平面向量数量积的物理背景及其含义课件人教A必修

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义NO.1课堂强化名师课堂·一点通考点三课前预习·巧设计创新演练·大冲关第二章平面向量考点一考点二读教材·填要点小问题·大思维解题高手NO.2课下检测2.4平面向量的数量积[读教材·填要点]1．平面向量数量积的定义已知两非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量

叫做a与b的

(或

)，记作

，即

.规定零向量与任一向量的数量积为

.2．向量的数量积的几何意义

(1)投影：|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量

方向上(方向上)的投影．

(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影

的乘积．|a||b|·cosθa·b＝|a||b|cosθ0数量积内积a在bb在a|b|cosθa·ba·b＝0|a||b||a||b||a|2

≤

4．向量数量积的运算律(1)a·b＝

(交换律)．(2)(λa)·b＝

＝

(结合律)．(3)(a＋b)·c＝

(分配律)．b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c[小问题·大思维]1．向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？提示：向量的数量积a·b是一个实数；数乘向量λa是一个向量．2．投影是向量还是数量？提示：投影是数量而不是向量，它可正、可负、可为零．3．对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，则它与c共线，而a·(b·c)≠0时与a共线，而a与c不一定共线，故该等式不一定成立．4．若a，b是非零向量，则|a·b|＝|a||b|一定成立吗？提示：不一定．因为a·b＝|a||b|cosθ，所以只有|cosθ|＝1，即a，b共线时才成立．5．若a，b，c是非零向量，且a·c＝b·c，则a＝b一定成立吗？提示：不一定．由a·c＝b·c可得c·(a－b)＝0⇔a－b＝0或c⊥(a－b)．[研一题]

[例1]已知a，b的夹角为θ，|a|＝2，|b|＝3，分别在下列条件下求a·b.(1)θ＝135°；

(2)a∥b；

(3)a⊥b.若本例条件变为“θ＝120°”，试求(2a－b)·(3a＋2b)．[悟一法]求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|·cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．[通一逢类][研一单题][例2]已知注单位晶向量e1，e2的夹雪角为60稻°，求嘱向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹鞠角．[悟一离法][通一顾类]2．已暑知a、b是两侮个非楚零向寻量，违且|a|＝|b|＝|a＋b|，求a与a－b的夹黑角．[研一型题][例3]已知|a|＝7，|b|＝4，|a＋b|＝9，求|a－b|.[悟一欺法]1．处卫理模撑的计证算问姐题时女，一季般是矛将模失平方坊转化作为向求量的摆运算沉进行劣处理娱．2．由|a＋b|2＝a2＋2a·晃b＋b2，|a－b|2＝a2－2a·顿b＋b2相加谢可得|a＋b|2＋|a－b|2＝2(秩|a|2＋|b|2)．其芒几何冶意义壤是平杨行四筛边形苗两条叫对角芽线的统平方重和等劣于其子四边鲜的平优方和困．[通一车类]3．设救向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值丧是__柔__武__倚__．解析付：法裂一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·专(－a－b