轿主要士思想陵，通愁过反多推，贵逐步坝寻找喊使结凤论成难立的岔充分品条件.正确绒把握判转化哥方向让是使后问题旋顺利姨获解算的关路键．2.在求冲解实液际问队题时瘦，对逢于较看复杂扛的问达题，习可以御采用访两头宽凑的绕办法权，即销通过程分析焦法找殖出某领个与叶结论辱等价(或充灾分)的中霞间结寺论，臭然后穴通过斗综合稀法由丛条件密证明船这个栏中间悠结论切，使鉴原命饿题得恐证．【变式昂训练】已知a,悔b∈迟(0舱,+亭∞)伪,求证水：【证明】因为a,狐b∈认(0托,+育∞)，要蛋证原熟不等差式成喘立,只需定证即证(a3+b3)2<(扔a2+b2)3,即证a6+2四a3b3+b6<a6+3索a4b2+3调a2b4+b6.只需娘证2a3b3<3窑a4b2+3惕a2b4.因为a,霸b∈往(0盖,+祖∞)波,所以质即证2a顾b<挽3(写a2+b2),而a2+b2≥2伤ab位,3抵(a2+b2)≥阅6a怒b>缘瑞2a臣b成立,以上徒步骤泉步步全可逆,所以综合微法、寨分析售法的梢综合吐应用【方划法点观睛】综合识法与住分析霸法的浴应用激技巧综合厦法与熔分析饿法各年有特候点，花在解泉决实遥际问彩题时竞，常用把分丝式析法元与综毁合法秒综合肝起来井运用皂，通崭常用柴分析妹法分抗析，零综合椅法书腔写.峰这一堪点在被立体山几何苍中应摧用最晨为明遥显，悄同时判，在君三角宾、解司析几彼何中参也大咱多是堂利用柜分析佣法分佣析，伸用综剖合法幻玉证明予的办总法来创证明益相关味问题滤.提醒浅：综合艘法是晴从已权知条姿件出环发，背逐步滩推向风未知旦，每涉步寻活找的授是必邮要条粘件；垒分析喊法是追从待库求结驰论出钱发，互逐步堤靠拢钞已知夫，每纹步寻坝找的肃是充学分条变件.【例3】如图匪，四情边形AB艺CD是正魂方形看，PB俩⊥平面AB匠CD，MA盟⊥平面AB趋CD，PB击=A仆B=棉2M洲A.求证鲜：（1）平晨面AM冲D∥平面BP坑C；（2）平顺面PM疯D⊥平面PB捎D.【解题损指南】(1谦)欲证抚平面AM德D∥平面BP绣C，只构需证AM货∥P政B，AD之∥B扣C从而衫得AM耳∥平面PB斩C,榴AD赢∥平面PB秒C，从慰而得企证.（2）欲怪证平塑面PM什D⊥平面PB阁D，只黎需连虚接AC交BD于E，取PD中点途为F，连煤接MF、EF，即盒证AE菌⊥平面PB逆D,而AE与MF又平薪行从评而得差证.【规葱范解循答】(1斤)因佳为P端B⊥访平面染AB茎CD献，M斯A⊥劣平面勤AB蜡CD啄，所以袖PB犹∥M促A.因为波PB平面晃BP并C，弟MA平面裙PB鞭C，所以望MA压∥平代面B谅PC端.同理询，D赌A∥宰平面更BP刑C.又M建A平面绩AM棍D，捧AD平面件AM匆D,MA弟∩A陕D=读A，所以重平面蚊AM袜D∥男平面筛BP勾C.（2邪）连彻接A有C，短设A冶C∩童BD瞎=E隆,取袖PD婚中点驾F，候连接辉EF作，M顷F.因为志四边渣形A溉BC工D为咳正方告形，所以泼E为罚BD督的中刺点.因为蛮F为颠PD满中点浅，所瓶以E失FPB较，又AM杨P替B,所以惑四边困形A纹EF木M为枝平行李四边载形,所以槽MF搅∥A日E.因为程PB腿⊥平败面A匆BC朗D，辫所以掏PB之⊥A内E,又因箭为A祸BC蚊D是唉正方姥形，辞所以园AE私⊥B图D，所以荒AE狱⊥平琴面P歪BD陆，又因虫为M丛F∥看AE陆，所群以M佣F⊥万平面吊PB气D，又因负为M联F平面君PM火D，具所以尖平面宫PM愚D⊥姥平面睬PB亭D.【互薄动探惑究】在本纸例中单条件稻不变萌的情鱼况下译，如浸何证区明平都面P邀DC喘⊥平让面M妹AD英？【证乏明】∵M鼻A⊥狂平面祖AB柄CD伴，∴携MA打⊥D强C，又∵爆AB播CD孤是正拥方形拣，∴宋DC矿⊥A步D，符又∵错AD芽∩M见A=脏A，∴D嫌C⊥离平面姜MA助D，猎又∵偿DC平面右PD捉C，∴平传面P彼DC怀⊥平崖面M溉AD遗.【反思·感悟】利用猜分析酿法分回析结沿论成演立的被充分靠条件愧，探躬究面拖面平纹行需顶具备约的条趁件，安面面虚垂直千所要恭具备朋的条怠件，蛋找到筑条件尾后，孝再用兴综合预法书萍写证缓明过胞程.这是始此类促问题渗的常咱规解秒法，勇需要号灵活昆掌握.【变式滋备选】△A徐BC的三饿个内寸角A，B，C成等畅差数摧列，沸三条稍边为a、b、c,求证烘：(a射+b博)-1+(嫁b+照c)-1=3义(a李+b葛+c值)-1.【证明】∵△汁AB虫C三个签内角A，B，C成等盛差数降列，∴B=墨60杆°,由余吐弦定趣理，有b2=c2+a2-2灰ca逝co摄s6蛋0°正,得c2+a2=a碧c+弹b2，两边复同加数上ab娇+b破c，得c(兰b+婶c)筝+a氧(a扮+b瞧)=杀(a假+b膊)(泽b+硬c)考,两边帮同除鸟以(a斤+b声)(狠b+患c)，得∴即∴反证葛法的雪应用【方蓝法点身睛】1.锦反证扒法的哄解题谨原则反证剑法的柳原理摸是“队正难洽则反厕”，昂即如墙果正聋面证羊明有肺困难批时，矛或者无直接哑证明扮需要助分多费种情兔况而孩反面击只有尼一种进情况晴时，桌可以仓考虑净用反呈证法粉.2.反证观法中袍常见毒词语术的否介定形流式原词否定形式至多蒸有0个，即一夺个也忽没有至多承有n个（号即x≤凯n，n∈陈N*)至少旁有n+徐1个（吉即x>俘n⇔x≥丹n+序1,蛋n∈票N*清)至多凳有n-酒1个（即x<代n⇔岸x≤奇n-佛1,雷n∈模N*反)n个不汁都是（即肌至少么有1个不劫是）特例至多挺有1个至少提有2个至少筑有1个至少炼有n个（头即x≥砍n,仔n∈乞N*)n个都炉是【例姿4】经若a铸,b厦,c毛均为絮实数愉，且害a=谨x2-2吵y+b=壳y2-2绩z+c=暑z2-2然x+求证句：a屯,b究,c佣中至棉少有技一个赛大于剩0.【解裁题指志南】否定锋结论狗，至掏少有修一个础大于斑0的他否定各是都雾不大爬于0惭，只璃需证助a+羞b+邻c≤就0不沈成立涛即可亡，而泊后下巴结论五.【规范鹊解答】假设a,朴b,腊c都不锣大于0，即a≤离0,妥b≤烫0,时c≤伙0,则a+统b+赌c≤部0,而a+她b+当c==(哗x-绣1)2+(迈y-钳1)2+(全z-怠1)2+π翁-3终.∵π须-3何>0贯,且(x绕-1寻)2+(锐y-绳1)2+(粒z-承1)2≥0哈,∴a注+b拖+c盼>0吐,这与a+括b+益c≤浑0矛盾.因此a,励b,察c中至涉少有曲一个嫩大于0.【反思·感悟】反证乳法的务关键雹是在桶正确缺的推密理下妹得出丽矛盾睡，矛隔盾可荣以是牙：①洗与已蜓知条贷件矛鞠盾，怠②与听假设巷矛盾辈，③柳与定逮义、誉公理粘、定搁理矛常盾，技④与志事实仍矛盾越等方抬面，识反证界法常瓶常是移解决肠某些歼“疑孩难”幕问题卧的有素力工监具，纱是数肢学证遣明中诵的一却件有雄力武稀器.【变式膨训练】在△AB村C中，修∠A，∠B，∠C的对危边分释别为a,群b,剖c，若a,鸦b,秀c三边桌的倒株数成腔等差卷数列栗，求证馒：∠B<浮90寄°.【证嚷明】假设归∠B晶<9赛0°启不成椒立，坦即∠伏B≥纷90蓬°,己从而封∠B买是△趋AB否C的盆最大所角，狡∴b纽奉是△怒AB引C的尺最大川边，隐即b弯>a伶,b顽>c吩.∴相加盒得这与矛盾棋.故∠窝B≥删90闯°不袍成立崭.因此填∠B颈<9蛮0°关.【变式躬备选】已知a≥驴-1息,求证苦三个忆方程臣：x2+4胜ax何-4虽a+闷3=勤0,限x2+(盆a-烛1)游x+嘉a2=0若,x2+2呀ax储-2蜓a=炼0中至化少有衔一个脚方程切有实芳数根.【证撒明】假设炉三个炎方程定都没外有实答数根帜，则∴<a隐<-剂1.这与海已知亮a≥瓜-1各矛盾般，所岩以假工设不橡成立滚，故披原结愈论成续立.【满分批指导】不等王式证转明题盆的规且范解歇答【典绳例】状（1惜4分纽奉）(缠20废12威·常刊州模豪拟）君已知霜a,开b,映c,豪d∈合R,碌用分汽析法嗽证明佳ac心+b今d≤并指恒明等谱号何午时成吐立.【解搭题指妈南】由于质a,坚b,时c,艳d∈兵R,阳故a副c+糊bd粱≤0叫或a磨c+励bd踩>0宾,要倍分两项种情用况分渔析，美可证荡.【规稀范解杏答】（1策)当牌ac扎+b年d≤稍0时菜，≥0解,..库.2分故不黑等式搭显然脱成立占，此暗时a泛=b赢=c蚀=d塌=0纳时等抬号成愿立...阁..霞..士..5分（2驳）当既ac音+b死d>援0时酒，要呢证原翁不等苍式成反立，课只需芝证(姑ac搬+b范d)2≤(点a2+b2)(告c2+d2),..遥..求..切..仍..甜..滤..幼..酿..泊..羞..饿..值..椒.7分即证赠a2c2+2眠ab混cd星+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2...裹..窗..乌..灾..耽..纺.10际分即证涨2a痕bc液d≤归a2d2+b2c2,即烧0≤纤(b吸c-巴ad筹)2...撕..言..微..例..动..径..12污分∵a多,b裤,c添,d藏∈R口,∴上膊式恒馆成立翼，故武不等偷式成根立，公此时送等号蚊成立竖的条扰件为透bc则=a泰d.∴由剃(1专)(刻2)墨知原铃不等枕式成虑立...秀..盛..软..会..汪..敞..伐..晃..鄙..纽奉..14浑分【阅卷竟人点盘拨】通过迫阅卷叙数据蹲分析甩与总梁结，另我们伶可以类得到持以下忌失分异警示啦和备惯考建头议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：（1）不去分类，而是直接平方作差判断.（2）在平方作差变形时运算失误或对等号成立的条件说明不到位而失分.备考建议解决此类不等式证明问题，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注.（1）对常用三种不等式的证明方法：综合法、分析法、反证法的解题过程与推理形式理解不到位.（2）用反证法证题时反设错误.（3）已知条件较多，表达不清，逻辑混乱.另外要熟练掌握求差比较及简单的放缩证明等方法.1.骑(2钓01叮2·安湖州拒模拟沙）用咱反证娃法证葬明“茄如果零a>论b,析则a3>b3”，聋假设枝的内党容是找(邪)（A蒜）a3=b3（B缴）a3<b3（C咸）a3=b3且a3<b3（D检）a3=b3或a3<b3【解讲析】选D漏.反羞证法饥应否椒定结中论即尼a3≤b3,即智为a3=b3或a3<b3.2.初(2立01啊2·嘉兴偏模拟锈）在偶证明炒命题雾“对再于任怪意角θ,c