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文档简介

第四节全微分一元函数y=f(x)的增量概念：考虑二元函数z=f(x,y)关于x的偏增量关于y的偏增量全增量一元函数y=f(x)的微分概念：若函数的增量：能表示为：则称函数y=f(x)在点x处是可微的，并称为函数的微分当例如：存在时，考虑边长分别为x和y的矩形的面积：当两边长分别取得增量和时的改变量

第一部分是的线性函数

第二部分

第一部分是的线性函数

第二部分定义：如果函数z=f(x,y)的全增量可以表示为其中A、B与x,y无关(仅与x,y有关)则称z=f(x,y)在点(x,y)处可微，并称Ax+B

y为z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分，记作dz

或证明：定义：如果函数z=f(x,y)的全增量可以表示为则称z=f(x,y)在点(x,y)处可微，记作问题1：函数z=f(x,y)在什么条件下可微？问题2：在可微的条件下，A=？，B=？如果

z=f(x,y)在点(x,y)可微，必存在，证明：因为z=f(x,y)在点(x,y)可微，故且z=f(x,y)在点(x,y)处的微分可表示为定理1（必要条件）则函数在该点(x,y)处的两个一阶偏导数（1）令，得（2）令，同理得：所以，当函数可微时，全微分可写成若分别取z=x和z=y，则记分别称为z=f(x,y)在点(x,y)处对x和y

的偏微分。叠加原理：二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和。叠加原理也适用于二元以上的多元函数的情形。如设u=f(x,y,z)则有（1）对于一元函数，可微可导；几点说明：（2）对于多元函数，可微一定连续，（3）对于多元函数，若可微，则偏导数一定存在，问题3：对于多元函数，偏导数存在，函数是否一定可微？例1但f(x,y)在点(0,0)处不可微。证明：证明：用反证法证明函数在点(0,0)处不可微。如果f(x,y)在点(0,0)处可微，则必有由定理1即有例1但f(x,y)在点(0,0)处不可微。因此必有但当即有与k有关矛盾！所以函数在点(0,0)处不可微。上述例子有两个重要性（1）它具体说明了即使函数在某点处的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点可微。（2）它给出了证明函数在某点不可微的一般方法。定理2（可微的充分条件）:如果

z=f(x,y)

的偏导数在点(x,y)的某邻域内连续，则z=f(x,y)

在点(x,y)处可微。问题1：函数z=f(x,y)在什么条件下可微？多元丸函数梁连续刷、可就导、诸可微堡的关丝式系函数风可微函数霸连续偏导略数连烂续偏导袄数存气在例2：计算解：在点(胳2抽,朋1却)处的甘全微月分。全微柜分的携计算当函章数可余微时书，全惧微分垦可表快示为所以钱全微享分的在计算絮实际夕上就睬是偏验导数妻的计籍算问锈题。例3：计算函数的全微分解：解解答思考都题：索若f(x,y)在点(炕0梨,止0今)的某语邻域漫内有器定义若f(x,y)在点(虚0尤,屠0叠)处可湖微，侍则必舞有若f(x,y)在点(冰0举,崖0先)处不乎可微叹，则貌表达腐式可以位存在滨，但它状不代表乖函数樱在(由0,重0爹)处的乎微分灾。二元美函数绕的线纷性化

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