矩阵的初等变换与线性方程组

矩阵的初等变换与线性方程组本章内容在线性代数中是十分重要的，性质、题型也很多第一小节的理论性较强，要耐心看下去，找了一个有动图解释的，可以辅助理解性质和定理初等行变换(i)对换两行(对换i,j两行，记作ri<->rj)(ii)以数k≠0乘某一行中的所有元(第i行乘k，记作ri×k)(iii)把某一行所有元的k倍加到另一行对应的元上去(第j行的k倍加到第i行上，记作ri+krj)。初等列变换将"行"改为"列","r"改为"c"矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换初等变换是可逆的矩阵等价概念如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价,记作(A~B)。矩阵等价关系性质(i)反身性A~A(ii)对称性若A~B,则B~A(iii)传递性若A~B,B~C,则A~C行阶梯形矩阵非零矩阵若满足：(i)非零行在零行的上面(ii)非零行的首非零元所在列在上一行(如果存在的话)的首非零元所在列的右面则称此矩阵为行阶梯形矩阵最简行阶梯形矩阵若A是行阶梯形矩阵，并满足：(i)非零行的首非零元为1(ii)首非零元所在列的其他元均为0则称A为行最简形矩阵对于任何非零矩阵Am×n,总可经有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵标准形标准形特点：左上角是一个单位矩阵，其余元全为0对于m×n矩阵A,总可经过初等变换(行变换或列变换)把它化为标准形此标准形由m、n、r三个数完全决定，其中r就是行阶梯形矩阵中的非零行的行数。由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵都是可逆的求最简形矩阵求可逆矩阵P，使得PA为最简形矩阵在进行初等变换时得到的逆矩阵不是唯一的求逆矩阵求线性方程组的解矩阵的秩矩阵的k阶子式在m×n矩阵A中，任取k行与k列(k≤m,k≤n)，位于这些行列交叉处的k²个元素，不改变他们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵的k阶子式。m×n矩阵A的k阶子式共有Ckm*Ckn个2.矩阵的秩的定义定义5很重要，要理解什么是秩，最高阶非零子式的阶数，记为R(A)零矩阵的秩等于0可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵定理2若A~B，则R(A)=R(B)推论若可逆矩阵P、Q使PAQ=B，则R(A)=R(B)求矩阵的秩矩阵的秩的性质⭐①0≤R(Am✖n)≤min{m,n}②R(AT)=R(A)③若A~B，则R(A)=R(B)④若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)⑤max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)⑥R(A+B)≤R(A)+R(B)⑦R(AB)≤min{R(A),R(B)}⑧若Am✖nBn✖m=0，则R(A)+R(B)≤n。矩阵A的秩等于它的列数，称为列满秩矩阵矩阵乘法的消去律：若AB=0，若A为列满秩矩阵，则B=0线性方程组的解线性方程组有解，称它是相容；无解，称它是不相容定理3n元线性方程组Ax=b(i)无解的充分必要条件是R(A)<R(B)(ii)有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n(iii)有无限多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n。定理4n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)<n定理5线性方程组Ax=b有非零解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)定理6矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)定理7设AB=C，则R©≤min{R(A),R(B)}求方程组的解的个数