第条件分布与二维随机变量的独立性

在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量设有两个r.vX,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.这个分布就是条件分布.条件分布第二讲条件分布与随机变量的独立性例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y表示其体重和身高.则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.体重X身高Y体重X的分布身高Y的分布现在若限制1.7<Y<1.8(米),在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样.例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加.一、离散型r.v的条件分布列实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复.定义1设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P(Y=yj)>0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布列.P(X=xi|Y=yj)=，i=1,2,…类似定义在X=xi条件下随机变量Y的条件分布列.作为条件的那个r.v,认为取值是给定的，在此条件下求另一r.v的概率分布.条件分布列是一种概率分布列，它具有概率分布列的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.例如：i=1,2,…例1一射手进行射击，击中目标的概率为

p，(0<p<1)，射击进行到击中目标两次为止.以X表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数.试求X和Y的联合分布列及条件分布列.解：依题意，{Y=n}表示在第n次射击时击中目标,且在前n-1次射击中有一次击中目标.{X=m}表示首次击中目标时射击了m次n次射击击中2nn-11……………….m击中

n=2,3,…;m=1,2,…,n-1由此得X和Y的联合分布列为不论m(m<n)是多少，P(X=m,Y=n)都应等于n次射击击中2nn-11……………….m击中每次击中目标的概率为pP(X=m,Y=n)=？为求条件分布，先求边缘分布.X的边缘分布列是：m=1,2,…Y的边缘分布列是：n=2,3,…于是可求得：当n=2,3,…时，m=1,2,…,n-1联合分布列边缘分布列n=m+1,m+2,…当m=1,2,…时，

二、连续型r.v的条件分布设(X,Y)是二维连续型r.v，由于对任意x,y,P(X=x)=0,P(Y=y)=0，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布，下面我们直接给出条件概率密度的定义.定义2设X和Y的联合概率密度为f(x,y),边缘概率密度为，则对一切使的x,定义已知

X=x下，Y的条件密度函数为同样，对一切使的y,定义为已知

Y=y下，X的条件密度函数.我们来解释一下定义的含义：将上式左边乘以dx

,右边乘以(dxdy)/dy即得以为例换句话说，对很小的dx和

dy，表示已知

Y取值于y和y+dy之间的条件下，X取值于x和x+dx之间的条件概率.运用盟条件厅概率命密度发，我唱们可量以在买已知棋某一领随机甩变量歉值的耗条件浊下，躁定义冈与另抵一随伞机变等量有第关的难事件检的条财件概仙率.定义哄在已稀知Y=y下，X的条崖件分固布函所数为特别，取即:若(X,Y)是连超续型r.伤v,则对到任一集合A，求P(X>1妹|Y=y)例2设(X,Y)的概率密度是解:

P(X>1|Y=y)为此,需求出由于于是死对y>0网,故对y>0乖,P(X>1涛|Y=y)例3设(X,Y)服从偶单位骂圆上壶的均醒匀分代布，贯概率密度牲为求解：X的边超缘密训度为当|x|<睛1时,有例4设r.巾vX在区控间(0帅,1虏)均匀低分布狗，当息观察点到X=否x(0寒<x<1苏)时，r.税vY在区果间(x,1鸦)上均找匀分醉布.求Y的概蛇率密历度.解：依题乔意，X具有岭概率光密度对于剃任意议给定途的值x(0津<x<1谦)，在X=委x的条根件下会，Y的条轮件概酸率密斜度为X和Y的联谅合密浪度为于是揭得Y的概硬率密捧度为已知哈边缘毛密度加、条件绿密度壮，求联合圆密度随机逆变量尿的独跪立性锄是概坏率论土中的分一个叼重要巴概念两事剥件A,B独立常的定春义是陪：若P(AB)=P(A)P(B)则称傻事件A,B独立.设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.两随淘机变酸量独浸立的负定义毁是：用分布函数表示,即设X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.它表距明，爬两个r.导v相互独立撑时，吉它们鞠的联游合分布仓函数录等于数两个些边缘贪分布昌函数朋的乘黄积.其中是X,Y的联合密度，则称X,Y相互独立.对任意的x,y,有若(X,Y)是连结续型r.膨v，则上拐述独胶立性移的定杀义等乐价于历：分别是X的边缘密度和Y的边缘密度.若(X,Y)是离唐散型r.值v，则上旺述独碧立性因的定殖义等贵价于衰：则称X和Y相互独立.对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有即例1设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？解：x>0即：对一切x,y,均有：故X,Y独立y>0若(X,Y)的概率密度为情况又怎样？解：0<x<10<y<1由于雷存在渔面积帜不为0的区文域，故X和Y不独看立.例2甲乙狐两人纱约定开中午12时30分在色某地馅会面.如果昂甲来处到的降时间曲在12升:1士5到12混:4训5之间壤是均糊匀分镰布.乙独昌立地倡到达,而且济到达宗时间垮在12报:0赛0到13序:0沃0之间前是均祸匀分毯布.试求验先到海的人锅等待穴另一蛙人到客达的恳时间江不超劈燕过5分钟抛的概绘率.又甲僚先到惨的概氏率是榆多少防？设X为甲辱到达贡时刻,Y为乙担到达弟时刻以12时为行起点,以分允为单总位,依题盗意,X~U(1幕5,至45亭),Y~U(0稼,6浙0)解:所求为P(|X-Y|5)及P(X<Y)解:设X为甲到达时刻，Y为乙到达时刻以12时为起点，以分为单位，依题意，X~U(15,45),Y~U(0,60)甲先痕到的概构率由独蚕立性先到巡寿的人蔑等待胶另一庙人到达炸的时省间不城超过5分钟的概沟率解一惜：P(|X-Y|5)=P(荐-5肯<X-Y<5倾)=1扶/6=1惠/2P(X<Y)解二庆：P(X<Y)=1角/6=1棋/2被积垮函数遥为常肠数，直接燥求面千积=P(X>Y)P(|X-Y|5)类似秃的问笨题如次：甲、替乙两稳船同轨日欲责靠同丢一码陡头，阴设两杆船各诊自独简立地脆到达饱，并贤且每向艘船换在一抱昼夜代间到趁达是雪等可邻能的.若甲阴船需质停泊1小时蹄，乙漫船需仰停泊2小时吹，而拳该码棍头只樱能停是泊一洋艘船锻，试欲求其毒中一阻艘船侮要等笼待码葵头空捆出的鄙概率.在某逃一分逝钟的末任何氏时刻特，信舰号进色入收忠音机狮是等匪可能毫的.若收肌到两掉个互练相独框立的怀这种晚信号谅的时谅间间辽隔小词于0.切5秒，蜡则信军号将说产生蹦互相询干扰.求发禾生两亩信号恰互相墨干扰爪的概今率.把长压度为a的线增段在侧任意获两点捐折断行成为粘三线牌段，拘求它青们可岂以构侵成三守角形桂的概扬率.长度为a我们蹄已经糖知道转，设(X,Y)是连续型r.v，若对任意的x,y,有则称X,Y相互独立.由条晶件密林度的房诚定义椅：可知龄，当X与Y相互误独立促时，也可楚用此怜条件姜判别呢二维嗽连续县型r.酿v(X,Y)的两泼个分这量X与Y是否规相互卸独立.对离址散型r.漠