经典功率谱估计

第十一章经典谱估计11.1概述11.2自相关函数的估计11.3经典谱估计的基本方法11.4经典谱估计的质量11.5经典谱估计的改进11.6经典谱估计算法比较11.7短时傅里叶变换请抓住并搞清楚如下四个问题：功率谱为什么要估计？如何估计？如何评价估计质量？如不理想，如何改进？11.1概述平稳随机信号功率谱的两个定义：随机信号的单个样本求均值运算求极限运算集总平均两者等效平稳信号单一样本可将看作能量信号，因此，可对它作傅立叶变换，并得到功率谱：问题：的功率谱和单个样本的功率谱有何关系？和整个随机信号的功率谱有何关系？截短1.求极限：2.求均值：单一样本的功率谱不能收敛到所有样本的功率谱，因此必须有求均值运算，此即如下定义的来历：各态遍历信号也是如此。双求和变成单求和：证明了两个公式等效。所以自相关函数是集总自相关。证明：功率谱的两个定义都要求：样本无穷多，时间无限长，即需要集总平均。功率谱估计：古老而又年轻的话题！实际工作中，我们往往能得到的是：1.单一的样本；2.单一样本的有限长数据；问题：如何用这单一样本的有限长数据去估计原随机信号真实的自相关函数和功率谱？11.2自相关函数估计目的：自身估计的需要； 功率谱估计的需要集总自相关时间自相关定义：实际求出的自相关函数近似质量如何？EstimationEstimateEstimator（估计子）估计方法：从估计方法上看，实际上是把随机信号“视为”单样本有限长的确定性信号。问题是：偏差自相关函数估计的质量：估计方法单个样本1.偏差来自定义所有样本所以：含义？渐近无偏估计对固定的N，此结论给出了m的选取原则在数据上加矩形窗，长度为N，该矩形窗函数的自相关函数正是三角窗！注意矩形窗加在数据上，三角窗加在相关函数上，体现在估计的自相关函数的均值上。那儿来的三角窗？方差2.方差来自定义包含两项前面结果四阶统计量！由：最后导出：有：渐近一致估计零均值高斯分布3.自相厚关函卵数的检计算已知斩单个贷样本贤的N点数名据估计两个捏方法:（1）筹直接锦按定齐义：最大长度（2）此利用FF否T：St功ep潜1:将败补静个零赵得;Step2:对做FFT,得；Step3:对求幅平方，得；Step4:由得，对其作IFFT,得。思考：和有何关系？自相灾关函企数的共另一迹个估做计方涨法（揉估计蝴子）滑：很容易贞证明例：针是孙的无椒偏估蜡计，芒但方很差性羽能不锦好。情在一裹些谱盘估计售的方好法中势，有烧时用申到该狠公式叉。要求弊：很吴好掌单握自塔相关东函数妈的估疾计方搭法及建估计括性质收。11煮.3经典过谱估呢计问题宿的提涉出：押对随和机信裤号猾，治我们匀往往半只能挑得到糖它的替：1.单一不的样蔑本极；并且容仅是2.单一愁样本弦的有依限长欲数据亿；如何辉用这N数据掘去估仿计原攻随机庆信号捏真实支的功率谱？1.周期颂图（Pe暗ri移od烫og不ra奸m）法：经典茎谱估话计中优有两男个基染本的想方法拍：思路：对做DTFT(DFT),得到频谱；对该频谱求幅平方，再除以N，即得到“周期图”功率谱，以此作为对真谱的估计。2.自相旨关（Bl愁ac院km蓬an惧-Tu蚀ke蛋yBT法）醉法:St撑ep值1Step2因为返先要鸽估计岁自相揪关函免数，织所以切又称间接赢法。与觉此相石对应堤，周肯期图钳法又赢称直接留法。3.直接欣法和五间接奴法的刑关系预：需要挂考虑铜两种溜情况蔽：（一交）（二抵）数据忆的范营围自相腹关函骄数的话范围（一屈）比较浅用两这种方插法的歪估计炕出的菊离散家谱：2N点的阔谱，涝把所掩能估嫩计出然的自计相关摸函数粮都使卫用上毙了，益而估纹计自财相关刃函数岸时，主把N点数纲据也提全都卸使用孕上了准。对协补N个零旱，做DF乖T,得到IFFT

结论：在时，直接法和间接法估计的结果是一样的。？使用间接法时，往往取 ，这时二者是不一样的。因此，直接法可看作是间接法的特例。不补轿零，思考：即：N点离散谱如何搁和剪相等晶？N点离散谱（二成）所以：加在自相关函数上。目的是将其截短。第二次加窗。相当喉于只美用了攻部分炸自相灾关函壁数直接骆法和厌间接欧法之她间的荐关系11盾.4经典新谱估清计的钟质量也分两种情况讨论主要考察的是均值方差无偏估计一致估计？（一）、周期图和自相关法是等效的，统一考虑1.偏差估计值的均值自相关函数估计的性质于是垂有：的真实功率谱；的频谱；的频谱；三角窗；注意堵：撕三角县窗频滑谱恒愚为正最后有：由于如何理解这一结果？所以：周期图和自相关法都是渐近无偏估计因为：2.方差又遇到铜四阶户矩问挠题，工直接拳求解剩困难旅。（1）假定是高斯零均值的随机过程；思路：（2）求在处的协方差：定义风：有关诸方差妥公式正的推滤导不宝作要遇求。舞主要丛是掌六握结苗论，绍并用傻来说怎明问耗题。（3）令前，羽则求解的关键推导旧的结办果：刻方差（1）时经典机功率撒谱估俩计不搅是一称致估逃计解释蜜：推导索的结蛛果：耐协方聚差假定在主瓣外为零；那么，在频率范围内：有（2）若的主瓣宽度为；在处，说明：随机变量在处不相关;原因：功贡率谱胞的定祖义中岩即要难求极启限，米又要淋求均杆值洗；而笼实际广的估误计方应法，漂仅靠稻单次柴实现叨的乱有限洗长，妙无极执限、经又无滋均值悔运算犬，因监此姻产生爽上述积问题迟。设想：增大数据长度，效果如何？后果：使渔估计熔出的此谱曲壳线起鬼伏加叹剧；增大资，纤的主检瓣（知）将薪变窄孩，因诊此，努引起苦不相转关的列区域捞进一骂步增吸多，氧从而助引起亮谱曲胸线的泻更加怖起伏鞋，实狱际上组是方帅差变咐大。分辨怠率和至方差油（体映现在展曲线咏起伏要上）起，是文经典没谱估脖计中眉的一昌对矛称盾。通常，增加，会提高谱的分辨率，对经典谱估计来说，增加固然会有利于提高分辨率，但谱曲线的起伏令使用者难以接受，这是经典谱估计的一个致命缺点。对白聚噪声版在不肌同长遇度情纱况下啄估计帅出的保谱曲剪线：N＝1丈6N＝3卖2N＝6时4N＝1国28经典乳谱估弄计质捡量的鸭讨论躺：(二)、：加在铃估计夹的自衣相关而函数朽上复，周期畏图谱蚕估计扭和自烤相关胃法的聋谱估药计不再隆一样虚！1.偏差谁的主瓣比较宽?假定1：是慢变谱，在的主瓣内近似为一个常数假定2

窗函数的一般要求也是渐近无偏估计！2.方差朴：考虑翼特殊茎情况匆，狡为白季噪序义列，犬其功雁率谱狠应为愿常数坟，即时对移白噪烫声功钉率谱蓄估计袜的方嫌差

时对白噪声功率谱估计的方差：方冒差改损进之盈比两种择情况井下估园计的外方差伶之比邪：?取哈明窗：1.在加上后，估计的谱的偏差劣于M=N－1时估计的谱，而方差优于M=N－1时估计的谱；

（2）在的范围上，因为B变大，不相关的点变少。2.上加窗以后，估计谱方差的改进体现在两个方面：（1）估计的谱曲线变得平滑些结论朵：原主瓣宽，取决于现主瓣宽，取决于3.方差慈的减族小是镜以牺类牲分软辨率认为代逃价的接！ 若分辨率能满足要求，这样做是有意义的。即：既保证了分辨率，又使估计出的谱较为平滑。11折.5直接险法估肃计的浩改进任务：改坚进骂对集估计艳的性喜能；目标：主脱要是买改进躁方差话的性遍能方法：平胆滑与色平均胜；用对的加窗来实现1.平滑（Smoothing)平滑理论依据:L个独立同分布随即变量和的分布，方差减小倍，即：将一流个较东长的肌信号压分成预若干定段，间对每柴一段庭求功馆率谱数，每洁一段功的功房诚率谱伯都是棵随机村变量签，然杠后平墙均之课。类衰似相胃干平震均，哥用以赖弥补榆经典吩谱估偏计中钉缺少殿的求泡均值峡运算舞。注宾意：抱信号避应是制平稳疲的，些且每却一段耻的统赢计特忠性基劝本一蓬样。2.平均春（Av筝er棵ag欺e）（1）.爪B专ar谢tl柄et议t平均将蔽分眯成鹅段兔，每尘段书点，谢即每一段谱平均后谱平均后估计出的功率谱的性能如何？在数据上加了数据窗宽度是结果，在自相关函数上引入了窗函数：搂的烧自相哭关；类似尽引蛙入的统计性能分析：（1）偏差增大，分辨率进一步下降；（2）方差减小，但到不了倍？2.择We赢lc幼h平均特点扩：交采叠分扇段若重叠一半，段数变大：不一叫定是仿矩形流窗，物如Ha甜mm摸in骡g窗归一化因子，保证无偏估计We俩lc拼h平均弃是常涉用的叛经典翅谱估震计方肥法，MA俊TL改AB中有邻相应腾的命均令We林lc摘h平均聪法的辫方差甲比Ba敏rt造tl吹et狭t方法蛋有明把显的情减小盆，而贞偏差梳几乎坟没有丈减小3.No醉tt牙al彼l法：甜平滑柳与平守均相仪结合假定1：是慢变谱，在的主瓣内近似为一个常数）假定2H(z)H(z)11迟.6总结渗与比夺较请掌握挂如下屠的方像法：白噪糊声1白噪界声2两个藏输出废都是获随机妄信号由自己指定令：则：构成盛一复粪信号得到鞭的功叉率谱鞋；在的基础上再加上四个复正弦，归一化频率分别是：调整同，可苗以得盐到不暴同的嘱信噪舌比，龄本例绑取这样内，哲的真饲实功毁率谱鉴可得超到，战并可边画出晌。我陷们可哄以此筑作为赛比较妈各种域算法吉的依威据。实际工作中，对信号总取有限长，如 ，由这128点去“求”功率谱，得到的当然是估计值。（a）真实迅谱；乎（b）周期态图；进（c）We摄lc方h平均以，四迷段，缓无迭耻合，Ha午mm日in跪g窗；催（d）同c,但迭印合16点（e）BT法，M＝32；（f）BT法，M＝16经典隶功率雅谱估帜计的哥特点：1.物理奶概念夺明确妨，可斤用FF近T快速它算法繁。所厨以是大纠众化煤的谱咳估计适方法勿；2.对周期图，分辨率受到的限制；对自相关法，分辨率受到的限制；3.方差弃性能御不好偿，不详是一赢致估寨计，N增大时苍谱曲熔线反唉而起丈伏加坑剧；4.改进掘方法近是“盘平滑赢”与利“平驶均”壶，改法进的妥目的是欠减小摇方差驼，但击牺牲额了分兆辨率隙；5.注意钟窗函纪数的炼作用退与影温响：加在数据上的窗函数：产生加在自相关函数上的延迟窗：各个窗函数的作用及影响是什么？11叉.7短时渐傅里期叶变滋换平稳磁信号：均戏值、舒方差掠及均比方都千不随成时间抓变化俊，自台相关晴函数字仅和赛两个著观察岸时间丸的差乎有关回，和积观察渡的具秆体位运置无朽关；非平捐稳信复号：均拜值、棉方差躁都随呆时间浸变化森，自撕相关层函数团也和欣观察俩的时闲间位冬置有唤关，贺信号危的频斑率也纸随时笔间而鼻变化牲，如榆语音泉、脑词电及差其他酿含有杯较多咏突变豪分量周的信伸号。其剧一阶关、二牢阶统作计量撕和功消率谱同的估归计显岛然不陶能简赌单地东使用品平稳垫信号拾的估朋计方潜法，品必须旦考虑委其时叶变因懒素。方法：分公段，屡每一馅小段共可看税作是居平稳坚的。概念胸：其ST婆FT定义复为:并且控窗函常数应担取对炼称函宜数。式中τx(τ)0FTFTFTΩ0谱图拥是恒府正的丹，且盘是实街的。概念减：“谱羞图（sp揪ec泡tr肚og书ra杨m）”由于所以谱图是信号能量的分布。考虑是随机信号的一个样本，谱图可实现信号功率谱的估计。注意，它们是的函数将信号膊变换饭为一拍个二阔维函找数狐的扛方法他称为恳信号遍的联殿合时首频分叠析：ST包FT谱图Wigner分布Cohen类分布例1信号x(垦n)由三辉个不渔同频冲率的患正弦陪首尾炮相接商所组潜成，脾即例2线性最频率霸调制晒信号吗（ch栋ir抚p）其频症率与柿时间家成正柱比非平彩稳例2两个ch畏ir杨p信号略，一犹个频吩率随朗时间伪增长躲，一甘个频短率随遍时间螺减小债，求扩它们激和的竞谱图线。与本章钻内容故有关种的MA泽TL狸AB文件