第九章质点运动微分方程

工程力学系多媒体教学课件系列之二理论力学第九章质点运动微分方程山东农业大学水利土木工程学院动力学第三

篇理论力学☆

动力学是研究物体运动与力的关系的科学。弹簧力空气阻力☆

研究方法：数学演绎法2、质点系☆

力学模型：1、质点第三篇动力学——刚体系统☆理论体系：☆两类问题：☆惯性坐标系和非惯性坐标系1、矢量动力学牛顿定律微分方程普遍定理达朗伯原理动量定理动能定理动量矩定理2、分析动力学－普遍方程第三篇动力学①已知力求运动；②已知运动求力。第九章质点运动微分方程第一节动力学基本定律第二节质点运动微分方程第三节质点在非惯性坐标系中运动＊第三篇动力学第一节动力学基本定律第二节质点运动微分方程第三节质点在非惯性坐标系中运动＊第三篇动力学第九章质点运动微分方程

第一定律（惯性定律）

任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速直线运动的状态不变。

该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。或

第二定律（力与加速度关系定律）

质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同，即第一节动力学基本定律动力学第九章质点运动微分方程

注意：

1、力与加速度的关系是瞬时关系；

2、质量m是刚体惯性的度量；

3、F应是作用在物体上的合力；

4、量纲与单位（N、s、t）；

5、适用惯性坐标系。第三定律（作用与反作用定律）

两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。第一节动力学基本定律动力学第九章质点运动微分方程

第一节动力学基本定律第二节质点运动微分方程第三节质点在非惯性坐标系中运动＊第三篇动力学第九章质点运动微分方程

将动力学基本方程用微分形式表示所得到的方程称为质点运动微分方程。一、矢径形式或这就是矢径形式的质点运动微分方程。第二节质点运动微分方程动力学第九章质点运动微分方程

参考体第二节质点运动微分方程动力学第九章质点运动微分方程

参考体xyz二、直角坐标形式这就是直角坐标形式的质点运动微分方程。三、自然坐标形式第二节质点运动微分方程动力学第九章质点运动微分方程

M这就是自然坐标形式的质点运动微分方程。第一类:已知质点的运动，求作用在质点上的力——

微分法

第二类:已知作用在质点上的力，求质点的运动——积分法混合问题：第一类与第二类问题的混合。解题步骤：1、分析问题2、运动分析3、受力分析4、列方程求解一般用直角坐标法点的运动轨迹已知时用自然法第三节质点动力学两类问题动力学第九章质点运动微分方程

杆长为l，质量不计的细长杆杆端有一小球M，质量为m，另一端用光滑铰固定。杆在铅垂面内运动，开始时小球位于铅垂位置，突然给小球一水平初速度v0，求杆处于任一位置时对球的约束力。以小球为研究对象，将其视为质点。建立图示的自然坐标系。由运动学知：第三节质点动力学两类问题动力学第九章质点运动微分方程

例9-1【解】M第三节质点动力学两类问题动力学第九章质点运动微分方程

【解】M在任一位置质点受力如图。由自然坐标形式的质点运动微分方程得(1)(2)时，，，有第三节质点动力学两类问题动力学第九章质点运动微分方程

【解】M(1)(2)将其园代入（2）式，尾得从某加处抛违射一宵物体械，已届知初娘速度魔为v0，抛蔽射角，如求不计各空气盏阻力强，求纵物体钥在重申力单柔独作既用下枪的运灵动规潜律。以抛认射体书为研耻究对卷象，萍将其云视为伏质点粘，受彩力如雾图，恭建立堵坐标威系，歇由直杠角坐燃标形合式的度质点都运动启微分淘方程托得式中，为积分常数，由初始条件确定。第三节质点动力学两类问题动力学第九章质点运动微分方程

例9-繁2【解】xyM第三节质点动力学两类问题动力学第九章质点运动微分方程

【解】xyM时，代入以上四式，即得：轨迹派方程窜为：是一索条抛稳物线洋。于是妖运动楚方程思为：第三节质点动力学两类问题动力学第九章质点运动微分方程

图示汤质量疾为m的矿除石M，从示水面公由静啊止开拆始沉偏降，取已知尚水的港阻力鹅为FR=-v，其恋中比劫例系伏数是与乱矿石课形状找、横副截面逆尺寸嚷、介辞质密农度有立关的没常数傍。求良矿石辰的运高动规丽律。例9-采3【解】该问坑题是泉已知离力求液运动热，属劝于第架二类咳问题扑。xMmgFR取矿窗石为惜研究爷对象运，矿纪石上争受有泽重力mg和阻伴力FR，作秩变速才直线驴运动董。取银水面者为坐烦标原靠点，x轴铅残直向扯下。巷矿石梦运动万的初扭始条耳件是t=0时，x0=0，v0=0。矿秆石运培动微蝇分方剑程为却：第三节质点动力学两类问题动力学第九章质点运动微分方程

【解】矿石妻的运裁动微施分方铸程为羡：为简便起见，令，有当时，，于是得到矿石下降的最大速度为：xMmgFR第一债节纪动力软学基羽本定先律第二肤节章质点轻运动葵微分政方程第三和节拣质点充在非片惯性亡坐标各系中欺运动＊第三才篇庄动役力絮学第九某章禽质点乌运动喇微分喉方程惯性哑坐标悲系是指笋相对雹于静花系静鱼止或具匀速泰直线咏运动梯的参筛考系园。实例非惯书性坐以标系是指欢相对后于静退系有喘加速邪度的神参考门系。牛顿纹定律拍只适屋用于押惯性便坐标刑系。第三节质点在非惯性坐标系中运动动力学第九章质点运动微分方程

其中：牵连惯性力科氏惯性力第三节质点在非惯性坐标系中运动动力学第九章质点运动微分方程

【讨论】几种栗特殊芳情形度式①动系摩相对茫定系泽作平她动故质雷点的欧相对锯运动竹动力壤学方窝程为②动系传相对逆定系余作匀碌速直厨线平制动此时因此犁，质奔点的矛相对押运动培动力珍学方竿程为第三节质点在非惯性坐标系中运动动力学第九章质点运动微分方程

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已知OA长为l，小涝球质何量为m，滑潜块加辩速度规为a。求跑：绳丛子在纠夹角爸为时的啄拉力奸。1）取亡小球A为研培究对屑象2）运踪蝶动分抗析3）受睡力分巧析4）建格立自包然轴研系，宣列方肌程第三节质点在非惯性坐标系中运动动力学第九章质点运动微分方程

例9-漏4【解】第三节质点在非惯性坐标系中运动动力学第九章质点运动微分方程

【解】水平湾圆盘万以匀速怠转动厘，弹赏簧原狸长为l，劲碰度系贺数为k，且k/盆m>2。初绸瞬时裤弹簧呈无伸衣长，杂求滑砖块在小槽内旷的运债动规奋律以救及槽弊对滑且块的寒反力友。建立建动坐沸标系O'x'近y'，在t瞬时铁，进扒行运词动和适受力壮分析抄。