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专题03图形的平移与旋转必刷压轴题选择题必练1.如图,△ABC是等边三角形,AB=4,E是AC的中点,D是直线BC上一动点,线段ED绕点E逆时针旋转90°,得到线段EF,当点D运动时,则AF的最小值为()A.2B.C.D.【答案】D【解答】解:作DM⊥AC于M,FN⊥AC于N,如图,设DM=x,在Rt△CDM中,CM=DM=x,而EM+x=2,∴EM=﹣x+2,∵线段ED绕点E逆时针旋转90°,得到线段EF,∴ED=EF,∠DEF=90°,易得△EDM≌△FEN,当D在BC上时,∴DM=EN=x,EM=NF=﹣x+2,在Rt△AFN中,AF2=(﹣x+2)2+(2+x)2=(x+)2+4+2,此时AF2没有最小值,当D在BC的延长线上时,∴DM=EN=x,EM=NF=x+2,在Rt△AFN中,AF2=(x+2)2+(2﹣x)2=(x﹣)2+4+2,当x=时,AF2有最小值4+2,∴AF的最小值为=+1.解法二:过点A作AJ⊥BC于J,过点F作FG⊥BC交BC的延长线于G,过点E作EM⊥BC于M,EN⊥FG于N,过点A作AH⊥FG于H.证明△EMD≌△ENF,推出EN=EM=,推出点F的运动轨迹是直线FG,当AF⊥FG时,AF的值最小,最小值=AH=JG=1+.故选:D.2.如图,点P为定角∠AOB平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:①PM=PN;②OM+ON的值不变;③MN的长不变;④四边形PMON的面积不变,其中,正确结论的是()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④【答案】B【解答】解:如图作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.∵∠PEO=∠PFO=90°,∴∠EPF+∠AOB=180°,∵∠MPN+∠AOB=180°,∴∠EPF=∠MPN,∴∠EPM=∠FPN,∵OP平分∠AOB,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,∴∠PEO=∠PFO=90°,在△POE和△POF中,,∴△POE≌△POF(AAS),∴OE=OF,PE=PF,在△PEM和△PFN中,,∴△PEM≌△PFN(ASA),∴EM=NF,PM=PN,故①正确,∴S△PEM=S△PNF,∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值,故④正确,∵OM+ON=OE+ME+(OF﹣NF)=2OE,是定值,故②正确,在旋转过程中,△PMN是等腰三角形,形状是相似的,因为PM的长度是变化的,所以MN的长度是变化的,故③错误,故选:B.3.如图,边长为24的等边三角形ABC中,M是高CH所在直线上的一个动点,连接MB,将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接HN.则在点M运动过程中,线段HN长度的最小值是()A.12B.6C.3D.1【答案】B【解答】解:如图,取BC的中点G,连接MG,∵旋转角为60°,∴∠MBH+∠HBN=60°,又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°,∴∠HBN=∠GBM,∵CH是等边△ABC的对称轴,∴HB=AB,∴HB=BG,又∵MB旋转到BN,∴BM=BN,在△MBG和△NBH中,,∴△MBG≌△NBH(SAS),∴MG=NH,根据垂线段最短,当MG⊥CH时,MG最短,即HN最短,此时∠BCH=×60°=30°,CG=AB=×24=12,∴MG=CG=×12=6,∴HN=6,故选:B.4.如图,△ABC中,∠A=30°,∠ACB=90°,BC=2,D是AB上的动点,将线段CD绕点C逆时针旋转90°,得到线段CE,连接BE,则BE的最小值是()A.﹣1B.C.D.2【答案】A【解答】解:如图,过点C作CK⊥AB于K,将线段CK绕点C逆时针旋转90°得到CH,连接HE,延长HE交AB的延长线于J.∵∠DCE=∠KCH=90°,∴∠DCK=∠ECH,∵CD=CE,CK=CH,∴△CKD≌△CHE(SAS),∴∠CKD=∠H=90°,∵∠CKJ=∠KCH=∠H=90°,∴四边形CKJH是矩形,∵CK=CH,∴四边形CKJH是正方形,∴点E在直线HJ上运动,当点E与J重合时,BE的值最小,在Rt△CBK中,∵BC=2,∠ABC=60°,∴CK=BC•sin60°=,BK=BC•cos60°=1,∴KJ=CK=∴BJ=KJ﹣BK=﹣1,∴BE的最小值为﹣1,补充方法:AC上截取CF=2,得三角形CFD全等于三角形CBE,DF在DF垂直AB时最小.故选:A.5.如图,P为等边三角形ABC内的一点,且P到三个顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,则△ABC的面积为()A.B.C.D.【答案】A【解答】解:∵△ABC为等边三角形,∴BA=BC,可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA,连EP,且延长BP,作AF⊥BP于点F.如图,∴BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,∴△BPE为等边三角形,∴PE=PB=4,∠BPE=60°,在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,∴AE2=PE2+PA2,∴△APE为直角三角形,且∠APE=90°,∴∠APB=90°+60°=150°.∴∠APF=30°,∴在直角△APF中,AF=AP=,PF=AP=.∴在直角△ABF中,AB2=BF2+AF2=(4+)2+()2=25+12.则△ABC的面积是•AB2=•(25+12)=.故选:A.6.如图,O是正△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,下列结论:①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;②点O与O′的距离为4;③∠AOB=150°;④S四边形AOBO′=6+3;⑤S△AOC+S△AOB=6+.其中正确的结论是()A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③【答案】A【解答】解:由题意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°,∴∠1=∠3,又∵OB=O′B,AB=BC,∴△BO′A≌△BOC,又∵∠OBO′=60°,∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到,故结论①正确;如图①,连接OO′,∵OB=O′B,且∠OBO′=60°,∴△OBO′是等边三角形,∴OO′=OB=4.故结论②正确;∵△BO′A≌△BOC,∴O′A=5.在△AOO′中,三边长为3,4,5,这是一组勾股数,∴△AOO′是直角三角形,∠AOO′=90°,∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°,故结论③正确;S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4,故结论④错误;如图②所示,将△AOB绕点A逆时针旋转60°,使得AB与AC重合,点O旋转至O″点.易知△AOO″是边长为3的等边三角形,△COO″是边长为3、4、5的直角三角形,则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=×3×4+×32=6+,故结论⑤正确.综上所述,正确的结论为:①②③⑤.故选:A.7.如图,四边形ABCD中,∠DAB=30°,连接AC,将△ABC绕点B逆时针旋转60°,点C的对应点与点D重合,得到△EBD,若AB=5,AD=4,则AC的长度为()A.5B.6C.D.【答案】D【解答】解:∵△EBD是由△ABC旋转得到,∴BA=BE,∠ABE=60°,AC=DE,∴△ABE是等边三角形,∴∠EAB=60°,∵∠BAD=30°,∴∠EAD=90°,∴DE===,∴AC=DE=,故选:D.8.如图,已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm、1cm,若将正方形AEFG绕点A旋转,则在旋转过程中,点C、F之间的最小距离为()cm.A.3B.2C.4﹣1D.3【答案】D【解答】解:如图,连接AF,CF,AC.∵正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm、1cm,∴∠B=∠G=90°,AB=BC=4cm,AG=GF=1cm,∴AF===,AC===4,∵CF≥AC﹣AF,∴CF≥3,∴CF的最小值为3,故选:D.9.如图等边△ABC中,点D,E为线段BC、AC上动点且BD=CE,连接AD、BE交于点F,连接CF,下面结论:①△ABD≌△BCE;②∠AFB=120°;③若BD=CD,则FA=FB=FC;④若∠AFC=90°,则AF=3BF.其中结论正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解答】证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC,∠ABD=∠BCE=60°,在△ABD和△BCE中,,∴△ABD≌△BCE(SAS);故①正确;∴∠BAD=∠CBE,∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠ABC,∴∠BFD=∠ABC=∠AFE=60°,∴∠AFB=120°,故②正确;∵BD=CD,∴直线AD是BC的垂直平分线,∴BF=CF,同理AF=CF,∴FA=FB=FC,故③正确;将△ABF绕A点逆时针旋转60°得到:△ACH,延长BE至H,使FH=AF,连接AH、CH,由(1)知∠AFE=60°,∠BAD=∠CBE,∴△AFH是等边三角形,∴∠FAH=60°,AF=AH,∴∠BAC=∠FAH=60°,∴∠BAC﹣∠CAD=∠FAH﹣∠CAD,即∠BAF=∠CAH,在△BAF和△CAH中,∵AB=AC,∠BAF=∠CAH,AF=AH,∴△BAF≌△CAH(SAS),∴∠ABF=∠ACH,CH=BF;又∵∠ABC=∠BAC,∠BAD=∠CBE,∴∠ABC﹣∠CBE=∠BAC﹣∠BAD,即∠ABF=∠CAF,∴∠ACH=∠CAF,∴AF∥CH,∵∠AFC=90°,∠AFE=60°,∴CF⊥CH,∠CFH=30°,∴FH=2CH,∴AF=2BF,故④错误;故选:C填空题必练10.如图,把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC,若直线DF垂直平分AB,垂足为点E,连接BF,CE,且BC=2.下面四个结论:①BF=;②∠CBF=45°;③∠CED=30°;④△ECD的面积为,其中正确的结论有.【答案】①②④.【解答】解:∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC,∴CF=CB=2,∠BCF=90°,∴△CBF为等腰直角三角形,∴BF=BC=2,∠CBF=45°,所以①②正确;∵直线DF垂直平分AB,∴FA=FB,BE=AE,∴∠A=∠ABF,而∠BFC=∠A+∠ABF=45°,∴∠A=22.5°,∵CE为斜边AB上的中线,∴EC=EA,∴∠ECA=∠A=22.5°,∴∠CEF=180°﹣90°﹣2×22.5°=45°,所以③错误;作EH⊥BD于H,如图,∵把Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到Rt△DFC,∴CD=CA=2+2,∵点E为AB的中点,∴EH=AC=+1,∴△ECD的面积=•(+1)•(2+2)=2+3,所以④正确.故答案为①②④.11.数学探究课上老师处这样一道题:“如图,等边△ABC中有一点P,且PA=3,PB=4,PC=5,试求∠APB的度数.”小明和小军探讨时发现了一种求∠APB度数的方法,下面是这种方法的一部分思路,请按照下列思路要求画图或判断(1)在图中画出△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B;(2)试判断△AP1P的形状,并说明理由;(3)试判断△BP1P的形状,并说明理由;(4)由(2)、(3)两问可知:∠APB=.【解答】解:(1)如图,△AP1B为所作;(2)连接PP1,如图,△AP1P为等边三角形.理由如下:∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B,∴AP1=AP,∠PAP1=60°,∴△AP1P为等边三角形;(3)△BP1P为直角三角形.理由如下:∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B,∴BP1=PC=5,∵△AP1P为等边三角形,∴PP1=AP=3,∵PP12+PB2=BP12,∴△BP1P为直角三角形,∠BPP1=90°;(3)∵△AP1P为等边三角形,∴∠APP1=60°,而∠BPP1=90°;∴∠AP1B=90°+60°=150°,∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B,∴∠BPC=∠AP1B=150°.故答案为150°.12.在直角坐标系中,已知线段AB,点A的坐标为(1,﹣2),点B的坐标为(3,0),如图1所示.(1)平移线段AB到线段CD,使点A的对应点为D,点B的对应点为C,若点C的坐标为(﹣2,4),求点D的坐标;(2)平移线段AB到线段CD,使点C在y轴的正半轴上,点D在第二象限内,连接BC,BD,如图2所示.若S△BCD=7(S△BCD表示三角形BCD的面积),求点C、D的坐标.(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在一点P,使=(S△PCD表示三角形PCD的面积)?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)∵B(3,0)平移后的对应点C(﹣2,4),∴设3+a=﹣2,0+b=4,∴a=﹣5,b=4,即:点B向左平移5个单位,再向上平移4个单位得到点C(﹣2,4),∴A点平移后的对应点D(﹣4,2),(2)∵点C在y轴上,点D在第二象限,∴线段AB向左平移3个单位,再向上平移(2+y)个单位,符合题意,∴C(0,2+y),D(﹣2,y),连接OD,S△BCD=S△BOC+S△COD﹣S△BOD=OB×OC+OC×2﹣OB×y=7,∴y=2,∴C(0,4).D(﹣2,2);(3)设点P(0,m),∴PC=|4﹣m|,∵=,∴|4﹣m|×2=×7,∴|4﹣m|=,∴m=﹣或m=,∴存在点P,其坐标为(0,﹣)或(0,).13.已知:BC∥OA,∠B=∠A=120°,试回答下列问题:(1)如图1所示,求证:OB∥AC;(2)如图2,若点E、F在BC上,且满足∠FOC=∠AOC,并且OE平分∠BOF,则∠EOC的度数是;(3)在(2)的条件下,若平行移动AC,其它条件不变,如图3,则∠OCB:∠OFB的值是.【解答】解:(1)∵BC∥OA,∴∠A+∠C=180°,又∵∠B=∠A,∴∠B+∠C=180°,∴OB∥AC;(2)∵BC∥OA,∠B=∠A=120°,∴∠AOB=60°,∵∠FOC=∠AOC,且OE平分∠BOF,∴∠EOF=BOF,∠COF=∠AOF,∴∠EOC=∠AOB=30°,故答案为:30°;(3)∵BC∥OA,∴∠OCB=∠AOC,∠OFB=∠AOF,∵∠FOC=∠AOC,∴∠AOC:∠AOF=1:2,∴∠OCB:∠OFB=1:2.故答案为:1:2.14.已知,直角三角形ABC中,∠C=90°,点D、E分别是边AC、AB的中点,BC=6.(1)如图1,动点P从点E出发,沿直线DE方向向右运动,则当E
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