函数、不等式恒成立问题完整解法

仅供个人参考函数、不等式成立问题完整法恒成立问题的本类型：类型1设

f(x)ax

2

(a

（1）

f(x)在xR

上恒成立且

）

f(x)在x

上恒成立

a且

。类型2：设

f(x)ax2bx(a0)（1）

当

0

时，

f)在x

上

恒

成

立

b2

a

，

f0

fForpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialusef)在x

上恒成立

ff(（2）当0时，()在x

上恒成立

f0ff)在x

上恒成立

b2

a

f0

f

0类型3：f()切I恒成立f(x)f()切xI恒成(x

minmax

。类型4：f(x)g(x)对一切I恒成立(在(或f(x)

min

x)

max(I恒成一、用一次函数的性质对于一次函数

f(x)kxmn]

有：不得用于商业用途

仅供个人参考()f(x)恒成立f(x)恒成立f(n

f)f)例1若等式

2m(x

2

对足2的有都立求x的范。解析：我们可以用改变主的办法，将m视主变元，即将元不等式化为：m(2(20

令

f(m(x2(2x

，

2

时，f(m)0

恒成立，所以只需

f(f(2)0

即

x02x

，以x的范围是

(

71,)22

。二、利一二函的别式对于一元二次函数

f(xax

2

bx0(a0,x

有：（1）（2）

f(x)在Rf(x)0在R

上恒成立上恒成立

且a且

；例2：不等式

xm0

的解集是R，求m的围。解析：要想应用上面的结，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时元不等式化为恒成立，满足题意；（2）

时，只需

m0

m

，所以，

[1,9)

。三、利函的值或域）（1）

f()

对任意x都立

f(x)

min

m

；（2）

f()

对任意x都立

m

max

。简单计作的于最大的，小的小于最小的此看出本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例3在，已知

f(B4sin

(

4

B)cos,且|f()2

恒成立，求实数m的围。解析：由f()2(

4

B2

)cos2B2sinB0B(0,1]

，不得用于商业用途

4仅供个人参考4f()(1,3]

f(B恒立fB)2

(B)mf()

恒成立，(1,3]例4）求使不等式

asinx,]

恒成立的实数a的围解析：由于函

axx

2

),,]44

，然数最大值

，a

。如果把上题稍微改一点，么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等

asinxcosx,x

(0,)42

恒成立的实数a的范。解析我首先要认真比上面两个例题的区别要在于自变量的取值范围的变化，这样使得

yxcosx

的最大值取不到

a取

也满条

a

2

。所以我对这类题要注意看函数能否取得最值因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数结法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例：已知

a0,af(xx

x

,当x时,有fx

12

恒成立

，实数a的值范围。解析：由

f(x)

1，得x2

12

x

，在同一直角坐标系做两函数的11图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由1及(a22

得到a分别于20.5，作出函数

x

1及)2

x

的图，以要使数

1a2

x

在区间

x

中恒成立，只须

2

在区间

x

对的象在y2

12

在区间

x

对应图象的上面即可。当

只有2

才保，而

0，只有

12

才可以，所以

1a[,1)2

。例6若当P(m,n)为圆

x

2

2

上任意一点时，等式

0

恒成立，则的取值范围是（）不得用于商业用途

22仅供个人参考22A、

2

B、

C、

2

D、

解析

0

看作是点P(m,n)在线

x

的侧P(m,n)在圆

x22上实质相当于是x2y2

在直的侧与相或0相切。|1同步练

c2

，故选D。1设f(x)

1

43

其中aR，如果时，f(x恒有义，求a取值范围分析：如x时，f()有意义，则可转化为1

x

4

x

恒成立即参数分离

14x

x

)，成立接下来可转化为二次函数区间最值求解。解：如果x时，x)恒有意义1

x

4

x

0，对x(恒成立.

14x

x

x

)恒成立。t

，(t

2

1又x(t(t)t(,22113恒成立g(t)t,为减函数(t)g()。2max2、函数是义在(的增函数，如果等式f(1)f(2对于任[0,1]恒立，求数a的值范围分析题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为不得用于商业用途

2

对

仅供个人于任意x[0,1]恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：

f)是增函数f(1

2

f(2)对于任恒成立1

对于任意恒成立x2对于任意x[0,1]恒成立，令g(xx2，x[0,1]问题g()a

min

0),又(x)mig(x)

a4a

易求a3已知当xR，不等式a+cos2x<5-4sinx恒立，实数取值范围。方法一等式中含有两个变ax必须x的范）来求另一变量a的范围考虑将a及分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。解：原不等4sinx+cos2x<-a+5当x时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成-a+5>(4sinx+cos2x)设f(x)=4sinx+cos2xf(x)=

max

则∴-a+5>3方法二）题目中出现sinx及cos2x，cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于的二次不等式从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化为a+1-2sin2

x<5-4sinx,令sinx=t,则不等式a+cos2x<5-4sinx恒成2t

2

-4t+4-a>0,t[-1,1]恒成立。设f(t)=2t

2

-4t+4-a，显然f(x)在[-1，内单调减，f(t)=f(1)=2-a,2-a>0a<2min4

设f(x)=x

2

-2ax+2,当x[-1,+)，都有f(x)成立，求a的取值范。不得用于商业用途

21221仅供个人参考21221分析：f(x)等式中，若a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。解：设F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当（-2a）

-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0时，-2<a<1时，对一切x)，恒成立；ⅱ）（a-1)(a+2)时由图可得以下充要条件：(0

y2

x得-3综上所述：a的取值范围为[-3，1]5当x(1,2)，不等(x-1)x成立，求a的取值围。a分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解的取值范围。解：设T:f(x)=2:()x,则T的图象为右图所示的抛物线，要使对一切1x(1,2),fx)<x)恒成立即T的图象一定1要在T图象所的下方，显然并且必须也2只g(2)故log2>1,a>1,1<aa

y=(x-1)y

yx2ax6、已关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0唯一解，求实数a的取值范围分析方程可化成lg(x

2

+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x

2

+20x=8x-6a-3>0,若将等号两边分别构造函数即二次函数x

2

+20x与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象x上方恒有唯一交点即可。解：令T：y=x2+20x=（x+10）2-100,T：112y=8x-6a-3,则如图所示T图象为一抛物线，212的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使TTx轴上有唯一交点直线必须位于12不得用于商业用途

yl1o

ll2

x

22仅供个人参考22ll间包括l但不包括l)1212当直线为l，直线过点（-20，0此时纵截距为-6a-3=160,a=1

;当直线为l，直线过点（00纵截距为-6a-3=0，2

∴a的范围为[

，7对于满|2的所有实数p,求使等式

2

+px+1>2p+x成立的取值范围分析：在不等式中出现了两个变量：x、并且是给出了p的范围要求的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在-2，2]内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题。解：原不等式可化为(x-1)p+x

2

-2x+1>0,令f(p)=(x-1)p+x

2

-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：yy2x

x方法一：或∴x<-1或x>3.f(2)f((0方法二：即解得：(2)∴x<-1或x>3.

或x不得用于商业用途

仅供个人参考仅供人用于习、究；不用于业用途Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfürdenpersönlichenfürStu