《数列的概念》教学思考 论文

《数列的概念》的教学思考摘要：通过实际的教学经验思考《数列的概念》本节课的教学设计，通过问题的过渡让学生体会到数列与函数之间密不可分的联系，从函数的观点理解数列，并利用函数的相关性质解决数列中出现的问题。关键词：函数与数列之间的关系，函数的性质，数列中的最值问题。4.1节《数列的概念》是本章的基础，涵盖了如下内容：数列的概念，数列的表示方法，数列的通项公式，数列的前项和公式。其中重点内容是数列的概n念，数列的通项公式，难点内容为数列的概念。由于本节内容较多，如何有逻辑性的将本节的各个内容串联起来成为了我在教学过程中遇到的难题，在进行了多次思考和实践后，有了如下的教学设计，本文将着重阐述本教学设计的核心部分。一、数列的通项公式与递推公式在本节课的伊始，教科书通过对书本三个具体例子共同特征的归纳，抽象出数列的一般概念。接下来，书本给出了数列的定义：按照确定的顺序排列的一列数称为数列。教科书根据数列的定义说明了“数列是一种特殊的函数”。类比函数的表示方法，在表述数列的方法中不仅可以用表格法，还可以用图象法；类比函数的单调性，向学生介绍“递增数列”“递减数列”和“常数列”等概念。[设计意图]学生在必修第一册经历过从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，本节内容再次让学生从函数的观点看另外一个数学对象：数列。体现研究数学的整体性，此外，有利于接下来让学生从函数的角度理解数列，类比研究函数的路径研究数列，利用函数的性质解决数列中的问题，更加深入地理解数列的性质。 类比函数的解析式，给出通项公式的概念，我们可以称之为“数列的函数解析式”。那么我们既然知道了数列其实是特殊的函数，由前面学习的知识我们知道不是所有的函数都有解析式，同样，也不是所有的数列都有通项公式，如 2的近似值. 让学生动手完成书本第8页，习题4.1的第三题，题目如下：

观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式：（1）（），-4,9，（），25，（），49；（2）1，1，（），1，1，（），1；327292132（3）1，2，（），2，5，（），7；（4）1，1，（），1，1，（）.262030 发现大多数学生都是通过归纳法找出了该数列的通项公式，接着提问，归纳法是否具有局限性呢？试着动手完成书本第9页的第5题，题目如下：

传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，第一行的1,3，6,10称为三角形数，第二行的1,4,9,16称为正方形数，把第三行的1,5,12,22称为五边形数......你还能否求出该数列的通项公式呢？（在教学过程中发现大多数学生无法通过归纳法求得该题的通项公式）那么有没有求通项公式的一些方法呢？下面我们来共同探究一下。[设计意图]通过书本的题目给学生制造困难，为接下来求通项公式铺垫，培养学生发现困难，动手解决困难的能力。这样的题目背景丰富，有趣，画面感强，利于激发学生的感性体验与理性体验，促进问题的解决。我们先来看这样的一个问题，图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形。在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式。在教学过程中发现学生很容易发现第1项是03，第2项是13，第3项是23，第4项是33，这些都是3的指数幂，指数为序号减1，因此学生得出这个数列的一个通项公式就是na=3n-1。此方法仍为学生刚接触此时对学生进行追问：“你能否观察出前一项与后一项之间的关系？能否尝试有符号语言表达出这种关系呢？”此时教师接着帮助学生通过图形解释这个问题：每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形。于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍。学生接着把发现的规律用数学语言归纳出来，得出an=3a-1。教师提醒学生注意：an=3a-1这个式子是在n³2的前提下才成立的，n=1的情况我们需要单独 ì1,n=1

讨论。于是写成an=í î3an-1,n³2 。教师总结：同样一个数列，从两个不同的角度去观察，就发现了不同的规律。通项公式反映的是项与序号之间的关系。而an=3a-1（n³2）这个式子反映的是后一项与前一项之间的关系。根据这个式子，我们已知第1项就能推出第2项，已知第2项就能推出第3项，以此类推。 以此引出递推公式的概念：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。[设计意图]以数学文化为背景引入新知，培养学生的学习兴趣，在解决此问题的过程中，培养学生运用数学的眼光看问题，归纳，总结规律，培养数学抽象，逻辑推理的核心素养。 借此向学生发问：能否通过递推公式求出上述谢尔宾斯基三角形数列的通项公式呢？（引出求数列通项公式的重要方法之一：累乘法）。Qan1=3(n³2)an-\a2=3,a3=3,a4=3,L,an-13,an1=3.a1a2a3an-2an-将上述n-1个式子相乘，得na=´´333L´´33=3n-1.a1na=3n-1(nÎN*).所以na=3n-1(n³2)，当n=1时，a=1 1也满足前式，所以 那么除了累乘法，还有没有相类似的方法呢？仿照上述思想方法，尝试解决下面这道题目（通过此题引出求数列通项公式的另一重要方法之一：累加法）例.在数列{}中，a=1 2，an+=an+ln（1 1+n），则na=______.Qan+1-an=ln(n+1)-lnn-ln(n-1)(n³2)\a1=2,a2-a1=ln2,a3-a2=ln3-ln2,Lan-1-an-2=ln(n-1)-ln(n-2,)an-an-1=lnn\na=+lnnn(³2)Q当n=1时，a=+1 ln1=2也满足前式\na=+lnnn(ÎN*)由上述两道题目，能否发现一个数列的通项公式和递推公式有何联系与区别？教师引导学生将通项公式和递推公式相比较，发现其实递推公式也是数列的一种表示方法。只不过通项公式反映的是项与序号之间的对应关系，而递推公式反映的则是相邻两项或多项之间的关系。通过一些数列的递推公式可以求得该数列的通项公式，同样通过数列的通项公式，也可以写出数列的递推公式。学生在教师的引导下认识到通项公式和递推公式在数列的研究中都发挥着巨大的作用。二、数列的单调性研究经过前面的研究，我们已经知道数列其实就是特殊的一类函数，那么既然数列与函数之间有着这么密不可分的联系，那么数列中的一些问题能否借助我们所熟悉的函数的性质加以解决呢？（引入数列的单调性问题）下面我们来看一看与数列的单调性相关的一些问题。 [设计意图]引导学生用函数的角度看数列，利用函数的性质解决数列的相关问题，培养学生划归的思想方法与能力。lÎ例1.已知数列{}的通项公式为na=-7，则数列{nan}最小项为第_____项.例2.已知数列{}中，na=-2n2+lnn(ÎN*).若该数列是递减数列，则_______.在教学过程中发现，学生将上述两个数列与二次函数建立联系较为容易，但借助二次函数性质解决此类问题，最容易犯的错误便是忽略掉数列作为一类特殊的函数，定义域是正整数。在此需要格外向学生强调避免此类错误。例3.数列{}的通项公式为a=n，则数列{}中的最大项是第______nn2+90项.此题对于学生有难度，教师提示学生可以将通项公式中分子的除到分母部n分，经过这样的变形，学生很快想到对于分母部分，可以借助学习过的对勾函数加以解决，由前两题的经验，学生注意到要取整数，得出正确答案。n例4.已知函数fx()=2x-1(xÎR)，设数列{}的通项公式为a=fn()(nÎN*).2xn（1）求证na³1.2（2）{}是递增数列还是递减数列？为什么？ 通过例4过渡，联系到指数函数

教师追问：前面的几个数列我们都将其与我们所熟悉的初等函数建立了联系，那如果不是我们所熟悉的函数，该如何解决呢？尝试动手完成下面这道题目例5.数列{}的通项公式为na=(nn+×ç)æöè11÷ø，则此数列的最大项是第______项. 教师提示学生能否从单调性的定义出发，求解此题（通过此题引入数列单调性的定义）

数列的单调性又是如何定义的呢？你能否类比函数单调性的定义给出叙述。与函数类似，我们可以定义数列的单调性。从数列的第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。特别地，各项都相等的数列叫做常数列。观察例5的通项公式的表达形式，是选择做差比较大小方便还是做商呢？（教学过程中发现学生基本都选择作商处理问题）

仿照上述问题的处理方法，你能否解决下面这道题目呢？（难度加大，举一反三）例6.若数列ìïíïînn(+4 n)2æöç÷èøüïýïþ中最大项是第项，则k=_____.[设计意图]由特殊到一般，让学生学会从函数的角度解决数列中遇到的问题，从函数的观点看数列。三、数列的求和在本节课的最后介绍数列的求和问题，由前项和的定义，不难推出数列的n通项与前项和的的关系为：n an=í ìSn1 =1,

îSn-Sn-1,n³2.试着动手完成下面这两道题目。例7.已知数列{}的前n项和为Sn=n2-2n+2，则数列{}的通项公式na=_________.变式.已知数列{}的前n项和为S=1n2+2n+3，则数列{}的通项公式a=n43n_________.[设计意图]通过两道题目提醒学生注意，由an=Sn-S-1推出的通项公式，当且仅当n³2时成立，因此需要验证当n=1时，即1a是否满足所求得的这个公式。四、课堂设计评价与总结本节课通过这样的设计，将函数的性质融入到本章第一节的学习中，为学生后面学习等差数列和等比数列以及数列的综合运用提供了较大的思维帮助。本节课的例题遵循从简到