2021届陕西省西安市八校高三上学期第一次联考数学(文)试题(解析版)

2021届陕西省西安市八校高三上学期第一次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合A，全集，若，则集合A是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据补集的定义即可求得集合A.【详解】解；因为全集，若={1,3,4}，由补集的定义可得，．故选：B．2．已知为奇函数，当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意先计算，再根据奇函数的性质，得，即可得答案.【详解】根据题意，当时，，则，又由为奇函数，则.故选：C.3．若，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，直接带入求出【详解】解：因为sinα+cosα=0，且，所以，所以，则sin3α=．故选：A．4．在1到100的整数中，除去所有可以表示为的整数，则其余整数的和是（）A．3928 B．4024 C．4920 D．4924【答案】D【分析】当时，结合等比数列求和，求得，再由等差数列的求和公式，求得，进而求得其余的整数的和．【详解】当时，可得所以，又由，所以在1到100的整数中，除去所有可以表示为的整数，其余的整数的和为．故选：D.5．已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】利用双曲线的离心率求出的值，可得出双曲线的渐近线方程，由此可得出结果.【详解】由于方程表示的曲线为双曲线，则，解得或.则.①当时，则，，则，解得，所以双曲线的渐近线方程为，此时，该双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为、，则双曲线的两条渐近线的夹角为；②当时，则，，则，解得.所以双曲线的渐近线方程为，此时双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为、，则双曲线的两条渐近线的夹角为．综上所述，双曲线的两条渐近线的夹角为.故选：B．【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：（1）定义法：直接利用、求得比值，则焦点在轴上时，渐近线方程为，焦点在轴上时，渐近线方程为；（2）构造齐次式：利用已知条件结合，构建的关系式（或先构建的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可.6．已知，且与的夹角为，则（）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】先求，再利用求出.【详解】解：且与的夹角为，故故选：A．【点睛】向量的模运算的常用方法：（1）定义法；（2）坐标法；（3）用求模.7．已知点在圆上，直线与两坐标轴的交点分别为，则的面积的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意得圆心到直线的距离，然后根据计算点到直线的距离的最大值，再计算，利用计算面积最大值.【详解】如图，当点距离直线的距离最大时，的面积最大.已知，圆的圆心到直线的距离，则圆上的点到直线的距离的最大值为，又直线与两坐标轴交点分别为，所以．∴面积的最大值为．故选：A.8．已知在△ABC角A､B､C的对边分别是a､b､c，且a=4，b=3，c=2．则△ABC的最大角的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由大边对大角知A最大，利用余弦定理求解即可.【详解】因为a=4，b=3，c=2，所以最大角是A，根据余弦定理：，且A∈(0，π)，∴．故选：D9．已知，则的值域是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用降幂公式化简函数，再求的范围，再求函数的值域.【详解】，的值域为故选：C．10．如图，已知底面边长为a的正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长为2a，其截面PAC的面积为8，则正四棱锥P﹣ABCD的高是（）A． B．2 C．4 D．4【答案】B【分析】根据正四棱锥的特性，底边上的高即为此四棱锥的高.【详解】由题意可知，PA=PC=2a，，所以的高，所以的面积，又截面PAC的面积为8，所以，解得a=4，所以正四棱锥P﹣ABCD的高即为的高．故选：B．11．已知命题p：，命题q：，则（）A．“”是假命题 B．“”是真命题C．“”是假命题 D．“p∧￢q”是真命题【答案】D【分析】先命题为真命题，命题为假命题，再根据复合命题的真假判定，结合选项，即可求解.【详解】由题意，命题p：，当时，不等式成立，所以为真命题；命题q：，当时，不等式不成立，所以为假命题，根据复合命题的真假判定，可得命题为真命题，为假命题；为真命题，为真命题.故选：D.12．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值【答案】D【详解】则函数增；则函数减；则函数减；则函数增；选D.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减二、填空题13．准线方程为的抛物线的标准方程是___________.【答案】【分析】由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，并求得值，则答案可求．【详解】解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，设其方程为，则其准线方程为，得．该抛物线的标准方程是．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．14．若a∈R，i为虚数单位，，则______________________．【答案】【分析】根据复数的运算，化简得到，列出方程，即可求解.【详解】根据复数的运算，可得可得，解得．故答案为：．15．设函数，若，则m=___________．【答案】1【分析】先求，然后再根据的取值范围分类讨论就可以求符合题意的的值.【详解】根据题意，函数f(x)=，则f()=5×﹣m=4﹣m，当m≤3时，4﹣m≥1，f(f())=f(4﹣m)=24﹣m=8，解可得m=1，符合题意，当m>3时，4﹣m<1，f(f())=f(4﹣m)=5(4﹣m)﹣m=20﹣6m=8，解可得m=2，不符合题意，综合可得：m=1，故答案为：1.16．已知函数有两个零点，且，则的取值范围为___________．【答案】【分析】根据题意，得到不等式组，画出不等式组所表示的可行域，结合图形，确定目标函数的最优解，代入，即可求解.【详解】由题意，函数有两个零点，且，可得，画出不等式组所表示的可行域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线过点点时，此时取得最大值；当直线过点点时，此时取得最小值，由，解得，即，由，解得，即，所以目标函数的最大值为，最小值为，所以的取值范围为.故答案为：.【点睛】根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如.求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解.三、解答题17．已知{an}为等差数列，各项都为正数的等比数列{bn}的前n项和为Sn，且，，，．（1）求､的通项公式；（2）求和．【答案】（1）an=2n；bn=3n，n∈N；（2）2n2+4n．【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可；（2）变形后根据等差数列的求和公式求和即可.【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，q>0，由b1=3，S3=39，a1=b2﹣7，a40=b4﹣1，可得3+3q+3q2=39，a1=3q﹣7，a1+39d=3q3﹣1，解得q=3，d=2，a1=2，则an=2+2(n﹣1)=2n；bn=3•3n﹣1=3n，n∈N；（2）a1+2a2+2a3+……+2an+an+1=2(a1+a2+a3+……+an+an+1)﹣a1﹣an+1=2•(n+1)(2+2n+2)﹣2﹣2(n+1)=2n2+4n．18．已知正四面体ABCD，M､N分别在棱AD、AB上，且，，P为棱AC上任意一点(P不与A重合)．（1）求证：直线平面BDP；（2）若正四面体ABCD的各棱长均为60．求三棱锥M﹣BDC的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）由，得出，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）设G为底面△ABC的重心，由MN∥平面DBC得出三棱锥M﹣BDC的体积与三棱锥N﹣BDC的体积相等，再由等体积法求出三棱锥M﹣BDC的体积．【详解】解：（1）证明：由，可得点M在AD上，则有又，所以又平面BDP，BD⊂平面BDP，所以MN∥平面BDP；（2）设G为底面△ABC的重心，Q为AC的中点，如图所示则所以由（1）可知MN∥DB，且平面DBC，DB⊂平面DBC，故MN∥平面DBC所以点M与点N到平面BDC的距离相等所以三棱锥M﹣BDC的体积与三棱锥N﹣BDC的体积相等又三棱锥N﹣BDC的体积与三棱锥D﹣BNC的体积相等所以=所以三棱锥M﹣BDC的体积为．【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于由MN∥平面DBC得出三棱锥M﹣BDC的体积与三棱锥N﹣BDC的体积相等，进而由等体积法求出所求体积.19．西安市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了1000株树苗，这批树苗最矮2米，最高2.5米，桉树苗高度绘制成如图频率分布直方图(如图)．（1）试估计这批树苗高度的中位数；（2）现按分层抽样方法，从高度在[2.30，2.50]的树苗中任取6株树苗，从这6株树苗中任选3株，求3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40，2.50]的概率．【答案】（1）2.12；（2）．【分析】（1）根据频率分布直方图，由中位数的定义求解；（2）分层抽样可知[2.30，2.40)中抽取4株，[2.40，2.50)中抽取2株，根据古典概型求解即可.【详解】（1）由频率分布直方图得：[2.0，2.2)的频率为：(1+3.5)×0.1=0.45，[2.2，2.3)的频率为：2.5×0.1=0.25，估计这批树苗高度的中位数为：2.1+=2.12．（2）按分层抽样方法，从高度在[2.30，2.50]的树苗中任取6株树苗，则[2.30，2.40)中抽取：6×=4株，[2.40，2.50)中抽取：6×=2株，从这6株树苗中任选3株，基本事件总数n=，3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40，2.50]包含的基本事件个数：m==16，∴3株树苗中至少有一株树苗高度在[2.40，2.50]的概率．20．已知椭圆，F1､F2分别为椭圆C的左､右焦点，P为椭圆C上的任一点，且|PF2|的最大值和最小值分别为3和1，过F2的直线为l．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A､B两点，求△ABF1的面积的最大值．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）根据|PF2|的最大值a+c和最小值a-c,结合已知条件得到方程组，求得a,c的值，进而结合a,b,c的平方关系求得椭圆的标准方程.（2）先判定直线的斜率不为零，进而设其方程为x=my+1，与椭圆方程联立，消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理求得关于m的函数表达式，适当变形，利用基本不等式求得其最大值，进而根据得到所求三角形的面积的最大值.【详解】解：（1）由椭圆的性质可知，，解得a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，所以椭圆方程为，（2）由题意分析可知直线l的斜率不能为零，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l的方程为x=my+1，联立方程，得(3m2+4)y2+6my﹣9=0，△=36m2+36(3m2+4)>0，∴，，∴所以当且仅当m=0时|y1﹣y2|取到最大值3，≤3，即三角形ABF1面积的最大值为3．【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质和椭圆中的面积最值问题，熟练掌握椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最小值，灵活变形使用基本不等式求最值是关键步骤.掌握面积的求法是十分重要的.21．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，求证：在上有唯一零点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）求得导数，得到和，进而求得曲线在点处的切线方程；（2）由求得，利用导数的符号，求得函数的单调性，结合，和时，，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，则，又由，所以曲线在点处的切线方程为；（2）由，可得，令，可得，即，解得，所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，又因为，当时，，所以在上有唯一零点．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．22．已知曲线的参数方程为(为参数，)．点在曲线上，直线l过点P，且倾斜角为．（1）求点P在曲线上对应的参数θ的值；（2）求直线l被曲线截得的线段的长度．【答案】（1）；（2）6．【分析】（1）由题知，再结合得；（2）根据题意得直线的方程，再把曲线化为普通方程得，进而得直线过圆心，进而得答案.【详解】解：（1）曲线S的参数方程为(为参数，)．点在曲线S上，所以，由于，所以．（2）曲线的参数方程为(为参数，)转换为直角坐标方程为，直线l过点，且倾斜角为，所以直线的方程为，由于圆心在直线上，故直线l被曲线S截得的线段成为圆的直径6．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，考查运算求解能力，本题解题的关键在于写出直线l的方程，曲线的普通方程得直线l过圆心，进而得答案.23．已知．（1）解不等式；（2）设(，且)，求的值域．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由，可得，分类讨论，即可求解.（2）化简得到，分和两种情况，结合基