行列式的若干种计算方法

内蒙古财经大学本科学年论文作者姚淑娟系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级2009级学号指导教师导师职称讲师

内容提要行列式在数学中是一个函数,其定义域为的矩阵,取值为一个标量,写作.行列式是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,而且在其它学科中也会经常遇到.例如在初等代数中,为了求解二元和三元线性方程组,而引入了二阶和三阶行列式.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻.本文介绍了计算行列式的重要方法有画三角形法,初等变换法,将行列式按行或按列展开法,加边法或升阶法,事实上,这四种方法的解题思路都是根据行列式的性质,将行列式化为上三角行列式或者下三角行列式.另外一类重要的方法就是根据拉普拉斯（）定理计算行列式,拉普拉斯定理引入了k阶子式和代数余子式的概念,使得计算行列式变得更加简便.而范德蒙德（）行列式只适用于满足条件的行列式才可以用,有一定的局限性.关键词:

级行列式

初等变换

降阶法

拉普拉斯（）定理范德蒙德（）行列式.

目录一、二阶行列式和三阶行列式的简单解法(一)解二阶行列式(二)解三阶行列式二、阶行列式的概念及其解法（一）逆序数（二）阶行列式的定义（三）阶行列式的性质三、阶行列式的解法（一）定义法求解行列式（二）化三角形法求解行列式（三）利用初等变换求解行列式（四）将行列式按行或按列展开求解行列式（五）加边法或升阶法（六）拉普拉斯（）定理（七）范德蒙德（）行列式参考文献行列式的若干种计算方法行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中.十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式.十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究.十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善.矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现了线性自同态和向量组的行列式的定义.无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中（比如说换元积分法中）,行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用.一、二阶行列式和三阶行列式的简单解法(一)解二阶行列式对二元线性方程组进行消元可得,.若则方程组有唯一解

,为了便于记忆这些解的公式我们引入二阶行列式[1]其中叫做行列式的元素,那么利用二阶行列式方程组的解可表示为

,.例1.1计算二阶行列式.(二)解三阶行列式为了得出关于三元线性方程组

的类似解法,我们引入三阶行列式

.若方程组的系数行列式则方程组有唯一解,,.其中

,,.例1.2计算三阶行列式.从上面的例子可以看出如果未知量的个数与方程组的个数相等,且它们的系数行列式不等于0,那么用行列式求解是方便的.但在实际应用中遇到的线性方程组的个数往往较多,因此需要把二阶和三阶行列式加以推广,从而引入了阶行列式的概念.二、阶行列式的概念及其解法（一）逆序数:在一个排列中如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列的逆序数记为.[2]（二）阶行列式的定义

等于取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和,这里是的一个排列.上述定义可表示为:.这里表示阶排列的逆序数,表示对所有阶排列求和.（三）阶行列式的性质性质1行列互换行列式不变,即

.由性质1可以得到下三角行列式

.性质2一行的公因式可以提出来,即

.事实上如果就有如果行列式中有一行（列）为0那么行列式为0.推论:行列式的某一行（列）的元素等于0则行列式等于0.性质3把一行（列）的倍数加到另一行（列）行列式不变.即

.性质4

对换行列式中两行（列）的位置行列式反号.即

.以上行列式的四种性质在行列式的初等变换中会用到,会简化计算步骤.性质5如果行列式中某一行是两组数的和,则这个行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别以这两组数作为该行,而其余各行与原行列式对应各行相同.即

.性质6如果行列式中有两行（列）相同那么行列式为0.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等.性质7如果行列式中两行（列）成比例那么行列式为0.即

.行列式有其这些特有的性质,可以帮助我们快速的求解一些行列式.三、阶行列式的解法（一）定义法求解行列式例3.1解行列式.观察行列式中元素0的位置,以及由4级排列中个数不能相等,可知因此则

.（二）化三角形法求解行列式思路:化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法.例3.2

计算行列式解:首先给第1行分别乘-7,-5,-3分别加到第2,3,4行上再交换第2,3两行的位置;给第二行分别乘以2,-3后分别加到第3,4行上;最后给第3行乘1加到第4行即可.

（三）利用初等变换求解行列式思路:利用行列式的性质对行列式进行变换直到转换成上三角或下三角行列式.例3.3

计算行列式解:第一步是互换第1,2行以下都是把一行的倍数加到另一行.(四)将行列式按行或按列展开求解行列式思路:行列式等于某一行的元素分别与它们的代数余子式的乘积之和.在行列式中划去元素所在的第行与第列剩下的个元素按原来的排法构成一个级的行列式

,称为元素的余子式记为..这里的称为元素的代数余子式.例3.4.1

计算行列式解:这里第一步是按第5列展开然后再按第1列展开这样就归结到一个三级行列式的计算.常用的按行（列）展开方法中还有一种解法叫做降阶法例3.4.2

计算行列式解:利用按行按列展开定理把原行列式按第1列展开

.降阶后的两个低阶行列式都是三角形行列式故原行列式的值为.（五）加边法或升阶法思路:加边法最大的特点就是要找每行或每列相同的因子那么升阶之后就可利用行列式的性质把绝大多数元素化为0这样就达到简化计算的效果例3.5

求行列式的值

解:行列式第1列有共同元素第2列有共同元素,…,第列有共同元素.根据这些特点给原行列式加边得给加边后的行列式的第1行乘加到第行上()得.（六）拉普拉斯（）定理

设在行列式中任意取定了个行,由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式.例3.6

在行列式中取定第一、二行.得到六个子式:,,,,,.它们对应的代数余子式为,,,,,.根据拉普拉斯定理从这个例子来看利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是在理论方面应用.推论两个级行列式和的乘积等于一个级行列式

.其中是的第行元素分别与的第列的对应元素乘积之和,.证明:作一个级行列式根据拉普拉斯定理将按前行展开.则因中前行除去左上角那个级子式外其余的级子式都等于0.所以

.现在来证.对作初等变换.将第行的倍第行的倍…第行的倍加到第一行得

.再依次将第行的倍第行的倍…第行的倍加到第行就得

.这个行列式的前行也只可能有一个级子式不为0,因此由拉普拉斯定理

.定理得证.（7）范德蒙德（）行列式

(1)称为级范德蒙德（）行列式.我们来证明对任意的级范德蒙德行列式等于这个数的所有可能的差的乘积.我们对作归纳法当时,结论是对的.设对于级的范德蒙德（）行列式结论成立;现在来看级的情形.在行列式中第行减去第行的倍,第行减去第的倍.也就是由下而上依次的从每一行减去它上一行的倍有后面这个行列式是级的范德蒙德行列式根据归纳法假设它等于所有可能差的乘积;而包含的差全在前面出现了.因此结论对级范德蒙德行列式也成立.用连乘号这个结果可以简写为

.由这个结果立即得出范德蒙德行列式为0的充分必要条件是这个数中至少有两个相等.例3.7证明

.我们对用数学归纳法当=1时上式的左端为按第一行展开就得到所要的结论.假设上式对,即左端行列式的右上角是级时已经成立,现在来看的情形,按第一行展开有

.这里第二个等号是用了归纳法假定最后一步是根据按一行展开的公式.根据归纳法原理上式普遍成立.行列式的解法有很多,以上介绍的是计算行列式最常用的几种方法,行列式类型有很多在具体的求解过程中要根据行列式本身的结构特点选取恰当的方法.通常选取的方法是初等变换法和画三角形法,而行列式的性质也是求解行列式的非常简便的方法之一,因此要熟记行列式的性质.另外,拉普拉斯（）定理及范德蒙德（）行列式有其特定行列式的形式,因此二者适合于满足其条件的行列式的求解问题.

参考文献[1]俞正光,李永乐,詹汉生,线性代数与解析几何,北京,清华大学出版社,1998.5;[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组,高等代数高等教育出版社,200