考研数学二分类模拟题101

考研数学二分类模拟题101一、选择题1.

n维向量组α1，α2，…，αs(3≤s≤n)线性无关的充分必要条件是A.有一组不全为0的数k1，k2，…，ks，使k1α1，k2α2，…，ksαs≠0．B.α（江南博哥）1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关．C.α1，α2，…，αs中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示．D.α1，α2，…，αs中任意一个向量都不能用其余向量线性表示．正确答案：D[解析]此为“向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示的充分必要条件是向量组线性相关”的逆否命题．

要区分清“存在”与“任意”的两种表述．

2.

设向量α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由向量α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有A.α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关．B.α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关．C.α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关．D.α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关．正确答案：A[解析]取k=0时，B和C都错．而取k≠0时，D亦错．

不妨取k=1，若α1，α2，α3，β1+β2线性相关，则由于α1，α2，α3线性无关，β1+β2必可由α1，α2，α3线性表示；又β1可由α1，α2，α3线性表示，所以β2可由α1，α2，α3线性表示，与题设矛盾．所以A是正确的．事实上，设

λ1α1，λ2α2，λ3α3+λ4(kβ1+β2)=0．

若λ4=0，则由α1，α2，α3线性无关，必有λ1=λ2=λ3=0，从而α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关；

若λ4≠0，则kβ1+β2可由α1，α2，α3线性表示，从而β2可由α1，α2，α3线性表示，与题设矛盾．总之α1，α2，α3，kβ1+β2是线性无关的．

3.

设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则A.当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．B.当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关．C.当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关．D.当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关．正确答案：D[解析]因为向量组Ⅰ可由Ⅱ线性表示，它们的秩满足

r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s，

故当r＞s时，r(Ⅰ)＜r，故Ⅰ必线性相关，于是选D．

若是能想到“以少表多，则多必相关”，可直接选D．

4.

设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有A.A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关．B.A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关．C.A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关．D.A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关．正确答案：A[解析]解法1

若设A=(1，0)，B=(0，1)T，显然AB=0，但矩阵A的列向量组线性相关，行向量组线性无关；矩阵B的行向量组线性相关，列向量组线性无关．由此就可断言选项A正确．

不少考生选D，其原因就是对齐次线性方程组有非零解的条件理解不透彻．事实上，若设A=(α1，α2，…，αn)，其中α1，α2，…，αn是矩阵A的列向量组，则齐次线性方程组Ax=0便可写成

x1α1+x2α2+…+xnαn=0，

所以，方程组Ax=0有非零解的充要条件是列向量组α1，α2，…，αn线性相关．由已知条件AB=O，有BTAT=O，因为A，B都是非零矩阵，所以AT也是非零矩阵，这表明齐次方程组BTx=0有非零解，所以矩阵BT的列向量组也就是B的行向量组线性相关．

解法2

不妨设Am×nBn×s，由AB=O，则r(A)+r(B)≤n，且A≠O，B≠O，则r(A)≥1，r(B)≥1，所以有r(A)＜n(A的列)，r(B)＜n(B的行)，故选A．

5.

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是A.λ1≠0．B.λ2≠0．C.λ1=0．D.λ2=0．正确答案：B[解析]设k1α1+k2A(α1+α2)=0，则有

(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0．

由于α1与α2是对应于A的两个不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，即必有

于是α1与A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是上述关于k1，k2的齐次线性方程组只有零解，这等价于其系数行列式

即λ2≠0，故选B．

6.

设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是A.若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．B.若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．C.若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．D.若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．正确答案：A[解析]取A=O，则选项B与D不成立；若矩阵A的秩为n，选项C不成立，所以应选A．

事实上，因为α1，α2，…，αs线性相关，所以存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks，使得

k1α1+k2α2+…+ksαs=0，

从而有A(k1α1+k2α2+…+ksαs)=0，

即k1Aα1+k2Aα2+…+kxAαs=0，

由此可知存在一组不全为零的数k1，k2，…，ks使上式成立，所以Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关，即选项A是正确的．

还可以用秩来判定，r(Aα1，Aα2，…，Aαs)=r(A(α1，α2，…，αs))≤r(α1，α2，…，αs)，若α1，α2，…，αs线性相关，则r(α1，α2，…，αs)＜s，则r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＜s，故此时Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关，故选A．

7.

设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是A.α1-α2，α2-α3，α3-α1．B.α1+α2，α2+α3，α3+α1．C.α1-2α2，α2-2α3，α3-2α1．D.α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1．正确答案：A[解析]事实上，选项A中的3个向量之和(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α1)=0，即这3个向量是线性相关的．至于其他3个向量组是否线性无关，可由以下结论做检验：设向量组β1，β2，…，βr线性无关，则向量组

(γ1，γ2，…，γr)=(β1，β2，…，βr)A

线性无关的充要条件是r阶方阵A的行列式|A|≠0．选项B，C，D中的向量组分别有

不难算出：

可知选项B，C，D的向量组都是线性无关的．事实上，选项A的向量组也有相应的表示：

其中

即向量组α1-α2，α2-α3，α3-α1线性相关，即知选项A是正确的．

8.

设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题正确的是A.若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s．B.若向量组Ⅰ线性相关，则r＞s．C.若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s．D.若向量组Ⅱ线性相关，则r＞s．正确答案：A[解析]事实上，由向量组Ⅰ线性无关知其秩r(Ⅰ)=r，又向量组Ⅱ的秩r(Ⅱ)≤s，由于Ⅰ可由Ⅱ表示，则

r=r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s，

即r≤s．

也可通过举反例来否定其他选项：

当向量组Ⅰ只包含(0，0)T，向量组Ⅱ由(1，0)T与(0，0)T组成时，便否定了选项B，D．

当向量组Ⅰ由(1，0)T与(0，0)T组成，向量组Ⅱ只包含(1，0)T时，也否定了选项C．

综上，应选A．

本题实际上就是对“以少表多，则多必相关”这个结论的逆否命题的考查，即：若向量组β1，β2，…，βs可由向量组α1，α2，αt线性表示且向量组β1，β2，…，βs线性无关，则s≤t．可直接选A．

9.

设其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为A.α1，α2，α3．B.α1，α2，α4．C.α1，α3，α4．D.α2，α3，α4．正确答案：C[解析]首先，当c1=1时，行列式

|α1，α2，α3|=-1，|α1，α2，α4|=1，

所以此时向量组α1，α2，α3与α1，α2，α4都线性无关，即选项A与B不能选．

其次，当c2=0，c3=c4=1时．行列式|α2，α3，α4|=-2，即此时向量组α2，α3，α4也是线性无关的，选项D也不能选，故选C．

事实上，当c1=0时，由于α1为零向量，故α1，α3，α4线性相关；当c1≠0时，有

(c3+c4)α1-c1(α3+α4)=0，

所以，对任意的常数c1，c3，c4而言，α1，α3，α4都是线性相关的．这证明了应选C．

也可以考查行列式|α1，α3，α4|是否为0．

10.

设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的A.必要非充分条件．B.充分非必要条件．C.充分必要条件．D.既非充分也非必要条件．正确答案：A[解析]已知α1，α2，α3线性无关，设λ1(α1+kα3)+λ2(α2+lα3)=0，即

λ1α1+λ2α2+(kλ1+lλ2)α3=0λ1=λ2=kλ1+lλ2=0，从而α1+kα3，α2+lα3线性无关．反之若α1+kα3，α2+lα3线性无关，不一定有α1，α2，α3线性无关．例如

显然，α1+kα3，α2+lα3线性无关，而α1，α2，α3线性相关．故α1+kα3，α2+lα3线性无关是α1，α2，α3线性无关的必要条件，而不是充分条件．因此选A．

这是一道选择题，直接取k=l=0，此时显然向量组α1，α2线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的必要非充分条件．

11.

设A，B，C均为n阶矩阵．若AB=C，且B可逆，则A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．D.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．正确答案：B[解析]本题考查向量组等价的概念以及对矩阵与其向量组之间的关系的理解．

设矩阵A=(α1，α2，…，αn)，C=(γ1，γ2，…，γn)，其中αi，γi(i=1，2，…，n)均为n维列向量．由题设有

(α1，α2，…，αn)B=(γ1，γ2，…，γn)，

则

(α1，α2，…，αn)=(γ1，γ2，…，γn)B-1，

即矩阵A的列向量组α1，α2，…，αn与矩阵C的列向量组γ1，γ2，…，γn能相互线性表示，所以矩阵A的列向量组与矩阵C的列向量组等价，选项B正确．

此外，由于矩阵B可逆，所以其行向量组与列向量组分别都是线性无关的；而矩阵A是任意的n阶矩阵，且矩阵A的秩与矩阵C的秩相等，所以当矩阵A的秩小于n时，矩阵C的秩也小于n，即矩阵C的行向量组与列向量组分别都是线性相关的．由此可知选项C、D都应排除．

最后，由

知矩阵的行向量组(1，1)，(0，0)与矩阵的行向量组(2，1)，(0，0)是不等价的，从而选项A也是错的．

对Am×nBn×s=Cm×s，则C的列向量组可由A的列向量组线性表出，C的行向量组可由B的行向量组线性表出．

12.

设矩阵若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为

A．

B．

C．

D．a∈Ω，d∈Ω．正确答案：D[解析]Ax=b有无穷多解．

|A|是一个范德蒙德行列式，值为(a-1)(a-2)．如果，则|A|≠0，r(A)=3．此时Ax=b有唯一解，排除A，B．

类似地，若，则，排除C．

当a，d都属于Ω时，，Ax=b有无穷多解．选D．

13.

设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为A.α1，α3．B.α1，α2．C.α1，α2，α3．D.α2，α3，α4．正确答案：D[解析]因齐次线性方程组Ax=0的基础解系只包含1个向量(1，0，1，0)T，所以矩阵A的秩r(A)=4-1=3．A的伴随矩阵的秩r(A*)是由r(A)确定的，它们之间的关系为

于是r(A*)=1，从而方程组A*x=0的基础解系包含4-r(A*)=4-1=3个解向量．由此，选项A、B被排除．

又因为A*A=|A|E及|A|=0，故矩阵A的列向量α1，α2，α3，α4都是方程组A*x=0的解．由前面可知r(A)=3，故向量组α1，α2，α3，α4的秩也为3，则其中3个线性无关的向量即为A*x=0的一个基础解系．

最后，因向量(1，0，1，0)T是Ax=0的解，故

即α1+α3=0，则α1=-α3．由此可知α2，α3，α4(或α1，α2，α4)线性无关，是A*x=0的一个基础解系，选项D是正确的．

也可利用排除法求解．求出r(A*)=3，排除选项A、B；由α1+α3=0，即α1，α3线性相关，排除选项C，只能选D．

二、解答题设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．1.

证明α1，α2，α3线性无关；正确答案：证

设存在数k1，k2，k3使得

k1α1，k2α2，k3α3=0，

①

用矩阵A左乘①式的两边，并由题设知Aα1=-α1，Aα2=α2，得

k1α1+k2α2+k3(α2+α3)=0．

②

①-②得

2k1α1-k3α2=0，

由于α1，α2是A的属于不同特征值的特征向量，所以α1，α2线性无关，从而k1=k3=0．代入①式有k2α2=0，而α2是A的特征向量，α2≠0，故k2=0．综上，α1，α2，α3线性无关．

2.

令P=(α1，α2，α3)，求P-1AP．正确答案：解

由题设有Aα1=-α1，Aα2=α2，从而

由上一小题知P为可逆矩阵，从而

3.

已知α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，-1，a)T，β=(3，10，b，4)T，问

(Ⅰ)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示?

(Ⅱ)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示?并写出此表示式．正确答案：解

因为

所以

(Ⅰ)当b≠2时，线性方程组(α1，α2，α3)x=β无解，此时β不能由α1，α2，α3线性表示．

(Ⅱ)当b=2，a≠1时，线性方程组(α1，α2，α3)x=β有唯一解：

x=(x1，x2，x3)T=(-1，2，0)T，

于是β可唯一表示为β=-α1+2α2；

当b=2，a=1时，线性方程组(α1，α2，α3)x=β有无穷多解：

x=(x1，x2，x3)T=k(-2，1，1)T+(-1，2，0)T，

其中k为任意常数，这时β可由α1，α2，α3线性表示为

β=-(2k+1)α1+(k+2)α2+kα3．

4.

已知向量组与向量组具有相同的秩，且β3可由α1，α2，a3线性表示，求a，b的值．正确答案：解

α1和α2线性无关，α3+3α1+2a2，所以向量组α1，α2，a3线性相关，且秩为2，α1，α2是它的一个极大线性无关组．

由于向量组β1，β2，β3与α1，α2，a3具有相同的秩，故β1，β2，β3线性相关，从而

由此解得a=3b．

又β3可由α1，α2，a3线性表示，从而可由α1，α2线性表示，所以α1，α2，β3线性相关．于是

解之得2b-10=0，于是得a=15，b=5．

5.

确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(-2，a，4)T，β3=(-2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，a3线性表示．正确答案：解

记A=(α1，α2，a3)，B=(β1，β2，β3)．由于β1，β2，β3不能由α1，α2，a3线性表示，所以A的秩r(A)＜3，从而行列式

得a=1或a=-2．

当a=1时，α1=α2=α3=β1=(1，1，1)T，显然α1，α2，a3可由β1，β2，β3线性表示，而β2=(-2，1，4)T不能由α1，α2，a3线性表示，即a=1符合题意．

当a=-2时，则有

考虑非齐次线性方程组Bx=α2，由上述可知矩阵B的秩r(B)=2，而秩，则方程组Bx=α2无解，即α2不能由向量组β1，β2，β3线性表示，所以a=-2不符合题意，应舍去．综上a=1．[解析]向量组α1，α2，a3可由向量组β1，β2，β3线性表示，则三个方程组xi1β1+xi2β2+xi3β3=αi(i=1，2，3)均有解；向量组β1，β2，β3不可由向量组α1，α2，a3线性表示，则三个方程组xi1α1+xi2α2+xi3α3=βi(i=1，2，3)至少一个无解．

设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示．6.

求a的值；正确答案：解

因为4个3维向量β1，β2，β3，αi(i=1，2，3)是线性相关的，所以，若β1，β2，β3线性无关，则αi(i=1，2，3)可由β1，β2，β3线性表示，与题设矛盾，于是β1，β2，β3线性相关，从而行列式

即a=5．

7.

将β1，β2，β3用α1，α2，a3线性表示．正确答案：解

将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示，即解3个非齐次线性方程组：

Xi1α1+xi2α2+xi3α3=βi(i=1，2，3)．

由于3个线性方程组的系数矩阵是相同的，所以令，并对A作初等行变换：

由此可得

β1=2α1+4α2-α3，β2=α1+2α2，β3=5A1+10A2-2A3．

8.

设向量组

α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(-2，-6，10，p)T．

(Ⅰ)p为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量α=(4，1，6，10)T用α1，α2，α3，α4线性表示；

(Ⅱ)p为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．正确答案：解

对矩阵(α1，α2，α3，α4，α)作初等行变换：

(Ⅰ)当p≠2时，向量组α1，α2，α3，α4线性无关．此时设α=x1α1，x2α2，x3α3，x4α4，解得

即

(Ⅱ)当p=2时．向量组α1，α2，α3，α4线性相关．此时，向量组的秩等于3．α1，α2，α3(或α1，α3，α4)为其一个极大线性无关组．[解析]对列向量组α1，α2，α3，α4作初等行变换得到β1，β2，β3，β4，则向量组α1，α2，α3，α4与向量组β1，β2，β3，β4有着相同的对应关系，即如果β1，β2，β3是β1，β2，β3，β4的极大线性无关组，则α1，α2，α3是α1，α2，α3，α4的极大线性无关组；且α4由α1，α2，α3线性表示的系数与β4由β1，β2，β3线性表示的系数相同．

9.

已知平面上三条不同直线的方程分别为

l1：ax+2by+3c=0，

l2：bx+2cy+3a=0，

l3：cx+2ay+3b=0．

试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．正确答案：证法1

考虑方程组

由几何意义可知，要么Ⅰ存在唯一解，要么无解，要么存在无穷多解(此时相当于三直线重合)．

Ⅰ存在唯一解存在唯一解(x0，y0，1)T．而当后者存在唯一解(x0，y0，1)T时，它是非零解，所以

展开上式得

因此a+b+c=0．

反之，设a+b+c=0，则

有非零解(x0，y0，1)T，即l1，l2，l3有公共点(x0，y0)．但由上面分析，在三直线不重合的前提下，若有公共点(x0，y0)，则必为唯一公共点．证毕．

证法2

考虑

三直线相交于一点．

因为l1与l2是不同的直线，所以向量(a，2b，3c)与(b，2c，3a)对应的分量不成比例，所以，但r(A)=2，所以，即a+b+c=0(见证法1的推导)．[解析]不少考生由或a=1，这是不对的，因为|A|=0这只是意味着Ax=b没有唯一解，它可能有无穷多解，但也可能无解，实际上a=1时方程无解．

10.

λ取何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．正确答案：解

原方程组的系数行列式为

故当λ≠1且时，方程组有唯一解．

当λ=1时，原方程组为

对其增广矩阵作初等行变换：

因此，当λ=1时，原方程组有无穷多解，其通解为

或(x1，x2，x3)T=(1，-1，0)T+k(0，1，1)T(k为任意实数)．

当时，原方程组的同解方程组为

对其增广矩阵作初等行变换：

由此可知当时，原方程组无解．

11.

设A=αβT，B=βTα，其中βT是β的转置，求解方程

2B2A2x=A4x+B4x+γ．正确答案：解

由题设得

又

A2=αβTαβT=α(βTα)βT=2A，

A4=8A．

代入原方程，得

16Ax=8Ax+16x+γ，

即8(A-2E)x=γ(其中E是3阶单位矩阵)．

令x=(x1，x2，x3)T，代入上式，得到非齐次线性方程组

解其对应的齐次方程组，得通解

显然，非齐次线性方程组的一个特解为

于是所求方程的解为x=ξ+η*，即

[解析]注意区分：A=αβT是三阶方阵，B=βTα是一个数．

12.

设有齐次线性方程组

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．正确答案：解

对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有

当a=0时，r(A)=1＜4，故方程组有非零解，其同解方程组为

x1+x2+x3+x4=0，

由此得基础解系为

η1=(-1，1，0，0)T，η2=(-1，0，1，0)T，η3=(-1，0，0，1)T，

于是所求方程组的通解为

x=k1η1+k2η2+k3η3，其中k1，k2，k3为任意常数．

当a≠0时，

可知a=-10时，r(A)=3＜4，故方程组也有非零解，其同解方程组为

由此得基础解系为

η=(1，2，3，4)T，

于是所求方程组的通解为

x=kη，其中k为任意常数．[解析]由于本题是含n个方程n个未知数的方程组，因此也可以考虑用行列式分析．

13.

已知三阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全为零，矩阵且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解．正确答案：解

因为矩阵A的第一行元素a，b，c不全为零，所以A的秩r(A)≥1；又因为AB=O，所以

r(A)+r(B)≤3，

且矩阵B的列向量η1=(1，2，3)T与η2=(3，6，k)T都是齐次线性方程组Ax=0的解．因而：

当k≠9时，η1与η2线性无关，即r(B)=2，从而r(A)=1．此时Ax=0的通解为

x=c1η1+c2η2，其中c1，c2为任意常数；

当k=9时，r(B)=1，矩阵A的秩有两种可能：r(A)=1或r(A)=2．以下分别进行讨论．

如果r(A)=2，方程组Ax=0的基础解系只包含一个线性无关的解向量，即为η1=(1，2，3)T，所以通

解为

x=c1η1，其中c1为任意常数．

如果r(A)=1，方程组Ax=0的基础解系应包含两个线性无关的解向量．此时方程组Ax=0与ax1+bx2+cx3=0同解．因为a，b，c不全为零，不妨设a≠0，得两个线性无关的解向量：

ξ1=(-b，a，0)T，ξ2=(-c，0，a)T，

于是，方程组Ax=0的通解为

x=c1ξ1+c2ξ2，其中c1，c2为任意常数．

总之，齐次方程组Ax=0的通解为(以下c1，c2均为任意常数)：

当k≠9时，x=c1(1，2，3)T+c2(3，6，k)T；

当k=9时，若r(A)=2．通解为x=c1(1，2，3)T；

若r(A)=1，通解为x=c1(-b，a，0)T+c2(-c，0，a)T．

已知非齐次线性方程组

有三个线性无关的解．14.

证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；正确答案：证

设ξ1，ξ2，ξ3是题设所给非齐次线性方程组的三个线性无关的解向量，则ξ2-ξ1，ξ3-ξ1是其对应的齐次线性方程组Ax=0的两个线性无关的解向量．若令t表示方程组Ax=0的基础解系所包含向量的个数，则t≥2．又由r(A)+t=4得

4-r(A)≥2，即r(A)≤2．

不难看到，在矩阵A中有一个二阶子式(或矩阵A有两行(列)线性无关)，所以r(A)≥2，从而r(A)=2．

15.

求a，b的值及方程组的通解．正确答案：解

对非齐次线性方程组的增广矩阵作初等行变换：

由上一小题知，故有

4-2a=0和4a+b-5=0，

从而得a=2，b=-3．

此时有

可得方程组的通解为

其中k1，k2为任意常数．[解析]在第一问中可以用定义法验证ξ2-ξ1，ξ3-ξ1线性无关．

设

16.

求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；正确答案：解

对增广矩阵作初等行变换：

故得基础解系为(1，-1，2)T，一个特解为从而

其中C1为任意常数．

其次，

对增广矩阵作初等行变换：

故得基础解系为(-1，1，0)T，(0，0，1)T，一个特解为从而

其中C2，C3为任意常数．

17.

对上一小题中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．正确答案：证

只需证明行列式|ξ1，ξ2，ξ3|≠0即可．事实上，

故ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

设已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解．18.

求λ，a；正确答案：解

因为非齐次线性方程组Ax=b有两个不同的解，即解不是唯一的，所以系数行列式

得解λ=-1或1(二重)．

当λ=1时，方程组的增广矩阵

的秩为2，系数矩阵A的秩为1，方程组Ax=b无解，故λ=1应舍去．

当λ=-1时，对方程组Ax=b的增广矩阵作初等行变换：

因为方程组Ax=b有解，所以a+2=0，即a=-2．总之，λ=-1，a=-2．

19.

求方程组Ax=b的通解．正确答案：解

当λ=-1，a=-2时，继续对上一小题中的矩阵B作初等行变换得

于是方程组Ax=b的通解为

其中k为任意常数．

设20.

计算行列式|A|；正确答案：解

21.

当实数a为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解．正确答案：解法1

因为方程组Ax=β有无穷多解的必要条件是其系数矩阵A的行列式为0，即|A|=0，由上一小题得1-a4=0，从而a=1或a=-1．

当a=1时，对方程组Ax=β的增广矩阵作初等行变换：

由此知系数矩阵A的秩r(A)=3，增广矩阵的秩，二者不相等，故当a=1时，方程组Ax=β无解．

当a=-1时，

由此知，故当a=-1时，方程组Ax=β有无穷多解．

只需解方程组

其对应的齐次方程组为

故基础解系为(1，1，1，1)T．不难求得非齐次方程组的一个特解为(0，-1，0，0)T从而得通解

其中k为任意常数．

解法2

直接对含参数a的增广矩阵作初等行变换：

由于方程组Ax=β有无穷多解当且仅当，故有1-a4=0且-a-a2=0，得a=-1，即a=-1时，方程组Ax=β有无穷多解．

以下同解法1．

22.

设当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C正确答案：解

设矩阵代入AC-CA=B，得方程组

(*)

对该方程组的增广矩阵作初等行变换得

由此可知：当a≠-1或b≠0时，方程组(*)无解；当a=-1且b=0时，方程组(*)有解，此时方程组为

求得其通解为

其中k1，k2为任意常数．

综上，当且仅当a=-1且b=0时，存在满足条件的矩阵C，且

其中k1，k2为任意常数．

设矩阵E为3阶单位矩阵．23.

求方程组Ax=0的一个基础解系；正确答案：解

对矩阵A作初等行变换

则方程组Ax=0的一个基础解系为

24.

求满足AB=E的所有矩阵B．正确答案：解

对矩阵作初等行变换

记E=(e1，e2，e3)，则

Ax=e1的通解为

Ax=e2的通解为

Ax=e3的通解为

于是，所求矩阵为

设矩阵且方程组Ax=β无解．25.

求a的值；正确答案：解

对矩阵施以初等行变换

由方程组Ax=β无解知，秩，即-a2+2a=0，且a-2≠0，解得a=0．

26.

求方程组ATAx=ATβ的通解．正确答案：解

对矩阵施以初等行变换

所以，方程组ATAx=ATβ的通解

27.

已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．正确答案：解法1

设x=(x1，x2，x3，x4)T，则由

得

x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1+α2+α3+α4，

并将α1=2α2-α3代入上式，整理后得

(2x1+x2-3)α2+(-x1+x3)α3+(x4-1)α4=0．

由于α2，α3，α4线性无关，故有

解之得

或以向量形式表示为

解法2

由于α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3，则r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3，故Ax=0的基础解系中只有1个解向量，而所以(1，-2，1，0)T是Ax=0的一个基础解系，

而所以(1，1，1，1)T是Ax=β的一个特解，于是Ax=β的通解是(1，1，1，1)T+k(1，-2，1，0)T，其中k是任意常数．

28.

已知α1，α2，α3，α4是线性方程组AX=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是AX=0的一个基础解系．正确答案：解

设有常数k1，k2，k3，k4，使

k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0，

即

(k1+tk4)α1+(k2+tk1)α2+(k3+tk2)α3+(k4+tk3)α4=0．

因为α1，α2，α3，α4是方程组AX=0的一个基础解系，从而线性无关，故必有

即

当且仅当

方程组AX=0只有零解，从而β1，β2，β3，β4线性无关．即t≠±1时