2022-2023学年山东省济南市章丘区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省济南市章丘区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知“x>y”，则下列不等式中，不成立的是(

)A.3x>3y B.x−9>y−9 C.−x>−y D.−2.下列从左到右的变形中，是因式分解的是(

)A.(x+1)(x−1)=x2−1 B.m2−4=(m+2)(m−2)

3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.4.不等式3x+3≤0的解集在数轴上表示正确的是(

)A. B.

C. D.5.若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式(a−2)2+|b−5|=0，则这个三角形的周长是A.9 B.12 C.9或12 D.15或66.在Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连结AE，则△ACE的周长是(

)A.8

B.10

C.14

D.167.直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2xA.x>−1 B.x<−1 C.x<−2 D.x>−28.如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α，得到△AB′C′.若点B′恰好在线段BC的延长线上，且∠AB′C′=40°，则旋转角α的度数为(

)A.60°

B.70°

C.100°

D.110°9.若不等式2x+53−1≤2−x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式2x+m<1成立，则m的取值范围是(

)A.m<−35 B.m≤−35 C.10.如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA=5，DB=4，DC=3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，下列结论：

①点D与点D′的距离为5；②△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到；③∠ADC=150°；④点D到CD′的距离为3；⑤S四边形ADCD′=6+253A.2个 B.3个 C.4个 D.5个二、填空题（本大题共6小题，共24分）11.因式分解：m2−4=

．12.点P(−2,1)与点Q(a,b)关于原点对称，则a+b=______．13.若不等式组x+13<x2−1x<4m无解，则14.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转32°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是______．

15.如用，已知O为△ABC三边垂直平分线的交点，且∠A=50°，则∠BOC的度数为

度.

16.如图在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC=8，AD⊥BC，P为AD上的一动点，E在AB上，则PE+PB的最小值为______．三、解答题（本大题共10小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题分)

解不等式组5x−1≤3(x+1)x+13−x<3，并把解集在数轴上表示出来．18.(本小题分)

把下列各式因式分解：

(1)2x3−8x219.(本小题分)

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．

20.(本小题分)

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC(顶点在网格线的交点上)的顶点A、C的坐标分别为A(−3,5)、C(0,3)．

(1)请在网格所在的平面内画出平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标；

(2)将△ABC绕着原点O顺时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1；

21.(本小题分)

如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE=DF.求证：Rt△BDE≌Rt△CDF．22.(本小题分)

常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解.如x2−2xy+y2−16.通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解：x2−2xy+y2−16=(x2−2xy+y2)−16=(x−y)2−423.(本小题分)

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF．

(1)求证：CF=EB；

(2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．

24.(本小题分)

为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．

(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？

(2)若购买甲、乙两种树苗共100棵，且购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍．则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？请说明理由．25.(本小题分)

【探索发现】如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且∠MAN=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图②，小明将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN.从而证明出了DM+BN=MN．

(1)请你写出小明的证明过程；

【类比延伸】

(2)如图③，点N、M分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接数MN，请根据小明的发现给你的启示写出MN，DM，BN之间的数量关系，并证明．

26.(本小题分)

如图，直线y=−12x+4的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC．

(1)求OC的长；

(2)若点E在x轴上，且△BED的面积为10，求点E的坐标；

(3)已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P

答案和解析1.【答案】C

解：A.∵x>y，

∴3x>3y，故本选项不符合题意；

B.∵x>y，

∴x−9>y−9，故本选项不符合题意；

C.∵x>y，

∴−x<−y，故本选项符合题意；

D.∵x>y，

∴−x2<−y2，故本选项不符合题意；

故选：C．2.【答案】B

解：A、从左向右的变形是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；

B、符合因式分解的定义，故此选项符合题意；

C、从左向右的变形不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；

D、从左向右的变形不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意．

故选：B．

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．

此题考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解的定义，注意因式分解后一定是几个因式相乘的形式．

3.【答案】A

解：A、本选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

B、本选项图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；

C、本选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D、本选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

故选：A．

根据轴对称图形、中心对称图形的概念判断即可．

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4.【答案】B

解：3x+3≤0，

3x≤−3，

x≤−1，

在数轴上表示为：．

故选：B．

首先解出不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．

此题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画).在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．

5.【答案】B

解：根据题意，a−2=0amp;b−5=0amp;，

解得a=2amp;b=5amp;，

(1)若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，2+2<5，

不能组成三角形；

(2)若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，

能组成三角形，

周长为2+5+5=12．

故选：B．

根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b6.【答案】D

解：∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，

∴BC=AB2+AC2=10，

∵DE是AB边的垂直平分线，

∴EA=EB，

△ACE的周长=AE+EC+AC=BE+EC+AC=BC+AC=16，

故选：D．

7.【答案】B

解：由图象知：x<−1时，直线l1在直线l2的上方，

所以x的不等式k1x+b>k2x的解为x<−1，

故选：8.【答案】C

解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转α，得到△AB′C′，

∴△ABC≌△AB′C′，∠BAB′=α，

∴AB=AB′，∠AB′B=∠ABB′，

∵∠AB′C′=40°，

∴∠AB′B=∠ABB′=40°，

∴∠BAB′=α=180°−40°−40°=100°，

故选：C．

旋转得全等，即角等和边等，得出等腰三角形，直接代值求解即可．

此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，以及等腰三角形的性质和判定，解题关键是推出等腰三角形．

9.【答案】A

解：解不等式2x+53−1≤2−x得：x≤45，

∵不等式2x+53−1≤2−x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式2x+m<1成立，

∴x<1−m2，

∴1−m2>45，

解得：m<−35，

故选：A．10.【答案】C

解：连结DD′，如图，

∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，

∴AD=AD′，∠DAD′=60°，

∴△ADD′为等边三角形，

∴DD′=5，所以①正确；

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，

∴△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到，所以②正确；

∴D′C=DB=4，

∵DC=3，

在△DD′C中，

∵32+42=52，

∴DC2+D′C2=DD′2，

∴△DD′C为直角三角形，

∴∠DCD′=90°，

∵△ADD′为等边三角形，

∴∠ADD′=60°，

∴∠ADC≠150°，所以③错误；

∵∠DCD′=90°，

∴DC⊥CD′，

∴点D到CD′的距离为3，所以④正确；

∵S△ADD′+S△D′DC

=34×52+12×3×4

=6+2534，所以⑤正确．

故选：C．

连结DD′，根据旋转的性质得AD=AD′，∠DAD′=60°，可判断△ADD′为等边三角形，则DD′=5，可对①进行判断；由11.【答案】(m+2)(m−2)

解：m2−4=(m+2)(m−2)．

故答案为：(m+2)(m−2)．

根据平方差公式，进行因式分解．

12.【答案】1

解：由点P(−2,1)与点Q(a,b)关于原点对称，得

a=2，b=−1，

则a+b=2+(−1)=1，

故答案为：1．

根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．

本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

13.【答案】m≤2

解：解不等式x+13<x2−1，得：x>8，

又x<4m且不等式组无解，

∴4m≤8，

解得m≤2，

故答案为：m≤2．

解第一个不等式得出x>8，结合x<4m且不等式组无解，利用“大大小小无解了”得出关于14.【答案】36°

解：由△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转32°后得到的图形可知：

∠AOD=∠BOC=32°，

∵∠AOC=100°，

∴∠DOB=∠AOC−∠AOD−∠BOC=36°；

故答案为：36°．

根据旋转的性质可进行求解．

本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

15.【答案】100

解：如图，连接OA，

∵O为△ABC三边垂直平分线的交点，

∴OA=OB=OC，

∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，

∴∠OBA+∠OCA=∠BAC=50°，

∵∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC=130°，

∴∠OBC+∠OCB=130°−50°=80°，

∴∠BOC=180°−80°=100°，

故答案为：100．

连接OA，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB=OC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

16.【答案】4

解：∵AB=AC，AD⊥BC，

∴点C是点B关于AD的对称点，

过点C作CE⊥AB于E，

连接CE，则CE的长度即为PE+PB的最小值，

∵Rt△ABC中，AC=8，∠BAC=30°，

∴CE=12AC=12×8=4，

故答案为：4．   

由等腰三角形的性质可知点C是点B关于AD的对称点，过点C作CE⊥AB于E，连接CE，根据“垂线段最短”可得线段CE的长度即为PE+PB的最小值，根据含30度直角三角形的性质即可求出CE．

本题考查的是最短线路问题及等腰三角形的性质，等腰三角形的性质，含17.【答案】解：5x−1≤3(x+1)①x+13−x<3②，

解不等式①得：x≤2，

解不等式②得：x>−4，

故不等式组的解集为−4<x≤2，

其解集在数轴上表示如下，

【解析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集求出不等式组的解集即可．

本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

18.【答案】解：(1)2x3−8x2y+8xy2

=2x(x2−4xy+4y2)【解析】(1)先提取公因式，再利用完全平方公式分解；

(2)先提取公因式，再利用平方差公式分解．

本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．

19.【答案】解：∵∠A=50°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=12(180°−∠A)=65°，

又∵DE垂直且平分AB，

∴DB=AD，

∴∠ABD=∠A=50°，

∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=65°−50°=15°．

即∠DBC的度数是【解析】【试题解析】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABD=∠A，易求∠DBC．

本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

20.【答案】解：(1)由A、C

的坐标分别为A(−3,5)、C(0,3)，可得平面直角坐标系如图所示，点B的坐标为(−2,1)；

(2)如图：△A1B1C1即为所求作；

(3)存在点P(−98,0)，使得PA+PC的值最小，

作点C关于x轴的对称点C2，连接AC2，则AC2交x轴于点P，

∵C(0,3)，点C2为点C关于x轴的对称点，

∴C2(0,−3)，

∵A(−3,5)，C2(0,−3)，

设直线A

C2的解析式为：y=kx+b，将A(−3,5)，C2(0,−3)代入解析式中，

可得，−3k+b=50k+b=−3，

解得，k=−8【解析】(1)根据A、C

的坐标确定平面直角坐标系的原点位置，从而画出平面直角坐标系，并得到点B的坐标

(2)根据旋转的定义作图即可

(3)根据图形对称性质，作点C关于x轴的对称点C2，连接A

C2，则A

C2交x轴于点P，此时PA+PC的值最小．此时由A(−3,5)，C2(0,−3)，求得直线A

C2的解析式，进而求出直线A

C2与21.【答案】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=90°，

∵D是BC的中点，

∴BD=CD，

在Rt△BDE与Rt△CDF中，

BD=CDDE=DF，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．【解析】根据已知条件直接利用HL证明即可求解．

本题考查了HL证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

22.【答案】解：(1)4x2+12xy+9y2−9

=(2x+3y)2−32

=(2x+3y+3)(2x+3y−3)【解析】(1)先分组，再利用公式法进行因式分解．

(2)先分组，再利用公式法，最后提公因式．

本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．

23.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°

∴DC=DE

在Rt△DCF和Rt△DEB中，

DF=DBDC=DE

∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL)

∴CF=EB

(2)解：AE=AF+BE；

理由：∵DE⊥AB，∠C=90°

∴∠DEA=∠DCA=90°，

在Rt△ADC和Rt△ADE中，

AD=ADDC=DE

∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)

∴AC=AE

∵AC=AF+FC

∴AE=AF+FC

∵由(1)知FC=BE

【解析】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法．

(1)根据角平分线的性质得到DC=DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，最后根据全等三角形的性质定理得到答案；

(2)利用HL证Rt△ADC≌Rt△ADE，根据全等三角形的性质定理得到AC=AE，然后根据(1)的结论得到答案．

24.【答案】解：(1)设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，

根据题意得：20x+16y=1280x−y=10，

解得x=40y=30，

答：甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；

(2)设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，则购买乙种树苗(100−m)棵，

∵购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，

∴100−m≤3m，

解得m≥25，

根据题意：w=40m+30(100−m)=10m+3000，

∵10>0，

∴w随m的增大而增大，

∴m=25时，w取最小值，最小值为10×25+3000=3250(元)，

此时100−m=75，

答：购买甲种树苗25棵，乙种树苗75【解析】(1)设甲种树苗每棵的价格是x元，乙种树苗每棵的价格是y元，可得：20x+16y=1280x−y=10，即可解得甲种树苗每棵的价格是40元，乙种树苗每棵的价格是30元；

(2)设购买两种树苗共花费w元，购买甲种树苗m棵，根据购买乙种树苗的数量不超过甲种树苗的3倍，得m≥25，而w=40m+30(100−m)=10m+3000，由一次函数性质可得购买甲种树苗25棵，则购买乙种树苗75棵，花费最少．

本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．25.【答案】解：(1)MN=DM+BN.证明如下：

由旋转，可知：AE=AM，BE=DM，∠EAM=90°.∠ABE=∠D=90°，

∴点E、B、C共线，

∵∠MAN=45°，

∴∠EAN=∠EAM−∠MAN=45°=∠MAN．

在△EAN和△MAN中，

AE=AM∠EAN=∠MANAN=AN，

∴△EAN≌△MAN(SAS)．

∴EN=MN，

∵EN=BE+BN，

∴MN=DM+BN；

(2)MN=BN−