导数及其应用复习小结

第三章导数及其应用复习小结5/23/2023本章知识结构导数导数概念导数运算导数应用函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线斜率基本初等函数求导导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数单调性研究函数的极值、最值曲线的切线变速运动的速度最优化问题5/23/2023曲线的切线

以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x)上取一点P(x0，y0)，点Q(x0+△x，y0+△y)是曲线C上与点P临近的一点，做割线PQ，当点Q沿曲线C无限地趋近点P时，割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就把直线PT叫做曲线C的在点P处的切线。一．知识串讲5/23/2023

此时割线PT斜率的极限就是曲线C在点P处的切线的斜率，用极限运算的表达式来写出，即

k=tanα=5/23/2023（一）导数的概念：

1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若极限存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f’(x0)，或y|；5/23/2023

2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f’(x0)，这样在开区间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的导函数．简称导数．记作f’(x)或y’.即f’(x)=y’=5/23/2023

3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f’(x0)．所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为

yy0=f’(x0)·(x－x0)．

4．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度v就是路程s对于时间t的导数，即v(t)=s’(t).5/23/2023返回5/23/2023导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:返回5/23/2023当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:PQoxyy=f(x)割线切线T返回5/23/20231)如果恒有f′(x)>0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；2)如果恒有f′(x)<0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内定理aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0如果在某个区间内恒有,则为常数.返回5/23/20232)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a的左侧附近f’(x)<0，在a右侧附近f’(x)>0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.函数的极值1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0，在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值注：导数等于零的点不一定是极值点．2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.函数的最大（小）值与导数xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)返回5/23/20235/23/20235/23/20235/23/20235/罢18笋/2妙02延3（五降）函秤数的著最大蜻值与摩最小尽值：1．定丽义：最值盏是一添个整胳体性泽概念罢，是如指函汗数在从给定碎区间(或定啦义域)内所役有函甜数值颠中最狐大的欢值或作最小眉的值辉，最是大数持值叫膝最大正值，阁最小预的值鼓叫最筒小值肯，通穗常最吴大值呆记为M，最小泳值记依为m.5/烘18链/2堪02谈32．存在叫性：蛾在闭巨区间[a，b]上连决续函宫数f(x)在[a，b]上必斧有最唐大值能与最蜓小值瓜．3．求见最大谷（小均）值余的方惊法：倡函数f(x)在闭沃区间[a，b]上最偷值求渣法：①求出f(x)在(a，b)内的肚极值桌；②将函支数f(x)的极覆值与f(a)，f(b)比较骗，其贡中较吓大的坚一个害是最离大值盯，较唐小的辛一个逼是最鸡小值.5/并18录/2玻02蜜35/征18裹/2杨02康35/朝18沫/2伙02麻35/怕18位/2歇02盛35/汽18芒/2脆02他35/彩18附/2德02识3例1．已蔑经曲删线C：y=绘x3-x廉+2和点A(怎1,运2)。求额在点A处的杂切线带方程奔？解：f/(x)=蛋3x2－1，∴k=扔f/(1骆)=酱2∴所求粱的切副线方蠢程为芝：y－2=敢2(库x－1)品,即y=瓶2x5/鸡18瓣/2胶02欠3变式1：求过城点A的切岩线方径程？例1．已葡经曲迷线C：y=哑x3-x辰+2和点(1努,2轻)求在毫点A处的蹲切线滨方程垒？解：愤变1：设切埋点为P（x0，x03－x0+2），∴切线倦方程袍为y－(己x03－x0+2血)=莲(3激x02－1)(x－x0)又∵切线梦过点A(建1,押2)∴2－(固x03－x0+2虑)=搬(案3挑x02－1)(贼1－x0)化简涌得(x0－1)2(2x0+1恩)=周0，①当x0=1时，锡所求齿的切烧线方粉程为顿：y－2=吸2(x－1)说,即y=残2x解得x0=1或x0=－k=潜f/(x0)=圣3谁x02－1壤，②当x0=－时，饭所求岛的切慕线方根程为响：y－2=－(x－1)江,即x+煌4y－9=爸05/兴18泻/2佩02松3变式1：求过串点A的切饿线方下程？例1：已经惹曲线C：y=样x3－x+劣2和点(1会,2栏)求在漂点A处的饲切线舍方程臂？变式2：若曲悟线上鼠一点Q处的茅切线竞恰好踏平行寇于直线y=隆11威x－1，则P点坐姥标为__厘__蛋__薄__谅__梦__械,切线幸方程秃为__表__捎__杏__棕__退__扶__称__里__前__鄙_．(2甜,8骄)或(－2,－4)y=遭11炎x－14或y=镰11把x+烛185/职18拆/2激02载35/弄18大/2师02数35/笋18削/2血02叮3（1）正训确理滋解导泥数的循概念搭和意株义，拘导数水是一钞个函斤数的宇改变洁量与挣自变工量的唉改变太量的晃比值棕的极为限，拳它反钩映的补是函合数的锁变化阁率，丈即函搏数值五在x=x0点附袋近的慢变化酒快慢精；所家以只霉有与苹变化每率有抗关的棍问题涂都可测以用元导数秤来解隐决；（2）掌京握求挤导数蜘的方软法，傍特别喂是在院求复口合函荣数的坚导数幅时，西