勾股定理（全国一等奖）

18.1勾股定理(1)史话·勾股定理

勾股定理是一个基本的几何定理，它在许多领域都有着广泛的应用，国内外都有很多科学家、知名人士对此都有过研究，至今已有500多种证明方法.国内：公元十一世纪周朝数学家就提出“勾三股四弦五”，在《周髀算经》中有所记载.

公元3世纪三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，创制了一幅“勾股圆方图”，把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦.

国外：公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理.

公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明.

1876年4月1日，加菲乐德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法.在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图，并以S1

，S2

与S3分别表示几个正方形的面积．探究：观察图(1)，并填写：S1＝个单位面积；S2＝个单位面积；S3＝个单位面积．观察图(2)，并填写：S1＝个单位面积；S2＝个单位面积；S3＝个单位面积．图(1)，(2)中三个正方形面积之间有怎样的关系，用它们的边长表示，是：．918991625a2+b2=c2结论：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.说一说：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此，我们称上述定理为勾股定理国外称之为毕达哥拉斯定理（Pythagorastheorem）如果直角三角形的两直角边用a，b表示，斜边用c表示，那么勾股定理可表示为：a2+b2＝c2AC2+BC2＝AB2拼一拼ccccabababab给出一个边长为c的正方形和四个直角边分别为a，b三角形，你能把它们拼成一个正方形吗？想一想：我们怎样用面积计算的方法来证明勾股定理呢？

已知：如图，在Rt△ABC中，，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，求证：a2+b2＝c2.ccccabababababcACBA1B1C1D1EFGH证明：由拼图可知：大正方形的边长为(a+b),小正方形的边长为c，∵大正方形EFGH的面积减去4个△ABC的面积等于中间的小正方形A1B1C1D1的面积.化简，得：a2+b2＝c21.求下列图中字母所表示的正方形的面积.练一练225400A22581B＝625＝1442.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，

AC＝b.（1）a＝6，b＝8，求c；（2）a＝8，c＝17，求b.解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴a2+b2＝c2，（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴a2+b2＝c2，

在用勾股定理时，需要知道直角三角形中的两条边长，才能求出第三边长.想一想：3.△ABC中，AB=10，AC=17，BC边上的高线AD=8，求线段BC的长．解：本题分两种情况讨论：（1）如图1，当AD在△ABC内时，在Rt△ABD中，1017ABCD图18BD2+AD2＝AB2在Rt△ADC中，DC2+AD2＝AC2∴BC=BD+DC＝6+15＝21；（2）如图2，当AD在△ABC外时，由（1）知：BD＝6，DC＝15，∴BC=BD－DC＝15－6＝9，综合上述，BC的长为9或21.ABC8D1710图2(2)勾股定理及证明方法；小结与反思(1)勾股定理的由来；1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流.2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.(3)勾股定理的简单应用.

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