《高等数学》教学课件-第七章-微分方程

《高等数学》教学课件1第七章微分方程2§1微分方程的基本概念3则它满足:1.引入解由(1)得一条曲线过点例1,且在该曲线上任一点处的切线的斜率为,求这条曲线的方程.设所求曲线的方程为:(1)(2)4由(2)得即所求曲线的方程为：2.基本概念微分方程:常微分方程:偏微分方程:未知函数为一元函数的方程.含有未知函数的导数或微分的方程.未知函数为多元函数的方程.5微分方程中所含未知函数的导数或微分的最高阶数.微分方程的阶:例如一阶三阶四阶63.微分方程的解(1)阶微分方程的形式：若由(1)可以解出最高阶导数，则(1)式变为(2)以后讨论的微分方程都是：已解出最高阶导数或能解出最高阶导数的方程，并且右端函数在所讨论的范围内连续。说明7满足微分方程(1),即则称函数(1)若函数定义为微分方程(1)的解.84.解的形式(1)通解与特解如果微分方程的解中含有任意常数,且其中独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数,则称这个解为该方程的通解.不含任意常数的解称为特解.例通解特解9(2)显式解与隐式解以显函数形式表示的解称为显式解.以隐函数形式表示的解称为隐式解.显式解隐式解或例105、初值问题为了确定任意常数，还需要求解满足一定的条件。通常要求的条件是：对于一阶方程，或记为通常要求的条件是：对于二阶方程，或记为初始条件11求微分方程满足初始条件的特解问题：记为称为一阶微分方程的初值问题。类似地，称为二阶微分方程的初值问题。问题：(2)(3)12定义微分方程的解的图形是一条曲线，称为该微分方程的积分曲线。初值问题(2)的几何意义：求微分方程的那条积分曲线。初值问题(3)的几何意义：求微分方程的那条积分曲线。且在该点处的切线的斜率为过点过点13例2验证：函数是微分方程的解。证14按定义，得：函数是微分方程的解。15说明上面已验证：函数是微分方程的解。是微分方程的通解。它含有两个任意常数。任意常数的个数方程的阶数16例3已知函数是微分方程的通解，求满足初始条件的特解。17解解得所求特解为：18fin19一阶方程的形式下面介绍几种特殊类型的一阶方程的解法。§2几类一阶方程的解法或20一.可分离变量的方程解法:分离变量两边积分这就是方程（1）的通解.即为任意常数.21例1求解：分离变量两边积分22所求通解为：23这就是所求的通解。简化解法：分离变量两边积分为任意常数.24若在积分过程中，左端的原函数出现有对数函数时，真数一般可以不加绝对值,任意常数也写为,这样便于简化结果.说明：25例2求方程满足初始条件的特解。解的通解。先求26所求特解为：即这就是的通解。27例3求的通解。解这就是所求的通解。（隐式通解或通积分）28二.齐次方程（或齐零次方程）形式：作换元，令从而方程（2）变为：解法:(2)29求出它的通解，代入，即这是可分离变量的方程，我们会求其解。再将即得方程（2）的通解。30例4解方程先化为标准形式解即这是齐次方程。31令从而这样，原方程变为：（这是可分离变量的方程）32这就是所求的通解。即33给了一阶方程问题：若对任意实数答：都有成立,怎么判断它是否为齐次方程？,则它是齐次方程。34课堂练习：求下列微分方程的通解：35课堂练习答案：36作业:P298,2(1)(3),3(2),5(2)

P304,1(单),2(1),6.P309,1(2),(4),2(1),3.37三、

一阶线性方程形式：(3)时，称方程(3)为齐次的；时，称方程(3)为非齐次的。一阶非齐次方程(3)的解法:设,(3)为非齐次线性方程。38对应于（3）的齐次方程为(4)分离变量两边积分这就是(4)的通解。39将常数换为函数，设是非齐次方程（3）的解，为待定函数。代入方程（3），得即40是（3）的解。它含有一个任意常数，(3)为一阶方程，就是(3)的通解。常数变易法只表示一个原函数41说明(3)的通解为：

一阶非齐次线性方程的通解等于对应于它的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解。

这表明：42例5求方程的通解。解用常数变易法。对应的齐次方程为：设为原方程的解，其中。这是一阶线性方程。43代入原方程，得44即这就是原方程的通解。45另解：直接代公式。，原方程的通解为：4647注意：代公式前，必须将方程化为一阶线性方程的标准形式。否则，会出错。48例6解方程解化为导数形式。这不是线性方程！49现在，将视为的函数，则原方程变为即这是线性方程。50代公式，得：该线性方程的通解为51可化为一阶线性方程的方程伯努利方程(Bernouli)形式：(5)解法：两边除以，得令，则52这样，上面方程变为即这是一阶线性方程。解出其通解，再将换为即得原方程的通解。53例7解方程解两边除以，得令,从而，这是伯努利方程。54上面方程变为:这是一阶线性方程，我们会解。其通解为：将代入，得原方程的通解为：即55说明利用变量代换法求解方程。齐次方程令一阶非齐次线性方程令伯努利方程令即,,,56例8解方程用变量代换法来求它的解。解令则这样，原方程变为这是可分离变量的方程57将代入，得这就是所求通解。58例8解方程另解将方程变形，得这是一阶线性方程，因而，也可按照一阶线性方程的解法求解。说明59练习题：(2)求的通解。(3)求的通解。(1)求(4)求的通解。满足的特解.60练习题答案：(1)(2)(3)(4)61作业：P3151(1)(3)(5)(8),2(单),7（1）,8（单）62§3可降阶的高阶方程1、解法：等式两边积分次。63例1解方程解642、解法：令作换元，原方程变为一阶方程设其通解为：即一阶方程只表示一个原函数右端不显含未知函数特点：65例2求解的通解右端不显含作换元，上面方程变为令可分离变量的方程66即这就是所求方程的通解。67例3求解的通解，并求右端不显含作换元，上面方程变为令可分离变量的方程满足初始条件的特解。68即693、解法：令作换元，原方程变为一阶方程设其通解为：即一阶方程右端不显含自变量特点：即可分离变量的方程70只表示一个原函数这就是原方程的通解。71例4求解的通解.右端不显含作换元，上面方程变为令可分离变量的方程72即即或(1)(2)先求(1)的解。73这就是(1)的通解。同理可得：(2)的通解为原方程的通解为：74练习：满足初始条件的特解。75练习答案：所求特解为：(3)通解为：(1)通解为：(4)两种方法都可。通解为：76作业P3231(3)(5)(8)(10),2(1),377§4线性方程的解的结构阶线性方程自由项若，称上面方程为齐次的；若，称上面方程为非齐次的。二阶非齐次线性方程(1)(2)对应的齐次方程78定理1若与是方程(2)的两个解，则也是方程(2)的解。其中是任意常数。说明定理1称为齐次线性方程的叠加原理。79问题：若与是方程(2)的两个解，那么，是方程(2)的通解吗？一般来说，不是。反例：是它的两个解，但不是该方程的通解。80这个反例表明：与是方程(2)的两个解，要成为方程(2)的通解，还需与满足其它条件。81定义设为定义在区间上的个函数。若存在个不全为零的常数使得对一切则称这个函数在区间上是线性相关的。()否则，称这个函数是线性无关的。82例如：是线性相关的。是线性无关的。特别地，是线性相关的,即(常数)是线性无关的,即(常数)83定理2若与是方程(2)的两个线性无关解，则是方程(2)的通解。推论若是阶齐次线性方程的个线性无关解，则此方程的通解为84定理3通解为：设是二阶非齐次线性方程(1)的一个特解，与方程(1)对应的齐次方程(2)的则二阶非齐次方程(1)的通解为：85定理4若是非齐次线性方程的特解，是非齐次线性方程的特解，则是非齐次线性方程特解。86说明：定理4称为非齐次线性方程的解的叠加原理。定理3、定理4可类似地推广到阶线性方程的情形。87作业P3311(单),3,4(1)88§5二阶常系数齐次线性方程二阶齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程(1)要求出(1)的通解，只需求出(1)的两个线性无关的特解。设是方程(1)的特解，为待定常数.代入方程(1),得(2)89方程(2)称为方程(1)的特征方程。只要是代数方程(2)的根，就是微分方程(1)的解。特征方程的根称为特征根。讨论：1、记(2)时.方程(2)有两个不等的实根：方程(1)有解：,线性无关方程(1)的通解：即：902、时.方程(2)有两个相等的实根：方程(1)有解：还需求出与线性无关的另一个解。设为方程(1)的另一解它与线性无关即为待定函数，代入方程(1),得91方程(1)的通解为：923、时.方程(2)有两个共轭的复根：，方程(1)有解：复数解由§3定理1，得也是(1)的解实数解93方程(1)的通解为：与线性无关又94二阶常系数线性齐次方程(1)(2)特征方程特征方程(2)对应方程(1)的解方程(1)的通解.有二不等实根.有二相等实根.有二共轭复根95例1求的通解。解特征方程：对应解：，通解：这是常系数齐次线性方程。96例2求的通解。解特征方程：对应解：，通解：(二重根)这是常系数齐次线性方程。97例3求的通解。解特征方程：对应解：，通解：这是常系数齐次线性方程。98对于阶常系数齐次线性方程也有类似结果.(3)特征方程：(4)若计算根的重数，个根。代数方程(4)在复数范围内，有99特征方程(4)的根对应方程(3)的解是实、单根是实、重根是复、单根是复、重根100这样，特征方程(4)的个特征根(计重数)就对应着齐次线性方程(3)的个解：且这个解是线性无关的齐次线性方程(3)的通解为：101例4求下列方程的通解102(1)解特征方程：(二重)，对应解：原方程的通解为：这是常系数齐次线性方程。103(2)解特征方程：(二重)对应解：原方程的通解为：即这是常系数齐次线性方程。104(3)解特征方程：对应解：原方程的通解为：即即即：这是常系数齐次线性方程。105练习:(1)1、求下列方程的通解(2)(3)2、已知一个四阶常系数齐次线性方程的写出该四阶常系数齐次线性方程,特征根为：并求其通解。106练习答案:(1)通解：1、(2)通解：(3)通解：2、四阶常系数线性方程为：它的通解：107作业P3401，2(1)(2)(5)108§6二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程(1)对应的齐次方程为(2)若齐次方程(2)的通解为：又是非齐次方程(1)的一个特解，则非齐次方程(1)的通解为：109常系数齐次线性方程(2)的通解我们已经会求，因此，为了求出常系数非齐次线性方程(1)的通解，只需再求出非齐次方程(1)的一个特解.下面介绍求常系数非齐次线性方程的通解的一、当自由项为下面两种类型的函数时,可用待定系数法求出常系数非齐次线性方程从而，得到常系数非齐次线性，两种方法。的特解方程的通解。1101、次多项式，是是常数。可设方程(1)的特解：其中的取值如下：当不是特征根当是特征根且为单根当是特征根且为重根是一个次多项式，其系数是待定的。111说明：此结论可推广到阶常系数线性方程的情形。这时，将取为特征方程含根的重复次数。112例1求的一个特解。解这是常系数非齐次线性方程。对应的齐次方程：特征方程：自由项即，即，不是特征根取113可设非齐次方程的特解待定常数代入非齐次方程，得即比较系数，得解得114例2求的通解。解这是常系数非齐次线性方程。对应的齐次方程：特征方程：自由项即，即，是特征根取齐次方程的通解：(单根)115可设非齐次方程的特解待定常数代入非齐次方程，得116即比较系数，得解得原方程的通解：1172、是多项式，是常数。可设方程(1)的特解：、其中,、是两个次多项式，其系数是待定的。的取值如下：当不是特征根当是特征根118说明：此结论可推广到阶常系数线性方程的情形。这时，将取为特征方程含根的重复次数。119例3求的一个特解。解这是常系数非齐次线性方程。对应的齐次方程：特征方程：即，,,,不是特征根取120可设非齐次方程的特解代入非齐次方程，整理后，得121比较系数，得解得122123例4写出的特解解这是常系数非齐次线性方程。对应的齐次方程：特征方程：即，,,,是特征根取的形式。124可设非齐次方程的特解这里为待定常数。125问题：怎样求的一个特解？方法：求出的一个特解求出的一个特解(1)(2)则由叠加原理得：就是的特解。126二、当自由项不是上述两种类型的函数时,可用常数变易法来求出常系数非齐次线性方程的通解。127二阶常系数非齐次线性方程(1)对应的齐次方程为(2)求出齐次