平面向量的正交分解及坐标表示 【核心知识精研精讲】 平面向量加、减运算的坐标表示 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量加、减运算的坐标表示学习目标1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.

如图，在光滑斜面上的一个木块受到了哪些力的作用？这些力之间有什么关系？提示该木块受到重力G的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的力F1的作用沿斜面下滑；二是木块产生垂直于斜面的压力F2，也就是说，重力G的效果等价于力F1和F2的合力的效果，即G＝F1＋F2.1BFiOjAP把一个力分解为两个互相垂直的分力，叫做把力正交分解.如图，向量i、j是水平和竖直方向的单位分力，力F与水平线的夹角是30°，力F的大小为4牛顿，则力F在水平和竖直方向上的分力为多少？水平方向竖直方向2类似地，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，以向量i、j为基底，向量a如何表示？2aixyOjxiyj由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.1平面向量的坐标表示

如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？3动画演示................

.....................................................................1.把一个向量分解为两个

的向量，叫做把向量作正交分解.2.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个

分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝

，则有序数对

叫做向量a的坐标.3.坐标表示：a＝

.4.特殊向量的坐标：i＝

，j＝

，0＝(0，0).互相垂直单位向量xi＋yj(x，y)(x，y)(1，0)(0，1)试一试：用基底

i,j分别表示向量a,b,c,d并求出它们的坐标.-4-3-2-11234AB12-2-1xy453注意(1)表示点的坐标与表示向量的坐标不同，A(x，y)，a＝(x，y).(2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同.反思感悟√例1如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|＝

，θ＝45°，则向量a的坐标为＝i＋j＝(1，1).(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标.求点和向量坐标的常用方法方法一方法二(2)求一个向量的坐标，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.2平面向量加、减法的坐标表示4已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a＋b的坐标？动画演示注意设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表，

符号表示加法a＋b＝_______________减法a－b＝_______________重要结论已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

＝______________(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(x2－x1，y2－y1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.................

.....................................................................例2在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(－2，0)，

＝(2，－3)，则点D的坐标为________.故点D的坐标为(6，1).例2在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(－2，0)，

＝(2，－3)，则点D的坐标为________.(6，1)平面向量坐标运算的技巧①②(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3，2)3平面向量坐标运算的应用(1)试求实数λ为何值时，点P在第二、四象限的角平分线上；(2)若点P在第三象限内，求实数λ的取值范围.＝(4，3)＋(3λ＋1，2λ＋2)＝(3λ＋5，2λ＋5)，∴P(3λ＋5，2λ＋5).∵P在第二、四象限的角平分线上，∴3λ＋5＝－(2λ＋5)，解得λ＝－2.解(2)由(1)知，P(3λ＋5，2λ＋5)，∵P在第三象限内，坐标形式下向量相等的条件及其应用条件应用相等向量的对应坐标相等.利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标.跟踪训练3已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点为平行四边形的四个顶点.解设点D的坐标为(x，y)，故点D的坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0).跟踪训练3已知平面上三点的坐标分别为A(－2，1)，B(－1，3