对偶理论第三章线性规划

对偶理论一、原问题与对偶问题例1、某厂在计划期内要安排生产A、B两种产品，这两种产品分别需要在甲、乙丙三种不同的设备上加工，有关数据如表3-14所示。问应如何安排生产计划才能使利润最大？45利润（元/件）4511丙8012乙9031甲有效台时BA设备产品该问题的数学模型如果设A、B两种产品生产的件数分别为,则这个问题可以归结为求解下列线性规划问题：其对偶问题的数学模型设分别表示设备甲、乙、丙每台时的价格（或租金）,则

例2、每头牲畜每日对各种维生素的需求量及饲料商提供的营养饲料M和N中各种维生素含量及定价如下表所示，牧场主在保证牲畜维生素需求条件下，每日为每头牲畜购M、N各多少可使总费用最少？MN日需要量ABCD0.100.10.200.10.20.10.40.62.01.7定价104维生素营养饲料设每日每头牲畜需营养饲料M、N分别为，则该问题的线性规划模型为：已知条件同上例，某药品商想提供畜用维生素A、B、C、D四种营养药品，在满足牲畜营养要求且可与饲料商竞争条件下，四种药品如何定价可使总收入最大？对称的对偶问题原问题对偶问题对称的对偶问题原问题对偶问题非对称的对偶问题原问题对偶问题混合形式的对偶问题原问题和对偶问题的关系

原问题（对偶问题）约束条件对偶问题（原问题）决策变量max约束≤为正向约束≥为反向约束＝为双向变量≥0为正向变量≤0为反向变量无约束为双向min约束≥为正向约束≤为反向约束＝为双向原问题和对偶问题的关系二、对偶问题的基本性质

1.弱对偶性：若X和Y分别是原问题和对偶问题的任一可行解，则必有该性质告诉我们，最大化问题的任一可行解的目标函数值都是其对偶最小化问题目标函数的下界；而最小化问题的任一可行解的目标函数值都是其对偶最大化问题目标函数的上界。2.强对偶性：若分别为原问题和对偶问题的可行解，且可行解对应的原问题和对偶问题的目标函数值相等，即，则分别为原问题和对偶问题的最优解。（最优性准则）（对偶可行性）二、泼对偶蚊问题拍的基钢本性侦质（续勺）6.若原调问题前的最牵优解瞧为3.无界流性若原往问题话（对咬偶问犯题）办的目辜标函祥数无废界，劝则其傅对偶问题态（原絮问题果）必故无可句行解毙。该性镰质说爱明，锋原问烟题和理对偶膜问题仪之一乘无最尽优解腿，则增另一裤个也无最飘优解肾。4.对偶光定理若原坝问题皇和对任偶问傍题之垂一有情最优贩解，深则另辛一个冬也也有竞最优齿解，巷且两蜓者的车最优香目标听函数告值相坡等。5.若原陕问题轰和对仅偶问蛾题同栗时有她可行春解，抢则他刚们必鸟都有挎最优往解。7.根据凝原问让题最啦优单拒纯形但表中钓的检鸭验数仙可以竭读出男对偶旦问题扯的最优桐解。例1、绒原问送题对偶蜂问题原问首题标准彩型xjx1x2x3x4x5B-1bx3x1x20012-51001-1010-12253510-f000-1-3-215xjx1x2x3x4x5bx3x4x5121002101011001908045-f540000初始岗单纯疯形表最优周单纯轨形表原问妹题5嫩4裁0环0狗0054常用状单纯垂形表商的矩恨阵形丝式式

XB

XN

XSbXSBNIb-f

CBCN00CBCN00XBIB-1NB-1B-1b-f0CN-CBB-1N

-CBB-1

-CBB-1bCB……俭……冒……厉……绸……盲……摆……对偶伙问题y1y2y3y4y5B-1by2y3-210-115011-213-g’-2500-35-10215对偶设问题阅最优略单纯番形表工：综上介所述视，一取对对择偶问松题的未解必基然是浩下列狼三种鸦情况观之一距：1.原问侄题和隆对偶纽奉问题滨都有洽最优煌解，峰且最胞优目过标函吧数值谈相等朽。3.原问映题和局对偶垄问题轰都无情可行铃解。2.一个遵问题吼具有华无界屠解，历则另贪一个堵问题扰无可骆行解榴。Cj58600CBXBX1X2X3X4X5B-1b58X1X21001202-1-1124λj00-4-2-3-42ma覆xf=5酬X1+8宫X2+6对X3X1+遮X2+2畏X3≤6X1+2促X2+2宜X3≤1窃0X1，X2,X2≥0例3已知挥线性拳规划纲问题试用舍对偶比理论写证明抄上述情问题菜无最柴优解梦。三、捕对偶心解的宝经济咐涵义——影子虾价格通过殿求解坐：原养问题谢和对鼠偶问决题的高最优闭解分板别为1.影子柴价格种的定倦义对偶蚊问题塌是资茂源定月价问榨题，伤对偶妇问题男的最农优解y1、y2、..抄.、ym称为m种资矩源的影子竹价格（Sh事ad控ow船P滥ri上ce）。影子谱价格是指雾在最堪优解钩的基她础上咳，当浪第i个约房诚束条某件的贩右端咏项bi增加寻一个匙单位些时，缘瑞目标岁函数秤的变给化量毕。由对爪偶定伪理可自知，当达给到最满优解双时，柏原问刺题与谢对偶各问题糟的目衡标函昂数值紧相等剂，即挥有f*=C芝X*=Y*b=敢y1*b1+y2*b2+…页+ym*bm现考晓虑在仔最优纲解处改，右禁端项bi的微言小变芦动对耽目标狮函数剧值的凯影响驻，由谋上式束，将f*对bi求偏宽导数眠：该式胡表明放了，协若原狱问题扁的某赌一个宁约束拍条件锻的右嘉端项bi每增灿加一罚个单湖位，橡则由化此引词起的蛮最优痕目标控函数站值的弯增加赛量，雀就等焦于与烟该约惭束条望件相引对应嗓的对纺偶变夸量的凉最优零解的这值。2.影子悼价格档的求翻法例4某工种厂生业产三晃种产福品，继三种及产品倘对于锈原材汗料、渣劳动钟力、舱电力乱的单秃位消低耗系寸数，年资源娱限量退和单羽位产仁品价优格如有下表厉所示凯：ABC资源限量原材料（kg）劳动力（人）电力（度）2652.5154810320640750单位价格（元）4610资源产品1.求最夫佳生枪产方迫案使割总产劝值最躲大。2.求各陕资源芝的影验子价炸格，宪并解黑释其上经济颤意义团。xjx1x2x3x4x5x6B-1bx2x5x301020-0.820061-3.21/201-100.54016055-f-100-20-0.2-790xjx1x2x3x4x5x6B-1bx2x5x301020-0.820061-3.21/201-100.54016055-f-100-20-0.2-7903.影子绘价格秩的作耍用①影子葡价格烈可以苏告诉泊管理失人员屑，增醋加哪袭一种缠资源劲对增惑加经华济效喜益最朽有益星。②影子仁价格欢可以神告诉凶管理苗人员土，花亭多大哀的代谦价增牲加资渡源才泊是合丹算的愤。③影子吨价格舞在新催产品伙开发榴决策祖中的阿应用勤。④影子添价格娃在资炼源购秘销决茧策中堡的应伏用。⑤利用价影子捆价格办分析亏工艺恳改变染后对饺资源美节约界的收亲益。如在连上例接中，纪当工深艺改脑进后求，使也原材言料节本约10食%，则份带来棋的经朋济效居益为歼：232天010茶%=授64（元坝）在利站润最壁大化折的生性产计糟划中（1）边吓际利昨润大高于0的资伸源没建有剩窝余（2）有类剩余晨的资便源边绸际利栽润等月于0关于超影子责价格爆的几柴点说塔明：影子杠价格应越大胃，说冻明这网种资钱源越听是相堆对紧烂缺影子佩价格票越小吉，说马明这督种资械源相悔对不馒紧缺如果珠最优得生产妥计划垮下某朵种资愿源有绘剩余惊，这累种资愚源的鞠影子泳价格贪一定轿等于0影子序价格阅为0，资系源并嘉不一悟定有押剩余影子笔价格荷是资己源最旺优配喘置下颜资源次的理糖想价钓格，位资源掩的影晴子价歇格与忘资源打的紧洁缺度侨有关思路扩：(ma侵x型)单纯坊形法：找旧基B，满足B-1b0，但检绿验数C-CBB-1A不全0。迭代保持B-1b0，使C

-CBB-1

A0。对偶屑单纯边形法：找芹基B，满足C-CBB-1A库0，但B-1b不全0。迭代保持C

-CBB-1

A0，使B-1b0。四、泉对偶乱单纯热形法举例原问爸题对偶肆问题xjx1x2x3x4x5B-1bx3x4x505100620101100115245-f210000x3x1x50510011/301/6002/30-1/611541-f01/30-1/30-8x3x1x20015/4-15/21001/4-1/2010-1/43/215/27/23/2-f000-1/4-1/2-17/2yiy1y2y3y4y5B-1by4y50-6-110-5-2-101-2-1-f-15-24-5000y2y5011/6-1/60-50-2/3-1/311/3-1/3-f-150-1-40-8y2y3-5/410-1/41/415/2011/2-3/21/41/2-f-15/200-7/2-3/2-17/2例1maxf=2x1

+x2x1+x2+x3=

52x2+x354x2+6x3

9x1,x2,x30maxf=2x1+x2x1+x2+x3=

52x2+x3+x4=5-4x2–6x3+x5=-9x1…x5

0xjx1x2x3x4x5B-1bx1x4x511100021100-4-60155-9-f0-1-200-102堂1奸0讲0缸0斯0200x1x4x210-1/201/400-21-1/2013/20-1/411/41/29/4-f00-1/20-1/4-31/4201例2旦.标准化找初始基变量xjx1x2x3x4x5bix3x4x522100-3-2010120013-41-f-1-30000xjx1x2x3x4x5B-1bx3x1x5

-f02/认312/康301/斜312/牧30-1森/304/虽304/旨301/骂31-1创/30-7步/30-1灰/304/脸3Xjx1x2x3x4x5B-1bx3x4x5-2-1100-3-2010-1-2001-3-4-1-f-1-30000x3x1x501/31-2/3012/30-1/300-4/30-1/31-1/34/31/3-f0-7/30-1/304/3x4x1x50-1/2-3/21011/2-1/2000-3/2-1/2011/23/21/2-f0-5/2-1/2003/2例3(课本宵）练习minf=2x1+3x2+4x3x1+2x2+x3

32x1-x2+3x34x1,x2,x30minf=2x1+3x2+4x3

-x1–2x2-x3+x4=-

3-2x1+x2–3x3+x5=-

4x1…x5

0xix1x2x3x4x5B-1bx4x5-1-2-110-21-301-3-4-f-2-3-4000x4x10-5/21/21-1/21-1/2