2020-2021学年山东省临沂市罗庄区九年级上学期期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年山东省临沂市罗庄区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．D．C．2．（3分）用配方法解方程﹣4﹣7＝0，可变形为（）2xxA．（x+2）＝23B．（x+2）＝211C．（﹣2）＝3D．（﹣2）＝11xx223．（3分）如图，是正六边形的外接圆，点在上（不与，重合），⊙OABCDEFP⊙OPAB则∠的度数为（）APBA．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°4．（（）A．03分）关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则的a值可以是B．﹣1C．﹣2D．﹣35．（可以是（）3分）如果将抛物线y＝x2+4x+1平移，使它与抛物线y＝x2+1重合，那么平移的方式A．向左平移2个单位，向上平移4个单位B．向左平移2个单位，向下平移4个单位13分）如图，圆内接四边形的两组对边的延长线分别相交于点，，若∠＝55°，∠＝30°，则∠＝（）EFA．25°C．40°D．55°7．（3分）今年“十一”长第一天的游客人数是1.2万人，假某湿地公园迎来旅游高峰，第三天的游客人数为2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为（）A．2.3（1+x）＝2B．1.2（1+x）＝2C．1.2（1﹣x）＝22.3D．1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）＝28．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠＝90°，＝6，＝4，将△ABC绕直角顶BC点C顺时针旋转90°得到△DEC，若点F是DE的中点，1.22.32.3ACBAC连接，则AF＝（）AFA．B．5C．+2D．3操作过程如下：9．（3分）某校科技实践社团制作实践设备，小明的①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意找出圆的一条直径标记为（如图AB1），测量出＝4分米；OAB②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为、（如图2）；CD③用一细橡胶棒连接C、D两点（如图3），计算出橡胶棒的长度．CD小明计算橡胶棒的长度为（）CDA．2分米B．2分米C．3分米D．3分米10．（3分）某同学在利用描点法画二次函数＝yax2+bx+c（≠a0）的图象时，先取自变量的一些值，计算出相应的函数值，如下表所示：yx1023043……x…0y…﹣3﹣1接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A．B．C．D．11．（3分）把一副三角板如图（1）放置，其中∠＝∠＝90°，∠＝45°，∠ACBDECAD＝30°，斜边AB＝4，＝5．把三角板绕着点C顺时针旋转15°得到△CDDCEDCE11（如图2），此时与交于点，O则线段AD1的长度为（）ABCD1A．B．C．D．412．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于，两点（点在点的左侧），其顶点N3），点的横坐MNMP在线段AB上移动，点，的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣NAB3标的最大值为4，则点的横坐标的最小值为（）MA．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣713．（3分）如图，在平面直角坐标系中，是直线＝2上的一个动点，的半径为1，Py⊙P直线切OQ⊙于点，则线段的最小值为（）PQOQA．1B．2C．D．14．（3分）如图是抛物线＝yax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，），且n与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b＝0；4（﹣）③b2＝acn；④一元二次方程ax2bxcn++＝﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个共1大题，3分）点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标为．B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小5小题，题3分，共15分）15．（AB416．（3分）如图，的半径为6，点、、在上，且∠＝45°，则弦AB的⊙OABC⊙OACB长是．17．（3分）如图，边长为2的正方形中心与半径为圆心重合，、EF是3的的ABCD⊙O、的延长线与⊙O的交点，则阴影面积是．（结果保留π）ADBA18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△ACBA'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝4，∠＝ABC60°，则线段MN的最大值为．19．（3分）如图，公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最大高度，于是画出示意图，并测出了一些数据：水柱上的点，CD到地面的距离都是1.6米，即BC＝＝OD1.6米，＝1米，＝5米，则水柱的最大高度是米．ABAO三、解答题（共6小题，共63分）520．（10分）（1）﹣8+1＝0；xx2（2）2（﹣x2）＝﹣4．2x221．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点（3，3），点（4，0），点（0，xOyABC﹣1）．（1）以点为中心，把△逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；CABC（2）在（①点A经过的路径的长为（结果保留π）；1）中的条件下，②写出点．B′的坐标为22．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，果园可以收获果实6750千克？增种果树多少棵时，（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？23．（10分）如图，为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△的斜边BD交量角ABBCD器边缘于点，直角边CD量切角器于读数为60°的点E处（即弧AE的度数为60°），G第三边交量角器边缘于点F处．6（1）求量角器在点处的读数α（0°＜α＜90°）；G（2）若AB＝12cm，求阴影部分面积．24．（12分）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点不与点重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°DA得到△BCE，连接DE．（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．（2）设OD＝t，①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．25．（13分）如图，在坐标系中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与x轴交于点平面直角B．抛物线y＝﹣x+bx+c过A、B两点．2（1）点A，B的坐标分别是A，B；（2）求抛物线的解析式；（3）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点，点为抛物线上的P一动点（点在PCAC上方），作PD平行于y轴交AB于点，问当点在何位置时，四边形APCD的面DP积最大？并求出最大面积．78参考答案一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分）14342．（分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的31是（）A．C．B．D．解：、不是中心对称图形，本选项错误；AB、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确．故选：．D．（分）用配方法解方程﹣﹣＝，可变形为（）3x4x7022．（）＝．（）＝．（﹣）＝．（﹣）＝x+2xxx22A3B+211C3D112222解：∵﹣﹣＝，x4x702∴﹣＝，x4x+4112∴（﹣）＝，x2112故选：．D．（分）如图，33⊙是正六边形的外接圆，点在⊙上（不与，重合），OABCDEFPOPAB则∠的度数为（）APBA．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°解：连接，，如图所示：OAOB9∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠＝＝60°，AOB当点P不在上时，∠＝∠＝30°，APBAOB当点P在上时，∠＝180°﹣∠＝180°﹣30°＝150°，APBAOB故选：D．4．（3分）关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则的值可以是a（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3解：∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，解得a＞﹣1且a≠0，故选：B．5．（3分）如果将抛物线y＝x2+4x+1平移，使它与抛物线y＝x2+1重合，那么平移的方式可以是（）A．向左平移2个单位，向上平移4个单位B．向左平移2个单位，向下平移4个单位C．向右平移2个单位，向上平移4个单位D．向右平移2个单位，向下平移4个单位解：∵抛物线y＝x2+4x+1＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），抛物线y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），10∴顶点由（﹣2，﹣3）到（0，1）需要向右平移2个单位再向上平移4个单位．3分）如图，圆内接四边形的两组对边的延长线分别相交于点，，若∠＝55°，∠＝30°，则∠＝（）EFA．25°C．40°D．55°∴∠＝∠＝55°，BCFA∴∠＝∠+∠＝85°，EA∴∠＝180°﹣∠﹣∠＝40°，F7．（3分）今年“十一”长第一天的游客人数是1.2万人，假某湿地公园迎来旅游高峰，第三天的游客人数为2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为（）A．2.3（1+x）＝2B．1.2（1+x）＝2C．1.2（1﹣）＝2.31.22.3x2D．1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）＝2解：设每天游客增加的百分率相同且设为x，1.2（1+x）；1.2（1+）（1+）＝2.3第二天的游客人数是：第三天的游客人数是：1.2（1+x）2；可列方程：1.2（1+）＝2.3．x2xx依题意，故选：．B8．（顺时针旋转90°得到，若点F是DE的中点，连接，则AF＝（）DECAF3分）如图，已知Rt△ABC中，∠＝90°，＝6，＝4，将△ABC绕直角顶ACBACBC点△CA．B．5C．+2D．3解：如图，过点作垂直于，过点作垂直于，FFHACHFFGCDG由旋转的性质可知：＝＝，＝＝，CDCA6CECB4∵为中点，FED∴GF＝＝＝，＝＝＝，CHEH2HFCGGD3∴AH＝AC﹣CH＝6﹣2＝，4由勾股定理可知：＝．AF故选：．B9．（3分）某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的找出圆O的一条直径标记为（如图②将圆环进行翻折使点B落在圆心O的位置，圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O，再任意），测量出1AB＝4分米；AB翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C、D（如图2）；（如图3），③用一细橡胶棒连接C、D两点计算出橡胶棒CD的长度．12小明计算橡胶棒的长度为（）CDA．2分米B．2分米C．3分米D．3分米解：连接，如图，OC∵点落在圆心的位置，BO∴垂直平分，CDOB∴＝，＝＝1，CEDEOEBE在Rt△中，∵＝OCE2，＝1，OCOE∴＝＝，CE∴＝2＝2（分米）．CDCE故选：．B10．（3分）某同学在利用描点法画二次函数＝yax2+bx+c（≠a0）的图象时，先取自变量的一些值，计算出相应的函数值，如下表所示：yx1023043……x…0y…﹣3﹣1接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A．B．C．D．1和＝3时，＝0；解：∵＝xxy∴抛物线的对称轴为直线＝2，x∴顶点坐标为（2，﹣1），∴抛物线的开口向上，∴＝0和＝4的函数值相等且大于0，xx∴＝0，＝﹣3错误．xy故选：．A11．（3分）把一副三角板如图（1）放置，其中∠＝∠＝90°，∠＝45°，∠ACBDECAD13＝30°，斜边AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△（如图2），此时AB与CD交于点O，则线段AD的长度为（）DCE1111A．B．CAB45解：由题意易知：∠＝°，∠ACD＝30°．C．D．4若旋转角度为15°，则∠ACO＝30°+15°＝45°．∴∠AOC＝180°﹣∠ACO﹣∠CAO＝90°．在等腰Rt△ABC中，AB＝4，则AC＝＝BC2．同理可求得：AO＝＝OC2．在Rt△AOD中，＝，＝﹣＝，OA2ODCDOC3111由勾股定理得：AD＝．1故选：A．12．（3分）如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣7解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，14则此时抛物线的表达式为：＝（﹣）﹣，yax132把点的坐标代入得：＝（﹣）﹣，0a41N32解得：＝，a当顶点在点时，点的横坐标为最小，AM此时抛物线的表达式为：＝（）﹣，x+2y32令＝，则＝﹣或，xy051即点的横坐标的最小值为﹣，M5故选：．C．（分）如图，在平面直角坐标系中，是直线＝上的一个动点，y2⊙的半径为，133PP1直线切OQ⊙于点，则线段的最小值为（）PQOQA．1B．2C．D．解：连接、，如图，PQOP∵直线切OQ⊙于点，PQ∴PQ⊥OQ，在△RtOPQ中，＝OQ＝，当最小时，最小，OPOQ当⊥直线＝时，有最小值，y2OPOP2∴OQ的最小值为＝．故选：．C．（分）如图是抛物线＝（≠）的2部分图象，其顶点坐标为（，），且1n143yax+bx+ca0与x轴的一个交点在点（，）和（，）之间．则下列结论：304015①a﹣b+c＞0；②3a+b＝0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．2其中正确结论的个数是（）A．个1B．个2C．个3D．个4解：∵抛物线与轴的一个交点在点（，）和（，）之间，而抛物线的对称轴为直x3040线＝，x1∴抛物线与轴的另一个交点在点（﹣，）和（﹣，）之间．x2010∴当x＝﹣时，＞，1y0即a﹣＞，b+c0所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线＝﹣＝，x即＝﹣，2a1b∴3a+b＝﹣＝，3a2aa所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（，），1n∴＝，n∴＝﹣＝（﹣），所以③正确；b4ac4an4acn2∵抛物线与直线＝有一个公共点，yn∴抛物线与直线＝﹣有个公共点，yn12∴一元二次方程＝﹣有两个不相等的实数根，所以④正确．ax+bx+cn12故选：．C二、填空题（共1大题，小题，每小题3分，共分）515．（3分）点（，﹣）A2关于原点对称的点的B坐标为（﹣，）．2115116解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴点（，﹣）关于原点的对称点的坐标为（﹣，）．A2121故答案为：（﹣，）．21．（分）如图，3⊙的半径为，点、、在⊙上，且∠＝ACB45°，则弦AB的16OABCO6长是6．解：连接OA，，OB∠＝∠＝AOB2ACB2×45°＝90°，则AB＝＝＝．6．（分）如图，3边长为的正方形ABCD中心与半径为的⊙的圆心重合，、EF是1723O、的延长线与⊙的交点，则阴影面积是π﹣1．（结果保留π）ADBAO解：延长DC，CB交⊙O于，，GH则图中阴影部分的面积＝×（﹣S）＝×（9π﹣）＝4π﹣，1SOABCD圆正方形故答案为：π﹣．117．（分）如图，在△中，∠＝°，将△绕顶点C逆时针旋转得到△183RtABCACB90ABCA'B'C，M是BC的中点，N是A'B'的中点，连接MN，若BC＝，∠＝4°，则线ABC60段MN的最大值为6．解：连接CN．在△中，RtABC∵∠＝°，＝，∠＝B60°，ACB90BC4∴∠＝A30°，∴AB＝A′B′＝＝，2BC8∵NB′＝NA′，∴CN＝′′＝，AB4∵CM＝＝，BM2∴MN≤CN+CM＝，6∴MN的最大值为6，故答案为6．．（分）如图，公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最31918大高度，于是画出示意图，并测出了一些数据：水柱上的点，到地面的距离都是CD1.6米，即＝＝米，＝米，＝米，则水柱的最大高度是米．BCOD1.6AB1AO5解：∵＝米，＝米，AB1AO5∴＝米，OB4∴点的坐标为（，），点的坐标为（，），点的坐标为（，），DC41.601.6A50设抛物线的解析式为＝，yax+bx+c2∴，解得：，∴解析式为：＝﹣x+＝﹣（﹣），x2+2yx+2∵﹣＜，0∴有最大值，故答案为：．三、解答题（共小题，共分）663．（分）（）﹣＝；1x8x+1020102（）（﹣）＝﹣．x422x222解：（）∵﹣＝，x8x+1012∴﹣＝﹣，x8x12则﹣＝﹣，即（﹣）＝，x4x8x+1621+16152∴﹣＝±，x4∴＝，＝﹣；x4+x412（）∵（﹣）＝﹣，x422x22219∴（﹣）﹣（）（﹣）＝，x22x2x+202则（﹣）（﹣）＝，x6x20∴﹣＝或﹣＝，x20x60解得＝，＝．x2x612．（分）如图，在平面直角坐标系中，点（，），点（，），点（，xOy218A33B40C0﹣）．1（）以点为中心，把△逆时针旋转ABC°，画出旋转后的图形△′′；ABC1C90（）在（）中的条件下，21①点A经过的路径的长为（结果保留π）；②写出点（﹣B′的坐标为1，3）．解：（）如图1所示，△A′B′C即为所求；（）2①∵＝＝，∠ACA′＝90°，AC5∴点A经过的路径的长为＝，故答案为：；20②由图知点B′的坐标为（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．22．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），得，，解得∴该函数的表达式为y＝﹣0.5x+80，（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）＝6750，解得，x1＝10，x2＝70∵投入成本最低．∴x2＝70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．（3）根据题意，得w＝（﹣0.5x+80）（80+x）＝﹣0.5x2+40x+6400＝﹣0.5（x﹣40）2+7200∵a＝﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值∴当x＝40时，w最大值为7200千克．21∴当增种果树棵时果园的最大产量是千克．407200．（分）如图，为量角器（半圆）的直径，等腰直角△的斜边交量角2310ABOBCDBD器边缘于点，直角边切量角器于读数为GCD°的点处（即弧AE的度数为60°），E60第三边交量角器边缘于点处．F（）1求量角器在点处的读数α（°＜α＜90°）；G0（）若2AB12cm，求阴影部分面积．＝解：如图，连接OE，．OF（）∵切半圆于点，1CDOE∴OE⊥CD，∵BD为等腰直角△的斜边，BCD∴BC⊥CD，∠D＝∠CBD＝45°，∴OE∥BC，∴∠ABC＝∠AOE＝60°，∴∠ABG＝∠ABC＝°﹣45°＝15°﹣∠CBD60∴弧AG的度数＝∠2ABG＝30°，∴量角器在点G处的读数α＝弧AG的度数＝30°；AB12cm，（）∵＝2∴OF＝OB＝6cm，∠＝°，ABC60∴△为OBF正三角形，∠BOF60＝°，∴＝S扇形＝6π（），＝cm9，S2OBF△∴＝S﹣SS扇形＝6π﹣9．OBF△阴影22．（分）已知△是边长为的等边三角形，边在射线上，且＝，点ABCABOMOA642412是射线上的动点，当点不与点重合时，将△绕点逆时针方向旋转60°OMDAACDCD得到△，连接DE．BCE（）如图1，求证：△是等边三角形．1CDE（）设＝，2ODt①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．解：（）证明：∵将△绕点逆时针方向旋转°得到△，ACDCBCE160＝°，＝，∴∠DCE60DCEC∴△是等边三角形；CDE（）存在，当6＜t＜10时，2由旋转的性质得，＝，BEAD∴C＝BE+DB+DE＝AB+DE＝，4+DEDBE△由（）知，△是等边三角形，1CDE∴DE＝，CD∴C＝，CD+4DBE△由垂线段最短可知，当⊥