高中数学必修五考点和典型例题

2222222222必五解角例、ABC中求证：（）

2

sinAsincsinC

2

B

;（）a+b=2（bccosA+cacosB+abcosC）2、用正余定理测量和何计算关的实际问★例、某点B处测得建筑物AE的顶端A仰角为，沿BE向前进30m，至点C处测得顶端的仰为2再继前进10至D点测得顶端的角为4求大小和建筑物AE的高

nnnn第二章

数列

.★例2、等数列

n

n

项和分别为

n

和

Tn

，若对一切正整数

都有S3an，求11的值.T2nbn分：由、的项公式可求得a、b的通项公式，利用等差数列前n项公式nn的特点先假设公式的形式.解一令

n2)nnn

2

nTnnn

2

则

nn

*时，有

nn

n

bnnn

4n

，所以

a66111.b44311解二

a2a21(a)2311112121.bb)TT2431111121★例、

n

列

n

为数列

n

项和已知

7

，15

75

Tn为数列

的前n项和，求T．n分：题设条件，不难求出

和

，从而可得

n

，再进一步探求n

，看能否与等差或等比数列沟通．解设等差数列

n

d，1Snan(d2由

7

，

15

75

，得a即da

解得

a

，

n11n11S1n(n(nn2

nnn

数列

Sn

是首项为，差为的差数列，故

19n44

．3、体的问情境中识别列的等关系或等比系，并用有关知识决相应的问.★例、若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上小麦，若同时投入工作至收割完毕需用24小时；但它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每台投入工作都一直工作到小麦收割完毕果第一台收割时间是最后一台的5倍用种方法收割完这片土地上的小麦需用多少时间．分：些联合收割机投入工作的时间组成一个等差数列所规定的方法收割需要的时间等于第一台收割机所需的时间，即求数列的首项解设从每台投工作起台割机工作的时间依次，，„小时．23n依题意，是一个等差数列，且每台收割机每时的工作效率为,(1)1a2nn

124

，则有由（2

241

，即

n)242

，亦即

481

（3由（1

故用这种方法收割完这片土地上的全部小麦共需40小．★★例2从满a升）酒精的容器里倒出1升然后填满水再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．问第

次操作后溶液的浓度是多少？若

，至少应倒几次后才能使酒精浓度低于1

？分：这一道数学应用题．解决应用问题的关键是建立数学模型使实际问题数学化．注意到开始浓度为，作一次后溶液浓度是

a

1a

操二次后溶液浓度是11a(1)，„作后溶液浓度是)aa

则不难发现，每操作后溶液浓度构成等比数列由便建立数列模型解决数列问题便可能达到解决实际问题之目

11的．解设每次操作后溶液浓度为数列

n

即求数列的通项

f(n)n

．依题意，知原浓度为，

a

11，a(1)，„(1)aa

．n

1a，比a

的等比数列，所以，

aqn1

n

111))aaa

，故第

次操作后酒精浓度是

)

11当a时由a)n2

，得因此，至少应操作4次，才能使酒精浓度低．第二章等式及其解法一考列、不等式的关系及其性质、一元二次不等式的解法、二元一次不等式组与简单线性规划、基本不等式二常题1、了解现实世界日常生中的等关系会利用不等的性质明不等式★★例1

已知a，b，c∈R

+

，求证：a

3+b

3

+c

≥3abc．【分析】

用求差比较法证明．证明：a

3

+b

3

+c

3-3abc=[(a+b)

3

+c

3

]-3a

2b-3ab

2

-3abc=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[a2+b+c2-ab-bc-ca]∵a，b，c∈R+，∴a+b+c＞0．(c-a)]2≥

即a3+b+c3-3abc≥0，∴a3+b3+c≥3abc．★★例2

已知a，b∈R

+

，求证a

ab

b

≥a

b

b

a

．【分析】

采用求商比较法证明．证明：∵a，b∈R

+

，∴a

b

b

a＞0★★★3已知a、b、是不全等的正数，求证：a(b

2

+c

2

)+b(c

2+a

2

)+c(a

2+b

)＞6abc．【分析】

采用综合法证明，利用性质a

2+b

2≥2ab．证明：∵b

2

+c

2

≥2bc，a＞0，∴a(b

2+c

2

)≥2abc．①同理b(c22)≥2abc②c(a

2

+b

2

)≥2abc③∵a，b，c不全相等，∴①，②，③中至少有一个式子不能取“=”号∴①+②+③，得

2

+c

2

)+b(c

2

+a

2

)+c(a

2

+b

2)＞6abc．综上所述，当a＞0，b＞0，必有a

ab

b

≥a

bb

a

．2、过函数像了解一元次不等与相应的二函数、元二次方程联系

★例1不式

x2202(mx

的解集为

R

求实数

m

的取值范围解：

x立2(m当

m

时，

并不恒成立；当

m

时，则

mm2m(9得11m,或2

12★例2若函数

f(x)(x

ax

且

的值域为R，求实数a的值范围解：令

ux

ax

，则

须取遍所有的正实数，即

min

，而

a2且amina(0,1)

例3、解不等式：(

1x

6)解：

1x

1,当时xxx

；当

x

时，

1x

22)

★

、会从实际境中抽出一些简单二元线规划问题，能加以决例1（1）求

zxy

的最大值，使式中的

x

、

满足约束条件

yx,xy

y（2求

的最大值，使式中的

x

、

满足约束条件

x216解）出行域

Z

m

）令

xx

y'

，则

(')2y')，直线x和()2y')

相切时z116，

★例、订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%，能的最大亏损率分别30%10%投资人计划投资金额不超过10万元要求确保可能的资金亏损不超过1.8万问投资人对甲两项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？解：设分别向甲、乙两项目投资x万，万元由题意知（）y10y1.8x0

（）

M（4,6）y0目标函数

z0.5y

O

（）

（）x作出可行域，作直线

l:xy

，并作平行于直线

l

的一组直线

xy

，z

，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上M，且与直线

x0.5

的距离最大里M点直线

xy10

y10和0.3x+0.1y=1.8的交方组0.1y1.8解得x=4,y=6，时×4+0.5×6=7万元）∵7>0∴当、y=6时z取得最大值。答：投资人用万投甲项目6万投资乙项目，才能在确保亏损不超过万元的前提下，使可能的盈利最大。4、用基本等式解决简的最大小）值问题★

x

，则函数

1yx)2x

在

x

时，有最小值解：

11x或x(x)yx)xx

2

★列各函数中，最小值为2的A

yx

11Byx，(0,)xx2C

y

xx

D

yxx解：D

对于A：不能保证x0，对于B：不能保证

sin

1sin

，对于C：不能保证

x

2

1x

，

22对于D：

y

13x★例3如

xy

则

x

的最大值是)AC