空间图形的平行关系

第十一章立体几何初步第三节空间图形的平行关系

课前自主学案

知识梳理

1直线与平面的位置关系位置关系图示表示方法公共点个数直线在平面内aα无数个直线不在平面内直线与平面平行a∥α没有直线与平面相交直线与平面斜交a∩α=A一个直线与平面垂直a⊥α

一个位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β没有公共点两平面相交α∩β=l有一条公共直线2.空间两个平面的位置关系

3直线和平面平行的判定方法类别语言表述图示字母表示应用判定如果一条直线与一个平面没有公共点，那么称这条直线与这个平面平行

a∩α=α∥β证直线与平面平行如果面外的一条相交直线平行于该平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面如果两条直线互相垂直，且其中一条直线垂直于一个平面，第二条不在这个平面内，那么第二条直线平行于这个平面4两个平面平行的判定类别语言表述图示字母表示应用判定如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行证直线与平面平行如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行

垂直于同一条直线的两个平面平行

5直线和平面平行的性质类别语言表述图示字母表示应用判定如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行证直线与平面平行6两个平面平行的性质类别语言表述图示字母表示应用判定如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面证直线和平面平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面证直线和平面垂直基础自测

1.(2010年广州调研)已知α，β是平面，m，n是直线，给出下列命题：①若m⊥α,

mβ,则α⊥β．②若mα,

nα,

m∥β,

n∥β,则α∥β．③如果mα,nα,m、n是异面直线,那么n与α相交．④若α∩β=m,

n∥m,且nα,nβ,则n∥α且n∥β．其中正确命题的个数是（）A.4B.3C.2D.1C2.已知α,β是平面，m,n是直线，则下列命题中不正确的是（）A.若m∥n,m⊥α,则n⊥αB.若m∥α,α∩β=n,则m∥nC.若m⊥α,m⊥β,则α∥βD.若m⊥α,mβ,则α⊥βB3．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS=8，BS=9，CD=34，①当S在α、β之间时，SC=

；②当S不在α、β之间时，SC=

.解析：∵AC∥BD，∴△SAC∽△SBD，①SC=16，②SC=272.答案：①16②2724.a、b、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：②③④⑤⑥①其中正确的命题是

①④⑤⑥

.（将正确的序号都填上）课堂互动探究

直线与平面平行的证明如右腹图所翁示，袭两个悉全等可的正晒方形AB炭CD和AB汇EF所在江的平圾面交看于AB，M∈AC，N∈FB，且AM赴=F大N求证册：MN∥平面BC这E.证明川：法颤一：馋利用响线面琴平行唤的判枪定定锈理来顽证如上亲图所龙示，眼过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂谱足，浙连结PQ，∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ，又NQ邀=规B手N=总CM豪=M拉P，∴MP立QN是平赢行四蜜边形.∴MN∥PQ，又PQ平面BC顾E，而MN平面BC狸E，∴MN∥平面BC混E.∴MG∥平面BCE，又∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE，而MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE，MN平面MNG，∴MN∥平面BCE.点评：证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.

法二：利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.过M作MG∥BC，交AB于G（如右图），连结NG，∵MG∥BC，BC平面BCE，MG平面BCE，变式探究

1.如右杯图所潜示，黎正方筑体AB隔CD麦-A1B1C1D1中，搬侧面将对角描线AB1、BC1上分死别有独两点E、F，且B1E=罚C1F.求证材：EF∥平面AB盾CD批.法一共：分迷别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连娱结MN伏.∵BB1⊥平面AB粮CD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC栽.∴EM∥BB1，FN∥BB1.∴EM∥FN恢.又B1E=杠C1F，∴EM耕=F川N.故四汇边形MN灿FE是平溜行四巧边形.∴EF∥MN签.又MN在平缓面AB泥CD中，∴EF∥平面AB掠CD幼.证明透：∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴法二惜：过E作EG景∥A队B交BB1于点G，连丝式结GF，则∴FG究∥B1C1∥B昼C.昌又∵EG县∩F悉G=状G，AB吐∩B栋C=肚B，∴平兄面EF做G∥平面AB夕CD甚.而EF在平岗面EF漏G中，梳∴EF郑∥平面AB仓CD灰.直线与平面平行的性质应用

如右研图所条示,已知冒点P是三骗角形AB湿C所在朱平面腿外一铜点,且PA现=B验C=烫1,截面EF脱GH分别蜘平行模于PA怕,B障C(点E,琴F,否G,职H分别减在棱AB稳,A喘C,边PC傲,P磁B上)(1泽)求证:四边柿形EF烈GH是平伯行四赛边形滑且周介长为亭定值.(2屡)设PA与BC所成膝的角绩为θ,求四绝边形EF劫GH的面续积的肆最大眠值.分析湾：本劳题已及知线换面平踪蝶行关军系，吗可联贱想线衰面平轿行的段性质浙定理.解析派：(1俩)证明氧：∵PA∥平面EF方GH园,平面PA响B∩平面EF加GH亲=H咏E,平面PA覆C∩平面EF扒GH窗=G死F∴HE∥PA∥GF肚,同理HG∥BC∥EF，∴四海边形EF丘GH是平捏行四零边形.设EH喘=x孝(0魂<x苗<1疲),则,∴周长=2(EH+HG)=2(x+1-x)=2为定值.(2)由(1)知,设EH=x(0<x<1),则有EF=HG=1-x,又∵PA∥HE,BC∥EF∠HEF(或补角)是PA与BC所成的角，∴SEFGH=HE×EF×sin∠HEF=x(1-x)sinθ=sinθ[-(x-)2]∴当x=,即E,F,G,H为所在边中点时,四边形EFGH的面积有最大值sinθ.

∴变式探究

点评渡：（1）欲银证线受面平碎行，惰先证搅线线悉平行串，欲存证线共线平洗行，计可先迎证线烧面平晕行，耗反复并用直届线与踩平面爸平行到的判姿定、企性质什，在年同一谦题中洽也经娇常用社到;（2）立青体几武何中屡的最玻值问肃题往框往要春借助未函数姓来求士解.2.如右火图所淹示，州四面置体A—BC播D被一哭平面士所截漫，截希面EF互GH是一坛个矩百形.(1广)求证贷：CD∥平面EF鹿GH去.(2艰)求异梁面直毙线AB，CD所成众的角.(3挪)若AB＝a，CD凡=b，求捞截面EF扇GH面积即的最渡大值.萝2.解析迈：（1）证位明：慈∵截产面EF肥GH是一盛个矩港形，赌∴EF∥GH，又GH平面BC辩D.∴EF∥面BC是D，而EF面AC诉D，面AC境D∩面BC付D=浪CD贺.∴EF∥CD，∴CD∥平面EF粪GH近.（2）由染（1）知CD∥EF，同凭理AB∥FG，由果异面逝直线炒所成洪角的篮定义炎知∠EF坏G即为挨所求戏的角.易得顾∠EF丸G=逃90°.（3）SEF堡GH=ab正方室体AB肿CD-A1B1C1D1中．(1劝)求证畅：平批面A1BD∥平面B1D1C；(2满)若E、F分别为是AA巷1，CC1的中慰点，遣求证罗：平信面EB1D1∥平面FB新D．面面平行的证明

分析川：要零证“巨面面桑平行捷”只默要证床“线裹面平尤行”广，要验证“可线面霉平行印”，蹄只要龟证“顽线线运平行格”，钓故问焦题最虹终转乔化为稻证线毛与线牺的平芒行．证明远：(1彩)在正偏方体扫中，阳由B1B∥DD1得，魂四边牲形BB1D1D是平麻行四归边形尾，∴B1D1∥BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴云平面A1BD∥平面B1CD．(2共)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．如雪右图亚所示凑，取BB1中点G，∴AE野B1G．从广而四究边形AE粉B1G为平遣行四晒边形喊，从累而得B1E∥AG，同治理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面E臭B1D1．又BD∩DF洲=D∴平面E医B1D1∥平面FB酸D．变式探究

3.如右斥图所堡示，监在正航方体AB挪CD-A1B1C1D1中，M、N、P分别姥是C1C、B1C1、C1D1的中夏点.求证反：（1）AP⊥MN；（2）平信面MN吧P∥平面A1BD谢.证明熊：（1）连投结BC1、B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的俯射影.∴AP⊥B1C.又B1C∥MN，∴AP⊥MN匹.（2）连析结B1D1，∵P、N分别到是D1C1、B1C1的中愈点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD洽.又PN不在焰平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD感.同理厅，MN∥平面A1BD洪.又PN∩MN肠=N，∴平悦面PM暮N∥平面A1BD牺.面面平行的性质

如右狼图所吴示，墨平面α∥平面β，线令段GH与α、β分别钩交于A、B，线殖段HF与α、β分别形交于F、E，线石段GD与α、β分别绳交于C、D，且GA括=9，AB筐=1外2，BH辅=1动6，S△AC点F=7魄2.求△BD男E的面猾积.解析杏：因钉为α∥荒β，所拦以AC∥BD，AF∥BE婆.所以秩∠FA乳C与∠EB评D相等冈或互兽补.因为AC∥BD丢,故△GA蜻C∽△GB狮D,同理投△HE礼B∽绢△H瓜FA，变式探究

4.如右代图所扎示，纠已知α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间.点A、D∈α，C、F∈γ,A态C∩β=B，DF∩β=E岔.(1难)求证教：(2谋)设AF交β于M，AD与CF不平启行，α与β间距棚离为h′，α与γ间距袜离为h,当臣的葡值是析多少秤时，S△B茧EM的面辟积最兆大？睡跟解析贝：(1钥)∵当β∥夫γ,平面AC拿F分别腿交β、γ于BM、CF，∴BM∥CF,∴据题逆意知群，AD与CF异面赖，只远是β在α、γ间变堵化位示置，殿故CF、AD是常悼量，si墨n∠BM抛E是AD与CF所成丸角的脾正弦云值，略也是辨常量院，令h′愉∶h=x只要帆考查芒函数y=钟x(绪1-腥x)的最沿值，林显然擦当y=尤-x2+x有最晒大值.即β在α、γ两平娇面的远中间景时△BE枯M面积盛最大.温馨提示

1.直线往与平罗面的住位置梦关系钢有三拉种：族直线球在平璃面内浅、直姐线与盲平面阁相交溜、直唱线与懒平面津平行匠，后阻面两纷种又睡统称艰为直刮线在蛋平面叹外.2.证明温线面金平行伯是高萌考中看常见智的问阵题，钓常用昂的方亦法就研是证贼明这倾条线百与平白面内磨的某馆条直型线平稿行.3.在判坝定和般证明枣直线钳与平绿面的用位置兄关系型时,除熟信练运艺用判光定定懂理和薪性质秃定理键外,切不妻可丢掠弃定趣义,因为应定义粱既可士作判焦定定拐理使筐用,亦可复作性迅质定恢理使攀用；4.辅助献线（绑面）歼是解梳（证危）线墓面平袜行的注关键.为了转能利循用线绕面平校行的凤判定鲜定理勿及性收质定季理，说往往述需要据作辅那助线乔（面慈）.5.欲证捎线面提平行毕，先沫证线吉线平仅行，搞欲证溪线线商平行奋，可盼先证棚线面肥平行史，反拖复用剖直线斗与平块面平族行的那判定氏、性怠质定余理，腊在同础一题闷中也后经常印用到.6.证明饺面面零平行规的主摔要方床法:①利用暗定义;②利用默判定友定理.另外躬证面惕面平撑行还炒可利拴用“酷垂直絮于同扒一条枕直线挤的两流个平购面互起相平启行”向来证.7.空间度平行泄关系遗之间农的转饺化（旁这也点是立盛体几离何中痒证明披平行尊关系么常用系的思叠路.）题型展示台

解析谣：(1盟)连AN并延盐长和BC交于E点，此则EN∶NA说=B业N∶ND陕,∴,∴MN∥PE连,而MN平面PB级C,锡PE面PB寻C，∴MN∥平面PB革C.(2捞)由余棚弦定赞理求匀得PE2=P政B2+B豪E2-2恳PB·EB撞co韵s糠60°.代入福数值达计算粗得PE访=浊,∴MN握=眼PE动=7惰.已知嘉正方袄形AB荷CD的边晒长是13，平耗面AB损CD外一敞点P到正鼻方形扣各顶议点的为距离瓦都为13，M、N分别违是PA、BD上的话点且PM∶MA扫=B池N∶ND参=5∶8，如冶右图馅所示.(1篮)求证蓝：直星线MN∥平面PB那C；(2椒)求线崇段MN的长.如下狭的三牛个图堂中，丹左面折的是惜一个艘长方印体截终去一相个角才所得猴多面躬体的比直观势图，趣它的涂正视弊图和币侧视半图在尘下面方画出收（单亡位：cm）.（1）在管正视写图下识面，庆按照脑画三界视图临的要改求画拨出该盘多面颤体的浩俯视债图；（2）按面照给驻出的汇尺寸苗，求任该多废面体赏的体旺积；（3）在颤所给露直观涝图中躺连结BC′，证摇明：BC′∥面EF农G.分析赔：长方竭体的传有关止知识都、体么积计假算及员三视蚕图的贫相关粉知识.解析葬：（1）如右诸上图（2）所桶求多菊面体温的体强积V=消V长方存体-V正三物棱锥=4×4×6-×(×2×2)×2=束(卷cm3).（3）证团明：京如右休下图雅，在船长方马体AB励CD情-A截′B先′C扑′D灵′中，布连接AD胜′，则AD攻′∥跪BC叶′;因为昼Ｅ，篮Ｇ分故别为AA羞′,绕A′阴D′中点抓，所捆以AD限′∥冬EG，从杀而EG塑∥B猎C′，又BC汁′平面EF挤G,所以BC贸′∥平面EF鸡G.结题型训练

1.设m，n是平