第二十二章混沌动力学

高等工程地质学山东大学山东大学研究生专业基础课2011年9月主讲教师：薛翊国第二十二章混沌动力学混沌动力学(chaoticdynamics)“混沌”一词译自英文“Chaos”，意为“混沌”、“紊乱”、“无规律”、甚至“湍流”。“混沌”一词自古以来，国内外的书籍中就早有使用，如我国的古代神话中认为在盘古王开天辟地之前，宇宙就是一片混沌状态。

1963年Lorenz在其论文《确定性非周期流》中提出了混沌的思想(对初值的敏感性)。但作为一个科学术语，一般认为李天岩和约克（Yoke）在1975年的论文“周期3则混沌”是首次引用Chaos一词。3.1引言1973年4月的一天，在美国马里兰大学数学系，一名叫李天岩的研究生百无聊赖地走进导师约克教授的办公室，此时李的博士论文正处于胶着阶段，一时未有进展。约克给了李一个区间迭代问题，李却开玩笑地说这个问题的解决足以送到美国《数学月刊》上发表。3.1.1“混沌”的来历

两个星期后，李解决了这个区间迭代问题。如果从x=x0开始按照公式迭代n次后，回到原来的地方，但当迭代次数小于n时都不回到原来地方，则x0就叫f(x)的一个n周期点。李证明，如果区间到区间自身的函数f(x)连续，且有一个3周期点，那么，对于任何正整数n，f(x)有n周期点。(周期3则混沌)

李和约克把这项研究成果写成论文真的寄到《数学月刊》去了，但很快论文便被退回来了，理由是“本刊不以论文形式发表研究成果，如果要发表，应按本刊文章规格改写”。于是，文章被扔进了办公室的角落里。过了一年(1974)，约克教授在一次会议上了解到物理学界正在为混沌现象感到头痛，他立即想到这个区间迭代问题。

其实，李—约克关于有3周期点则有一切周期点的定理只是苏联一位不知名学者的沙可夫斯基定理的一个特例。

沙可夫斯基定理：设f(x)是区间到区间自身的连续函数，又设在沙可夫斯基序中m位于n之前，那末如果f(x)有m周期点的话，则它一定也有n周期点。3.1.2“混沌”现象一、气候中的“蝴蝶效应”

混沌现象首先是1963年被美国气象学家Lorenz发现的。他为了预报天气变化，把大气动力学方程组简化为12个方程组（用牛顿定律建立了温度和压强、压强与风速等之间关系），并在计算机上进行模拟实验，因嫌参数小数点后面的位数太多，输入时很麻烦，便舍去几位，尽管舍去部分看来微不足道，可结果却大大出乎Lorenz的意料：舍去与没有舍去的模型的结果竞然大相径庭，几乎变得完全认不出来了。

为了深入研究这种现象，Lorenz把12个大气动力学方程进一步简化为三个一阶的常微分方程组，并进行了深入细致地分析，得到同样的结论。这三个方程也便成了经典的混沌的例子——Lorenz模型。Lorenz通过对他所提出的方程进行研究表明：短期的天气预报可行，但长时期天气预报是不可能的。

“蝴蝶效应”：在南半球某地的一只蝴蝶偶然扇动翅膀所带来的微小气流，几星期后可能变成席卷北半球某地的一场龙卷风。

二、雷诺实验

在混沌研究中，另一类比较有代表意义的混沌现象便是湍流。

雷诺（Reynold）实验:

在一个可控制流速的园管中注入液体，并在园管中心轴线入口处引入一丝有色液体，以便观察流体的运动状况。

(1)当管中液体流速不大时，有色液体的流动顺直光滑，层次分明→层流。

(2)当流速增加到超过某个值时，有色液体丝将发生规则地振荡→湍流（紊流）。ρ-密度；a-粘滞系数；v-流速；D-园管直径三、Benard对流实验混沌是一个相当难以精确定义的概念。①对初值的敏感依赖性②确定的随机性，由确定性规律决定的系统可以有效地表现出随机行为。确定的：是因为它由内在的原因而不是外来的噪声或干扰所产生，即过程是严格确定性的。随机性：指不规则的，不能预测的行为。3.1.3混沌的定义混沌栽提供春了把疗复杂扛的行手为理净解为纯是有杂目的队和有岔结构阁的某妨种行皂为，第而不扁是理味解为扇外来倒的和过偶然却的行课为的锦方法蔽。确定掏性的疤方程誓可以济产生静随机质行为胳。湍流搭：Na砍vi主er嗽-s苏to殖ke争s方程Lo堪gi吊st价ic映射蚕：Lo层re菌nz模型完：3.且2混沌尤产生手的数清学模朝型对于认确定泥性系粒统中脊的随谁机性别，即沃混沌蓄现象乘，也佣存在论着一城些代评表性之的模箱型，侮这就脉是一维刘迭代对过程。它到们简完单得帽可以厚用一记般的你计算雕器进慢行分床析，芽但又研巧妙敢得足本以抓疯住很找大一裕类真干实世帜界现友象的淋本质币。对初义始条辉件的垮敏感过依赖若性，是嗓混沌红现象竞的一蜂大特危征，夕也是霜造成偷混沌排的原合因。讨论景一维炎映射萄：3.悄2.占1贝诺械勒变沟换模味型111/挤2xnxn-1xn=xn-1从表思面上羡看，烧序列似乎僻有三种形态猾：（1）当是有堂理数袭，且耗用分道数表驱示时,其分签母为2的（k是正挺整数罪）时些，此承时。幂数例如信：（2）当不是2的幂千数时吃，则虏序列沙为周期抛解。是有灿理数荐，且凯用分穴数表税示。牛其分老母例如腰：…大于扰一定神的数钟后将体在三剪个数即之间解循环（3）当是无细理数疑时，仗则序趋列既谦不趋颈向于制零，纤也不趋向捧于周能期解酒，而皂是一氧个貌塑似无规滤则的崖解。为例叼，迭甜代下演去有，但俱若一咸个以初值和前90冤0多位谷小数胸都相协同，后面晕只差一点粥，如蔽：但实备际情泻况并造非如晕此，抽其实祥序列刑只能树有一不种形么态，即混驳沌。所以沫，如玩用作迭趟代，肥则到俊第30泼02次有三个普相差注很小劳的初绕始条福件，套但迭漏代到30麻02次后宗，则县相差宣甚远瓜，真饲是“寒差之醋毫厘捕，失筹之千才里”母。计算救结果虏对初碗始条铜件敏恋感地误依赖海性。再换形一个石和相差钢很小格的无葛理数→无周测期的宴序列设想菜在一叉个小牺岛上级繁衍平着某核类昆技虫，岔每年宰春末艰蜉出昌，夏帐末产追卵后员死去洽。下将一代橡在第国二年猾又重凳复同懂样的泻生死斗轮回惩，就及这样泻年复捆一年青地传依种接牌代下渐去。突那么却，若挨干年言后这明类昆先虫的痒繁衍树状况北如何练呢？为了凯描述宣这种晴昆虫刊的繁活衍状兼况，阿德国董生物程学家（Ve创rh斑ul绵st）18诸37年建堡立了腔这样薪一个刃理想堤化的正生态眯模型循：K：昆搂虫繁煌殖后鞭代的咸能力L：环五境容凳量，听环境旺能够垫供养嫌的最相大昆结虫数仅目。的饱忠和值X*。：t时刻慰的昆祝虫数其等却于3.恭2.离2Lo缴gi眠st起ic映射如果往我们急将环爸境容柔量取脑为1个单身位，奏也即性意味子着如席果L=狸10坑0万，红那么斧昆虫还数目应以10酬0万为忌单位侦。上式郑变为拥：此式庄的精祖确解级为：X（0）是昆虫炉繁衍静的长超期行段为：机当饱和亡值时的旅昆虫翠数。tx如果然我们字每年智对昆厨虫数典目测仙算一龙次，舅并用年的吸昆虫君数，追则原怒来的棋连续炭变量和t就变仰为离激散变紧量则：Ve扫rh躲ul功st生成千模型走就演猫化为高：表示萝第nLo相gi血st映ic映射孔（离贼散模断型）f函数处的这滑种作矛用在碗数学洗上称鲁为映射。求解泳差分犬方程斗可采遭用逐块步迭看代法鄙运算白：即：是从戴初始开始遣连续n次用f函数浸作用害的结虏果。Lo洞gi房诚st抖ic仍然讨映射蚂到该市区间艘，，这聚种映大射称败为自耗身映馋射。自身巴映射：如呈果控泊制参让数K值在0和4之间粥，的作山用是层把任故何值函数f即Lo订gi坛st膝ic映射3.兽2.拨3从倍狐周期籍分叉嚼通向暗混沌(一)莫0<衫K<细1(K0=1拉)解不遍动点贺？每个押不动殿点：当K=吗0.例5时：因此螺，当K=浇0.本5时，征昆虫腾演化答的最哲终结谨果是晌趋于沟稳定，即续消亡野。不动拣点不动秤点：稳定倾点、勉收敛馆点那么款，作睬为生涝态学货研究援的课址题，K究竟良要达肢到何棉值才倍能使魂之摆境脱消拌亡（哲灭亡胡）的熊不幸译结局恨呢？可采浸用分荷析不希动点辱的稳年定性岩条件魔来回舱答这夹个问摸题。在稳甚定的冻不动销点附近伶，如革果把盐每次矩迭代捆结果绩写成到：那么测，要与使逐渐肉趋于具稳定变不动赶点，则旋随着楚迭代逐渐壤减小无，即的进啊行，上式街就是边不动碰点的稳喇定条沃件。由在不隶动点采处，那么的稳每定性证条件堆为：将代入蚊上式把，得倾到不昏动点也就挨是说狐，要遵使昆都虫的推数目茄随时菊间延掏续不除致于骂消亡弊，所以菌，不远动点的稳辉定条将件为万：我们秒来看x的另弱一个已不动榆点那么K=左?也即牧：当育参数下从K<辛1变为K>菊1时不她动点把稳鲜定性了。交给(二)竖1<不K<锣3(K1=3互)从上鞭图可梳以看不出：①随着K值的野增大公，曲正线斜何率在语逐渐昌变陡弹，而晒只有挪那些曲线躺斜率歪小于1的不妙动点膀才为砖稳定殃不动渗点。②当昆哭虫的另繁殖雄能力K达到休一定拼程度高时，妇无论扔初始怎样案小（刘昆虫沫数量碑各多截少）遍（但它都挠会逐忘年增涨加，书最后颗把昆傅虫数虏目稳骑定在趋势痛不会师永远膛继续贫下去鲜，当K超过3时也会扁变成延不生存必资源格条件现允许墓的有宁限数颂目上池。但各我们扰看到晌，这登个一个有限农数目也会燃随着K的增贿加而亚增加晚，但障这种稳定龙。(三)认3<痰K<(K2=清=3将.4身49诱5)既然响是重样复出顿现：系统微重复景出现讲的这趴两个紫点上述赏情况表明呈：当K>挪3时，罗昆虫挥数的投长时疯间行侍为不枯再趋强于某计一固氏定值局，而愿是趋烤于一枯年多府一年动少的周期碧值（交摔替）贡。称为2点周访期。如此毕众多终的昆盲虫，饲绝大匪多数待昆虫猫未能渡到产营卵期悄使中促途死茄亡，坑幸存医的昆钞虫留蛇下少搂量的列卵在警第三跃年又盯蜉化着出则少词量的昆虫柿有足禽够的访食物袖和良股好的殃环境湿空间福，绝维大多焰数昆胶虫都犬能活舱到夏妙末的夹产卵敬期，省留下捎大量消的卵活可供蛙第二闪年春教季蜉陪化出瓜众多姐的昆厅虫数线性勒项（牲加快闷繁殖现）；击非线灭性项鱼（限贸制繁碍殖）这种交替易变化来源爱于线博性项和非对线性套项之间颤的竞争。①如果币某一看年的侵昆虫妹数处赢于较僻少的。状态录，②当昆逝虫数拾真正前达到的新羡一代疯。时，马岛上茎食物梦不再前能供呼应说明经过炉两次展映射雷（两榴个f）又励回到一个驻复合疫函数坟：显然伪，满足屑上述怕条件仗，即（1），如滥果定劳义（2）2点周动期：不动默点稳鞭定的义条件谎：据此格可求然出跌稳定引时K的取煎值范晕围。K2K1当时，4点周军期将贱取代2点周金期即：根据4点周自期稳知定的沙条件雀，可陶求出4点周偏期稳斯定的K的取煌值范堤围：用计贱算机赚求解衰这两蜓个高厚次代任数方风程，芦得4周期况点稳酬定条颠件：当时，8点周悔期→16点周齐期倍周谦期分万叉：随着趋控制岗参数K的不戒断增舒大，瓜稳定啄不动页点的押个数唉从一筒分为近二，负二分岂为四益，四雨分为蛛八，……，呈悔周期携加倍框的分飘叉现蹈象称绩之。当时，16点周甘期→32点周事期当时，4点周炼期→8点周魂期K0K1K2K3类似焦的分惩支可拼以不苍断地材继续盒下去杀，每滨到分四支点Kn会出钻现稳籍定的2n点周急期。各相草邻分升支点兵的间涂距随着n的增烦大逐未渐减鱼小。当n比较良大的途时候妄，稍菜微改诵变一堤下控熟制参斧数K的值堪，周矩期加牌倍会隔很快表发生蚊，直寇到无穷款长的消周期顷，即魂非周钞期。当K大于沙，昆文虫数异的长遵时间惜行为希不再娃稳定残到任宴何不苹动点厅或周快期值椅上，居它可求以从沃小到稠大表良现得书很随怖机，情这时合我们捡说昆沾虫的漠演化耕进入胡了混沌池状态。1<个K<辈33.过44布95贝<K阿<3袭.5谨44片13<绩K<啊3.招44朴95K>众3.执56滴99(1卡)有序：混僵沌的革产生志条件甘是在仔远离暮平衡融状态游，在吩混沌边的无样序中处还包捎含着宋更深燃层次胞的有途序性宗；(2骆)无序：混柄沌是商一种就有结许构的残无序馅，表制面上抛看起灶来是妥杂乱命无规雾则的李混沌伏是有接其内抱在规妹律性吧的。3.馅3混沌衬中的渡规律榜性混沌流的产架生经紫历了改一个他从无戒序→呆有序酒→无翅序的概过程雷，混治沌与沃简单寸的无碌序（多平衡锋态的嫂均匀倦无序箭）是搅有本滔质差圆别的3.宿3.鞋1各态傍历经当演侄化处情于混扭沌区钟后，没由于白它是线无穷宇周期点点，鄙随着劫时间忆的演框化，柴系统煌的状池态几伞乎可史分布收于[0，1]的整斧个区护间→各态临历经。两点交规律偿：①当K从4减小廉时，黎昆虫材数历嚷经的娃区域增逐步乳在缩价小；②在混参沌带恒内的学某些法部位沃，当K减小粮到原来键连成羞一片辈的混窃沌带书一分沾为二宾，到……，这残种行溜为与翅倍周歪期分芽支行宏为类俗似，型所以跳称时，混沌喝带又潜二分为四钢，为混沌舅带倍谜周期票逆分翠叉。3.窑3.袖2混沌纠带倍预周期踩逆分旷叉混沌泥区并市不完愤全是楚无序工的，切它有未着复孩杂的甜结构补。通合过对森混沌歪区的浑仔细痰观察快可以译发现迁，在索混沌炕区内旦还存受在着撤一些垒大大逐小小范的透明这窗口，在短这些幅窗口际内，偏昆虫羡数的坦演化创是周期犯性的。在这蜡些窗跑口，价最大尿的周今期窗找口是迅周期3，它反发生染于3.健3.驰3周期贸窗口3.国3.秀4阵发众混沌当慌，时乡丰出现扩的3个不械稳定于不动怖点之闲间形对成了帐三处孔狭窄惨“走观廊”椒。“走廊浩中的故迭代辽很象川在不衔动点根附近稿徘徊侍，近惩乎周桥期运哪动。取在不婶同走暮廊之慎间的芬跳跃蛙，近明乎混阳沌。档因此杨，在戒整个费过程丙中随粗机地夺夹杂缓了一搞些混皇沌阶俊段。n（2n周期点）分支点Kn01134.44950953923.4494877434.75132466733.5440903594.65634931543.5644072664.66824174953.5687594204.66874135163.5696916104.66914434873.5698912594.669059869┇┇┇∞3.5699456724.6692016093.章4Fe宫ig教en扯ba总um常数3.例4.货1倍周摔期分森叉序孙列的慎收敛孝速率设：随着n的增分大，崖趋晴于一戒常数歉，在一个笑确切患的无誉理数糟上：时，冤它固跌定在……Lo出gi宴st零ic映射指数捆映射梅：正弦职映射券：在这跳两个拿映射袋中观卡察到躺发生宝分叉质的参设数K都以准为收物敛速腐率呈拒几何圈级数勾收敛科。研究乓结果李表明逢，系与Lo务gi鬼st吃ic映射诸的细鸣节无么关，畜凡是惠满足访如下栏条件蛇的函榨数：函数旁有一侮个“扭通有牺的”泰的极颈大值内，即鞭一个筋非零践二阶渠导数滚的极且大值骑，这索样的笼函数纯称为单峰堵函数。（1）败对所漠有通剪用的单峰恩映射是普册通的箩；(2未)一旦冠在一何个耗颂散动狐力学替系统蛙中发篮现倍周充期分洲叉，那缘瑞就应牙该发换现该倒普通沟常数嘱。(3要)维F李ei聚ge定nb蝇au降m常数烫的弃发现霸揭示祝了一刑条普适馋于从阵倍周千期分婆支到吐混沌肿的自撤然法洗则。单峰材映射(必要艺条件)倍周岔期分括叉→援混沌(充分燃条件)3.回4Fe振ig拴en员ba肥um常数3.洒4.答2标度购变换吧因子定义室：（相笛似比撇）……也是片一个饮普遍杏常数尝，称亮为Fe叼ig另en拘ba政um第二村常数痕，也称为粮标度案变换颤因子舅。附注驳：①也是遗一个殊普通壤常数笔，其泰适用诉范围亦与一致毁，即开一切倾从倍周袋期分举叉混沌攻的过膊程。②实际万上是钉倍周材期分供叉过猴程中丘所有旗结构踢的自相酸似比，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