【创新设计】江苏高考数学文二轮专题分析训练6三角恒等变换与解三角形(含答案解析)

【创新设计】江苏高考数学文二轮专题分析训练6三角恒等变换与解三角形(含答案分析)【创新设计】江苏高考数学文二轮专题分析训练6三角恒等变换与解三角形(含答案分析)【创新设计】江苏高考数学文二轮专题分析训练6三角恒等变换与解三角形(含答案分析)常考问题6三角恒等变换与解三角形(建议用时：50分钟)1．(2013·济宁二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，＝°，△ABC＝2，则b等于________．B45S分析∵S＝11×1×c×sin45＝°2.2acsinB＝，∴22∴c＝42.∴b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－2×1×42×cos45.°∴b2＝25，b＝5.答案52．(2013·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角，且sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是________三角形．分析由sinAcosA＝sinBcosB得sin2A＝sin2B＝sin(π－2B)，因此2A＝2Bπ或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝2，因此△ABC为等腰或直角三角形．答案等腰或直角．·浙江卷改编)已知α∈R，sinα＋2cosα＝10，则tan2α等于________．3(20132分析∵sinα＋2cosα＝102，225∴sinα＋4sinα·cosα＋4cosα＝2.化简，得4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝sin2α3＝－.cos2α43答案－44．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC等于________．分析先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解．c由sinB＝sinC，且8b＝5c，C＝2B，4因此5csin2B＝8csinB，因此cosB＝5.27因此cosC＝cos2B＝2cosB－1＝25.答案725455．已知tanβ＝3，sin(α＋β)＝13，其中α，β∈(0，π)，则sinα的值为________．435分析依题意得sinβ＝5，cosβ＝5；注意到sin(α＋β)＝13<sinβ，因此有απππ＋β>2(否则，若α＋β≤2，则有0<β<α＋β≤2，0<sinβ<sin(α＋β)，这与“sin(α12＋β)<sinβ”矛盾)，则cos(α＋β)＝－13，sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)·63cosβ－cos(α＋β)sinβ＝65.答案63656．(2013·衡水调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinA，求b＝______.分析在△ABC中，sinAcosC＝3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有a2＋b2－c2b2＋c2－a2a·2ab＝3·2bc·c，化简并整理得2(a2－c2)＝b2.又由已知a2－c2＝2b，则4b＝b2，解得b＝4或b＝0(舍)．答案4πβ3α1．若α，β∈0，，cosα－＝，sin－β722222分析∵α，β∈0，ππβππαπcosα－β3sin2，∴－α－，－－β，由2＝2和4<2<22<2<4α1βπαπβπαπ2＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β226262626πβπαππ＝0，与α，β∈0，2矛盾；当α－2＝6，2－β＝－6时，α＝β＝3，此时cos(α1＋β)＝－2.1答案－28．(2013·苏北四市模拟)在△ABC中，AD为BC边上的高线，AD＝BC，角A，B，C的对边为，，，则b＋c的取值范围是________．abccb121分析因为AD＝BC＝a，由2a＝2bcsinA，a2b2＋c2－a21bca2解得sinA＝bc，再由余弦定理得cosA＝2bc＝2c＋b－bc＝1b＋c－sinA，2cbc得c＋b＝2cosA＋sinA，又A∈(0，π)，c因此由基本不等式和辅助角公式得c＋b的取值范围是[2，5]．答案

[2，

5]9．(2010·江苏卷)某兴趣小组要测量电视塔

AE的高度H(单位：m)．如表示图，垂直放置的标杆

BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组

α，β的值，算出了

tan

α＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为合适调整标杆到电视塔的距离m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实质高度为试问d为多少时，α－β最大？

d(单位：125m，解(1)由AB＝H，BD＝h，AD＝H及AB＋tanαtanβtanβHhHBD＝AD，得＋＝，解得H＝htanα＝4×1.24＝124.tanα－tanβ1.24－1.20因此，算出的电视塔的高度H是124m.H(2)由题设知d＝AB，得tanα＝d.由AB＝AD－BD＝H－h，得tanβ＝H－h，因此tan(α－β)＝tanα－tanβtanβtanβd1＋tanαtanβ＝h≤h，当且仅当d＝HH－h，即d＝HH－h＝d＋HH－h2HH－hdd125×

125－4

＝55

5时，上式取等号，因此当d＝555时，tan(α－β)最大．因为

ππ0＜β＜α＜2，则0＜α－β＜2，因此当

d＝555时，α－β最大．故所求的d是555m.→→→→10．(2012江·苏卷)在△ABC中，已知AB·AC＝3BA·BC.(1)求证：tanB＝3tanA；5(2)若cosC＝5，求A的值．证明→→→→(1)因为AB·AC＝3BA·，因此AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB，BC即AC·cosA＝3BC·cosB，由正弦定理知AC＝BC，sinBsinA从而sinBcosA＝3sinAcosB，又因为0＜A＋B＜π，因此cosA＞0，cosB＞0，因此tanB＝3tanA.(2)解因为cosC＝5，0＜C＜π，因此sinC＝1－cos2C＝25，55从而tanC＝2，于是tan[π－(A＋B)]＝2，即tan(A＋B)＝－2，tanA＋tanB4tanA1亦即1－tanAtanB＝－2，由(1)得1－3tan2A＝－2，解得tanA＝1或－3，π因为cosA＞0，故tanA＝1，因此A＝4.11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．解(1)由已知及正弦定理，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC．②由①，②