专题03图形的平移与旋转必刷压轴题

专题03图形的平移与旋转必刷压轴题选择题必练1．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则AF的最小值为（）A．2B．C．D．【答案】D【解答】解：作DM⊥AC于M，FN⊥AC于N，如图，设DM＝x，在Rt△CDM中，CM＝DM＝x，而EM+x＝2，∴EM＝﹣x+2，∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，∴ED＝EF，∠DEF＝90°，易得△EDM≌△FEN，当D在BC上时，∴DM＝EN＝x，EM＝NF＝﹣x+2，在Rt△AFN中，AF2＝（﹣x+2）2+（2+x）2＝（x+）2+4+2，此时AF2没有最小值，当D在BC的延长线上时，∴DM＝EN＝x，EM＝NF＝x+2，在Rt△AFN中，AF2＝（x+2）2+（2﹣x）2＝（x﹣）2+4+2，当x＝时，AF2有最小值4+2，∴AF的最小值为＝+1．解法二：过点A作AJ⊥BC于J，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于G，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥FG于N，过点A作AH⊥FG于H．证明△EMD≌△ENF，推出EN＝EM＝，推出点F的运动轨迹是直线FG，当AF⊥FG时，AF的值最小，最小值＝AH＝JG＝1+．故选：D．2．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【解答】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴∠PEO＝∠PFO＝90°，在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF（AAS），∴OE＝OF，PE＝PF，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴EM＝NF，PM＝PN，故①正确，∴S△PEM＝S△PNF，∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故④正确，∵OM+ON＝OE+ME+（OF﹣NF）＝2OE，是定值，故②正确，在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，故③错误，故选：B．3．如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．12B．6C．3D．1【答案】B【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN＝60°，又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，∴∠HBN＝∠GBM，∵CH是等边△ABC的对称轴，∴HB＝AB，∴HB＝BG，又∵MB旋转到BN，∴BM＝BN，在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG＝NH，根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，此时∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×24＝12，∴MG＝CG＝×12＝6，∴HN＝6，故选：B．4．如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE，则BE的最小值是（）A．﹣1B．C．D．2【答案】A【解答】解：如图，过点C作CK⊥AB于K，将线段CK绕点C逆时针旋转90°得到CH，连接HE，延长HE交AB的延长线于J．∵∠DCE＝∠KCH＝90°，∴∠DCK＝∠ECH，∵CD＝CE，CK＝CH，∴△CKD≌△CHE（SAS），∴∠CKD＝∠H＝90°，∵∠CKJ＝∠KCH＝∠H＝90°，∴四边形CKJH是矩形，∵CK＝CH，∴四边形CKJH是正方形，∴点E在直线HJ上运动，当点E与J重合时，BE的值最小，在Rt△CBK中，∵BC＝2，∠ABC＝60°，∴CK＝BC•sin60°＝，BK＝BC•cos60°＝1，∴KJ＝CK＝∴BJ＝KJ﹣BK＝﹣1，∴BE的最小值为﹣1，补充方法：AC上截取CF＝2，得三角形CFD全等于三角形CBE，DF在DF垂直AB时最小．故选：A．5．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．∴∠APF＝30°，∴在直角△APF中，AF＝AP＝，PF＝AP＝．∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+）2+（）2＝25+12．则△ABC的面积是•AB2＝•（25+12）＝．故选：A．6．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3；⑤S△AOC+S△AOB＝6+．其中正确的结论是（）A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③【答案】A【解答】解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB＝O′B，AB＝BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO′，∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′＝OB＝4．故结论②正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故结论③正确；S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′＝×3×4+×42＝6+4，故结论④错误；如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，则S△AOC+S△AOB＝S四边形AOCO″＝S△COO″+S△AOO″＝×3×4+×32＝6+，故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．故选：A．7．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点与点D重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则AC的长度为（）A．5B．6C．D．【答案】D【解答】解：∵△EBD是由△ABC旋转得到，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，∴△ABE是等边三角形，∴∠EAB＝60°，∵∠BAD＝30°，∴∠EAD＝90°，∴DE＝＝＝，∴AC＝DE＝，故选：D．8．如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm、1cm，若将正方形AEFG绕点A旋转，则在旋转过程中，点C、F之间的最小距离为（）cm．A．3B．2C．4﹣1D．3【答案】D【解答】解：如图，连接AF，CF，AC．∵正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm、1cm，∴∠B＝∠G＝90°，AB＝BC＝4cm，AG＝GF＝1cm，∴AF＝＝＝，AC＝＝＝4，∵CF≥AC﹣AF，∴CF≥3，∴CF的最小值为3，故选：D．9．如图等边△ABC中，点D，E为线段BC、AC上动点且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，连接CF，下面结论：①△ABD≌△BCE；②∠AFB＝120°；③若BD＝CD，则FA＝FB＝FC；④若∠AFC＝90°，则AF＝3BF．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS）；故①正确；∴∠BAD＝∠CBE，∵∠ADC＝∠CBE+∠BFD＝∠BAD+∠ABC，∴∠BFD＝∠ABC＝∠AFE＝60°，∴∠AFB＝120°，故②正确；∵BD＝CD，∴直线AD是BC的垂直平分线，∴BF＝CF，同理AF＝CF，∴FA＝FB＝FC，故③正确；将△ABF绕A点逆时针旋转60°得到：△ACH，延长BE至H，使FH＝AF，连接AH、CH，由（1）知∠AFE＝60°，∠BAD＝∠CBE，∴△AFH是等边三角形，∴∠FAH＝60°，AF＝AH，∴∠BAC＝∠FAH＝60°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAH﹣∠CAD，即∠BAF＝∠CAH，在△BAF和△CAH中，∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAH，AF＝AH，∴△BAF≌△CAH（SAS），∴∠ABF＝∠ACH，CH＝BF；又∵∠ABC＝∠BAC，∠BAD＝∠CBE，∴∠ABC﹣∠CBE＝∠BAC﹣∠BAD，即∠ABF＝∠CAF，∴∠ACH＝∠CAF，∴AF∥CH，∵∠AFC＝90°，∠AFE＝60°，∴CF⊥CH，∠CFH＝30°，∴FH＝2CH，∴AF＝2BF，故④错误；故选：C填空题必练10．如图，把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，若直线DF垂直平分AB，垂足为点E，连接BF，CE，且BC＝2．下面四个结论：①BF＝；②∠CBF＝45°；③∠CED＝30°；④△ECD的面积为，其中正确的结论有．【答案】①②④．【解答】解：∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，∴CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，∴△CBF为等腰直角三角形，∴BF＝BC＝2，∠CBF＝45°，所以①②正确；∵直线DF垂直平分AB，∴FA＝FB，BE＝AE，∴∠A＝∠ABF，而∠BFC＝∠A+∠ABF＝45°，∴∠A＝22.5°，∵CE为斜边AB上的中线，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠A＝22.5°，∴∠CEF＝180°﹣90°﹣2×22.5°＝45°，所以③错误；作EH⊥BD于H，如图，∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC，∴CD＝CA＝2+2，∵点E为AB的中点，∴EH＝AC＝+1，∴△ECD的面积＝•（+1）•（2+2）＝2+3，所以④正确．故答案为①②④．11．数学探究课上老师处这样一道题：“如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，试求∠APB的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求∠APB度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断（1）在图中画出△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B；（2）试判断△AP1P的形状，并说明理由；（3）试判断△BP1P的形状，并说明理由；（4）由（2）、（3）两问可知：∠APB＝．【解答】解：（1）如图，△AP1B为所作；（2）连接PP1，如图，△AP1P为等边三角形．理由如下：∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B，∴AP1＝AP，∠PAP1＝60°，∴△AP1P为等边三角形；（3）△BP1P为直角三角形．理由如下：∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B，∴BP1＝PC＝5，∵△AP1P为等边三角形，∴PP1＝AP＝3，∵PP12+PB2＝BP12，∴△BP1P为直角三角形，∠BPP1＝90°；（3）∵△AP1P为等边三角形，∴∠APP1＝60°，而∠BPP1＝90°；∴∠AP1B＝90°+60°＝150°，∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B，∴∠BPC＝∠AP1B＝150°．故答案为150°．12．在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使＝（S△PCD表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵B（3，0）平移后的对应点C（﹣2，4），∴设3+a＝﹣2，0+b＝4，∴a＝﹣5，b＝4，即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C（﹣2，4），∴A点平移后的对应点D（﹣4，2），（2）∵点C在y轴上，点D在第二象限，∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移（2+y）个单位，符合题意，∴C（0，2+y），D（﹣2，y），连接OD，S△BCD＝S△BOC+S△COD﹣S△BOD＝OB×OC+OC×2﹣OB×y＝7，∴y＝2，∴C（0，4）．D（﹣2，2）；（3）设点P（0，m），∴PC＝|4﹣m|，∵＝，∴|4﹣m|×2＝×7，∴|4﹣m|＝，∴m＝﹣或m＝，∴存在点P，其坐标为（0，﹣）或（0，）．13．已知：BC∥OA，∠B＝∠A＝120°，试回答下列问题：（1）如图1所示，求证：OB∥AC；（2）如图2，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF，则∠EOC的度数是；（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，其它条件不变，如图3，则∠OCB：∠OFB的值是．【解答】解：（1）∵BC∥OA，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠B＝∠A，∴∠B+∠C＝180°，∴OB∥AC；（2）∵BC∥OA，∠B＝∠A＝120°，∴∠AOB＝60°，∵∠FOC＝∠AOC，且OE平分∠BOF，∴∠EOF＝BOF，∠COF＝∠AOF，∴∠EOC＝∠AOB＝30°，故答案为：30°；（3）∵BC∥OA，∴∠OCB＝∠AOC，∠OFB＝∠AOF，∵∠FOC＝∠AOC，∴∠AOC：∠AOF＝1：2，∴∠OCB：∠OFB＝1：2．故答案为：1：2．14．已知，直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC＝6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当E