数值第三章数据拟合

数值分析

NumericalAnalysis第三章数据拟合方法郑州大学研究生课程（2013-2014学年第一学期）

ISCM2007,BeijingChina1第三章数据拟合方法

§3.1问题提出§3.2最小二乘法的基本概念§3.3线性拟合方法§3.4非线性曲线的数据拟合

ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis§3.1问题提出离散数据点插值：插值函数精确通过每一个数据点。

ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis两类实际情况:★离散数据点提出来自试验，具有测量误差，要求插值函数通过所有数据点反而会保留测量误差的影响。★

某些情况下需要找出反映变量变化关系的经验函数，而非精确通过关键点的外形控制函数。§3.1问题提出ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis

例3.1.1ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis已知一组数据(xi,yi),y=f(xi)，i=1,2,…,m。f未知。构造插值函数φ(x)来逼近f(x),则有

φ(xi)=f(xi)=yi,i=1,2,…,m或记Q=(φ(x1),φ(x2),…,φ(xm)),Y=(y1,y2,…,ym),则有

Q=Y.

如果数据不能同时满足某个特定函数，而要求所求的逼近函数“最优地”靠近数据点，即向量Q与Y

的误差或距离最小。按Q与Y的误差最小原则作为最优标准所构造出的函数，我们称为拟合函数。§3.1问题提出ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis定义Q与Y

之间的距离：其中，R称为均方误差。

最小二乘法：按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法。§3.1问题提出ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis§3.2最小二乘法的基本概念

构造拟合曲线的两个问题：Q:从哪一类函数族里面选择拟合曲线的形式？A:根据问题的实际背景，选择逼近f(x)的函数族。

ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数据拟合的线性模型

(x)=a11(x)

+······+an

n(x)例如:[1(x)

,···,

n(x)]=[1,x,···,xn-1][1(x)

,···,

n(x)]=[1,cosx,···,cos(n-1)x]§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis

Q：如何确定参数a1,a2,…,an以确定一条拟合曲线呢？A:按照在数据点处均方误差最小的原则。这种用求解误差函数最小值问题来确定拟合参数的方法称为数据拟合的最小二乘法§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis

§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis

@最小二乘法归结为求n个未知数的线性代数方程组。§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis

最小二乘法的正规方程组（其解为驻点）§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis引进矩阵和向量记号

§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis

§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis★徐以上秋正规夺方程业组是划否存红在唯缸一解?★正规驱方程丽组的筒解是割最小持二乘你问题哗的驻句点，轿此驻住点是昂否就矛是最即小二廊乘问蚊题的弓解呢？§3撑.2最小相二乘弄法的基旧本概魔念IS效CM西2执00吗7,宫Be锦ij满in循g统Ch啊in近a/4沈1郑州马大学鸽研究坏生20仙13狐-2禾01狭4学年葵课程数值填分析Nu固me惭ri起ca蔬l撤An会al腾ys仪is可以械证明,此解社是最小叶二乘啦问题听的解.§3键.2最小庆二乘束法的基真本概卫念IS西CM饼2国00俩7,得Be进ij挨in董g窗Ch托in掩a/4礼1郑州唉大学伤研究舱生20送13葵-2膨01附4学年由课程数值征分析Nu事me始ri浇ca朵l盼An认al币ys沙is定理3.贩2.治2§3蕉.2最小阳二乘岭法的基椒本概紧念IS止CM葬2仰00秘7,什Be要ij渔in龙g乌Ch救in游a/4熄1郑州绸大学垒研究哥生20平13遮-2娃01栏4学年繁课程数值晃分析Nu柄me芬ri宣ca夕l柏An飘al核ys啊is§3薯.3线性麦数据拴拟合趟方法已知神数据枪表

x

x1

x2··········xmf(x)y1

y2··········ym求拟合函数:(x)具=a科+签b父xa+bx1=y1a+bx2=y2··················a+bxm=ym超定方程摆组IS说CM晓2累00时7,田Be冻ij永in垂g廊Ch瓦in戴a/4蜓1郑州未大学乌研究火生20当13抵-2韵01等4学年蹦课程数值信分析Nu倍me累ri技ca杜l踪蝶An覆al拴ys汉is2-范数碗平方残差:rk=(a+跃bxk)混–yk(k浙=1,蛙2,灾··季·,m)§3藏.3线性膝数据痕拟合捉方法IS号CM某2讲00输7,粒Be治ij渐in映g掀Ch调in恼a/4淘1郑州普大学算研究肤生20晒13驶-2归01滑4学年醋课程数值掏分析Nu爱me蹈ri粱ca需l扶An疯al占ys复is求a,b使S(a,b)=min§3斧.3线性围数据金拟合耻方法IS召CM柔2删00柔7,辛Be门ij淘in叛g蛮Ch衬in文a/4榜1郑州译大学筋研究到生20挤13汉-2附01建4学年茂课程数值花分析Nu樱me尖ri两ca惜l狗An按al滨ys衰is§3吐.3线性固数据菊拟合壁方法IS梯CM灵2型00顺7,虚Be戚ij董in丘g吵Ch腹in趟a/4障1郑州弃大学初研究策生20取13惑-2川01犯4学年帽课程数值级分析Nu雕me哈ri刚ca题l阔An件al卡ys帜is方程呆组系数您矩阵方程隶组右端寄项§3卧.3线性忙数据司拟合躲方法IS若CM乒2删00策7,吩Be萄ij兼in侍g赞Ch趟in换a/4须1郑州唐大学稀研究抽生20冻13弟-2宜01疏4学年绢课程数值股分析Nu叼me站ri财ca衫l务An排al韵ys故is超定叠方程非组:AX续=正规讲方程林组:ATAX疗=AT拟合温曲线聋的法方谢程(正规该方程弦组)。解之劝得a，b。塘代入(x)=a+b焰x,即得肥所求糊的拟老合曲誉线。§3羞.3线性堤数据窜拟合刺方法IS肥CM客2浇00艰7,却Be污ij居in强g汽Ch首in厦a/4榴1郑州矛大学妨研究密生20伞13萌-2恢01灾4学年阀课程数值赛分析Nu殿me牵ri船ca迁l挣An氏al皮ys燃is例3.薪3.忧1已知汁实验攀数据爆如下,求线伤性拟闸合函佳数。解:设拟合曲线订方程孩为(x)=a稿+址b乎x

x 1 2 3 45f(x)4 4.5 6 8 9§3兔.3线性密数据证拟合腔方法IS蜜CM箩2串00筹7,春Be沈ij某in屯g对Ch乏in祝a/4顶1郑州狐大学酒研究错生20普13肚-2剪01绪4学年趁课程数值就分析Nu广me愁ri漂ca终l文An渣al帮ys棉is5a+命15b阻=31笋.515a盟+55b简=10旦8a辈=2.傻25队,b=1.鉴35ATAX辜=AT§3隆.3线性椅数据耀拟合兼方法IS秧CM围2垫00滤7,牵Be逮ij棋in下g乎Ch姓in早a/4忌1郑州闯大学氧研究汤生20陈13催-2舍01暂4学年悉课程数值距分析Nu咱me什ri旗ca蹄l取An铲al曲ys侍is||r||2=冈0.丙75苍83残差壤向量:(1矩)－4=－0.狠40(2惜)－4.愤5=0.剖45(3虾)－6=0.凑30(4弱)－8=－0.握35(5墓)－9=0(x)=湾2庆.2欺5+穴1.拌35x§3失.3线性汪数据辣拟合录方法IS私CM亿2可00虚7,杀Be储ij品in涝g女Ch故in肢a/4闷1郑州告大学裙研究洪生20锋13传-2匠01既4学年受课程数值腹分析Nu搜me仅ri就ca咸l畜An漂al线ys容is例3.锣3.材2求数扣据的倒二次痛拟合驶函数P(x)=a0+a1x+a2x2x12345f(x)

44.5689

解:将数划据点葱代入,得§3灾.3线性爱数据搞拟合时方法IS傻CM贯2笋00散7,玩Be瓶ij慈in猴g毯Ch邮in作a/4社1郑州僚大学赢研究抢生20风13浅-2沈01赖4学年越课程数值超分析Nu运me璃ri茶ca个l斥An映al蜓ys筹isa0+a1+a2=4a0+2a1+4a2=4.5··················a0+5a1+25a2=9§3丛.3线性喜数据斗拟合翅方法IS响CM赔2滋00贵7,夺Be音ij的in敞g魔Ch校in公a/4并1郑州标大学皇研究揉生20度13录-2象01马4学年碰课程数值节分析Nu躲me驻ri帖ca沿l茎An遥al捧ys班isa0=3闸,a1=0横.7鼻07轰1,a2=0贪.1够07卫1§3帝.3线性眨数据觉拟合尊方法IS糟CM暖2换00尼7,待Be风ij想in麦g存Ch派in眼a/4仆1郑州其大学哑研究虚生20蜜13填-2构01趁4学年腰课程数值哨分析Nu拢me月ri友ca版l述An善al窑ys耽is得P(x)=顽3+荒0.镜70宇71x+隔0.送10宏71x2二次脸拟合龙误差:||r||2=烦0.末64设37比较竖线性特拟合俘误差:||r||2=辛0.袋75言83§3梦.3线性着数据肿拟合斧方法IS棍CM崭2捡00椒7,著Be烂ij凭in陈g呢Ch惨in择a/4听1郑州菌大学添研究不生20叼13食-2莲01羽4学年虚课程数值渗分析Nu屑me和ri颗ca亮l辈An往al眯ys吹is§3均.3线性这数据例拟合狂方法x0振=0愚:0杏.1排:1公;y竟0=垄(x邮0.都^2节-3兆*x手0+适5)露.*窑ex医p(咸-5界*x悠0)票.*榴si吩n(社x0录);p3剩=p臭ol面yf泳it脸(x饭0,稍y0间,3情);vp搭a(粗po王ly瞧2s词ym邪(p桂3)辰,1扔0)x=胶0:熔0.齐01细:1胀;y表a=购(x父.^宫2-象3*遗x+说5)炎.*久ex樱p(晨-5种*x撑).圈*si术n(匹x);y1取=p追ol烈yv蚂al丽(p臭3,瓦x)巴;su摆bp碎lo删t(约2,奏1,拌1)花,p众lo灵t(劈燕x,杰y1膜,x夏,y敞a,洋x0拨,y语0,邻'o睁')达,l伞eg剩en斤d(肝'三次急拟合兵曲线',嫩'原函朝数曲盏线',联'样本秆点')p4盟=p彼ol肆yf巾it箱(x量0,汇y0现,4捏);港y腔4=芹po蓝ly权va价l(鞭p4灾,x责);p5剃=p亦ol哀yf懒it涂(x员0,妨y0满,5演);腰y在5=际po工ly阵va纱l(忽p5切,x绳);p8叙=p挖ol甚yf店it闭(x犬0,味y0喷,8低);镰y拼8=粪po墨ly脂va民l(鸭p8菠,x兄);su羞bp膜lo树t(逼2,诊1,础2)够,p数lo杀t(就x,期y4安,'测x'绞,x捧,y央5,看'-余',阻x,萍y8耗,'礼:'窗,x辜,y门a,闹'-界')le敞ge演nd呼('四次扩拟合耽曲线',旬'五次峡拟合链曲线',圈'八次降拟合本曲线',穷'原函竞数曲领线')vp上a(画po脉ly幼2s悦ym槽(p溉8)恋,5壮)IS薪CM棉2畜00渗7,压Be辜ij泽in待g造Ch馅in叛a/4洒1郑州往大学器研究画生20抄13海-2葵01幕4学年杠课程数值拿分析Nu锦me漆ri端ca队l陈An射al咐ys沟is§3达.3线性跌数据别拟合傲方法IS校CM猪2伍00逢7,斧Be编ij糊in粪g兆Ch棉in绝a/4忍1郑州帮大学跳研究赞生20考13槐-2法01多4学年弹课程数值极分析Nu钞me剖ri往ca飘l麦An舟al碗ys将is§3弃.4非线醉性曲斤线的煮数据号拟合问题块提出夕：离嗓散点逐图呈扁非线让性。IS互CM联2寻00浸7,走Be鉴ij乔in改g茫Ch债in更a/4存1郑州苗大学束研究持生20骆13年-2暮01贺4学年球课程数值伟分析Nu搂me典ri榴ca以l坦An输al籍ys候is如果鸦非线愤性函填数为峡将给忌定数办据(xi,yi)转换顿为(ui,vi),求出a,b,再代更回原雹变量y,x，可旗求得紫原非灵线性箱拟合羡曲线示。§3光.4非线价性曲积线的继数据剖拟合IS倍CM志2投00歇7,称Be避ij拉in睡g寺Ch协in敞a/4堂1郑州误大学脂研究味生20悼13指-2委01恩4学年躁课程数值家分析Nu障me蓄ri已ca共l厌An泼al炭ys守is例3.萄4.渡1用给熄数据块求经蜜验公锯式：y=aebxx1袭2乳3跪4蜘5凉6借7伟8y15览.3摘20倒.5露27副.4照36照.6般49描.1顾65编.6狱87混.8爷11尽7.湿6解线性伶化。亿对经馒验公兰式取茄自然夕对数lny=lna+bx令u=lny，b0=lna，u=虚b0+b荷x代入次数据狭得矛瞧盾方离程组§3揪.4非线孝性曲膨线的吊数据北拟合IS档CM荒2禾00状7,寻Be醋ij酸in懒g犬Ch橡in族a/4僚1郑州木大学五研究芹生20字13忽-2毅01疑4学年素课程数值床分析Nu浙me险ri筐ca芳l某An脏al偷ys弱is由法乳方程ATAB室=ATy，B=（b0,b),即∴a=始e2.迹43消69=1粱1.温43赏75飞.y=1浓1.润43质75绸e0.皆29缘瑞12x.IS膝CM至2效00火7,台Be野ij烤in塌g杠Ch锻in柜a/4澡1郑州剖大学歌研究芹生20郑13忙-2刺01刷4学年泰课程数值琴分析Nu负me貌ri两ca像l块An脚al授ys浩is拟合拘曲线龄的均喂方误疲差为榴：拟合牢曲线娃的图丽形为§3源.4非线拉性曲暑线的疑数据肾拟合IS维CM鸽2涝00础7,约Be监ij依in秩g刘Ch常in梯a/4裹1郑州扣大学阶研究贺生20霉13保-2达01料4学年乓课程数值平分析Nu程me戴ri妨ca俊l击An盼al舟ys擦is§3稍.4非线守性曲梦线的对数据稳拟合例3.波4.蚁2IS昌CM帅2咐00蹄7,管Be椅ij京in握g驴Ch品in兽a/4产1郑州嫂大学预研究隙生20表13继-2佛01每4学年焦课程数值卵分