2.9 函数模型及其综合应用年3年模拟北京高考

12.9

函数模型及其综合应五年高考考

函的际应1天5分知数

f(xx(1||).

设关于x的等式

f(x)f(x)

的解集为A若1[,],2

则实数a的值范围是()A

1315B,0).(,0)(0,)D222

)2北，分）棵果树前年的产量。与之间的关系如图所示，从目前记录的果看，前m年的年平均产量最高，m的为(ACD.113湖．16,5分）设函

f)

x

x

x,

其中

cac(1)记集合

M{(ab,)1ab,

不能构成一个三角形的三条边长，且，则

(ab)M

所对应的f(x)

的零点的取值集合为(2)若，，是△的条长，则下列结论正确的是出有正确结论的序）①(f)②R,

使

xxxc

不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则

(1,2),

使

f(0.42013课标全国I．，）设函数

f()x

2

axg()(cx).

若曲线

y()

和曲线

yg()

都过点P(O，，且在点P处相同的切线

yx2.(1)求，，，的；(2)若

x

时，

f(xkg(x

求k的值范围．52012江苏17，14分如，建立平面直角坐标系xOyx轴地平面上，轴直于地平面，单位长度为千米某炮位于坐标原，已知炮弹发射后的轨迹在方程

ykx

120

(1)x

表示的曲线上，其中k与发方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；

2(2)设在第一象限有一飞行物（略其大小飞高度为千，试问它的横坐标a不过少时，炮弹可以击中它？请说明理由．6上．分海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以北方向为y轴方向建立平面直角坐系（以1海为单位长度救船恰好在失事船正南方向海里A处图现假设①失事船移动路径可视为抛物线

y

1249

x;

②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时，失事船所在位置的横坐标为．(1)当t=0.5时写出失事船所位置P纵坐标此时两船恰好会合救船速度的大小和向；(2)问救援船的时速至少是多少里才能追上失事船？智力背景上帝之数——神的完美数

所谓的上帝之数就是这样的一些完美数的有的真因包括1，但是不包括本身）之和正好等于这个数本身．例如：

3;6且

6和28是最小的两个完美数，在古希腊就已经被发现了，由于6是时传说中上帝创造世界所用的天数，而28是亮绕地球一周所需的天数，这使得完美数充满了神秘的色彩，现在以我们人类的认知水平还无法揭开这些数的神秘面纱，7湖．分提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情下，大桥上的车流速度”（单位：千米／小时）是车流密（位：辆／千米）的函数．当桥上的车流度达到200辆千米时，造成堵塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆千米时，车流速为60千／小时．研究表明：当

2x

时，车流速度w是车密度x的次函数．(1)当

0

时，求函数v(x)的表达式；(2)当车密度x为多时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆／小时f(x)x)

可以达到最大，并求出最大值到1辆／小时）8江，17，分请设计一个包装盒，如图所示AB-CD是长为60cm的方形硬片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，，四点重合于图的点P，正好形成一个正四棱柱形的包装.，F在AB上是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设

FBx(cm)

3(1)某广告商要求包装盒的侧面

s(cm

2

)

最大，试问x应何值？(2)某厂商要求包装盒的容积

3)

最大，试问x应何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解读探究考点

内容

命题规律

命题趋势1．考查内容：2013年国各省市对函数的实际应用1趋势分析命题多以二次(1)了指数函数、对数函数以考共计3．如2013天，．

函数、指数函数、分段函数及幂函数的增长特征道直2题型赋分：2013年考试题对该部分内容的考查为模型查学生处理问题、上升指数增长对数增长等以解答题为主．题目分值在2分左右．

建立函数模型的能力，为高函数的

同函数类型增长的含义．

3．能力层级：2013年考试题对该部分内容的要求考热点．实际应用(2)了函数模如指数函根实际问题建立数学模型，然后综合应用函数知识．备考指南考时应认对数函数幂函数分段函数解决问题，多属中等难度题或难题．

真掌握三种增长型函数模型在社会生活中普遍使用的函数4考查形式：2013年高试题对该部分内容的考查的图象和性质，增强根据实模型）的广泛应用．

式多是能建立分段函数后应用函数性（或使用际问题建立数学模型的意数）解决相关求值问题．

识，提高综合分析、解决问题的能力．知识清单1种增长型函数模型的图象性质浆

y

2

ylogyxa

2(a>1)

(a>1)(a>O)在+∞)上①增减性增长速度④

②③⑤

相对平稳随x大逐渐表现随*大逐渐表现a变化而图象的变为与⑥

为与⑦____平行不同化

行．三增型数间长度比(1)指数函数

yaa

与幂函数

y

在区间

(0,

上，无α比a大多少，尽管在x的一范围内

会小于

x

但由于

y

x

的增长度

4⑧

yx

的增长速度，因而总存在一个

x,0

当

x

0

时有⑨对函数

ylogxaa

与幂函数

y

不论a与值大小如何，对数函数ylogxaa

的增长速度总会⑩

yx

的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x,0

使

x

0

时有由1)(2)可以看出三种增长型的数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在

(0,

上，总会存在一个x,使xx0

0

时有智力背景不可能的三接棍许图案和例，一旦熟悉起来便觉得想当然．在1958年英国的《心理学杂》上R．朋罗斯发表了他的不可能三接棍，他称之为立体的矩形构造：三个直角显示出垂直，但它是不可能存在于空间的．这里三个直角似乎形成一个三角形，但三角形是一个平面而非立体的图形，的三个角的和为

o,

而非

270【知识拓展】1．函数的应用是数学应用问题主要类型之一，教材中介绍了函数知识在增长率、物理等方面的应用，首先要深刻理解、准确把握题目中的概念和公式，把以上类型摘清搞懂，由此初步掌握解函数应用问题的基本方法，为逐步提高解答应用问题的能力打下良好的基础．2．解函数应用题关键是建立数学模型，要顺利地建立数学模型，重点要过好三关：(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系．(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学型，完成由实际问题向数学问题的转化．3．学习过程中要注意从数学的度理解、分析、研究、把握问题，先独立尝试，后对比验证，特别要强调开展自主的、独立的探讨活动，这样才有利于培养阅读理解、分析和解决实际问题的能，有助于提高对数学思想方法的认识，有利于培养数学意识，·识单案突破方法方

函模的用函应的本程

5例（河南安阳二模．18，）某厂生产某种产品的年固定成本为250万，每生产x千，需另投入成本为C(x)万元，当年产量不足80千件时，

C()

13

x2

（万元年量不少于80千件时，

C()51

10000x

（万元过场分析，若每件售价为00元时，该厂年内生产该商品能全部销售完．(1)写出年利润L（万元）关于产量（千件）的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解思解析(1)当

x80,x*

时，()

5002100003

f3

x

2

250;当

xxN*

时，（分()

x510x

2501200

10000x

),

（分xx250(0xN)x)(*)x(2)当

x80,x*

时，（分1()(x3

2

．当x=60时，

(x)

取得最大值

(60)950.

（分）当

xxN*

时，

61000010000()1200)1200x.xx2001000,∴当

x

10000x

,时，(x)

取得最大值

1000

(11分综上所述，当x100时，(x)

取得最大值1000，年产量为100千件，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．12分）【方法点拨】求函数应用题一般方法：“数学建模”是解决数学应用题的重要方法，解应用题的一般程序：智力背景懂得数学，一辈子受用不尽人们用最美的词句赞荑数学：“自然科学的皇后”、“皇冠”、“珠”、“稀世珍宝”、“巍峨的阶梯”、“金碧辉煌的宫殿”、“人造宇宙”等，这些一点儿也不夸．数学原本就是培养思考力最好的方法使厌数学的人能透过“头脑体操”让自己拥有数学式的逻思考；数学能让人排除不必要的杂物，看透事物本质，并得到解决问题的启示．会数学，不仅等于拥万种知识的钥匙，也能透过数学来探索人生的其他可能性，三年模拟A2011-2013年模：45分值一、选择题（共5分1山临汾一模11）家具的标价为元，若降价以九折出售（即优惠1％可利10%（相对进货价该具的进价是(A．元B.105元C.106D.108元二、解答题（共35分2山东德州一模18）家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资1万时两类产品的收益分别为0.125万元万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有万元资金，全部于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？

732012山东城5月拟．19某村计划建造一个室内面积为

的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留Im宽的道，沿前侧内墙保留3m宽的地，当矩形温室的左后两边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？42012河鹤壁二模．17）食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测，人为地调控每天产品的单价P(元件：10天每天单价呈直线下降趋势（第10天免赠送品尝10天呈直线上升，其中4天单价记录如下表：时间（将第x记为x）101118x单价(／件P9O18而这20天相的销售量Q（百件／天）与时间应的(x，在如图所示的半圆上．(1)写出每天销售收入y（元）时间（天）的函数；(2)在这20天中一天销售收入最高？此时单价P为多少元为好？（结果精确到1元）智力背景隐藏予大自然中的“对称”对称的事物是荧的，它广泛存在于大自然中：1．斑马的条纹以它的身体为基形成左右对称．2．仿蛱蝶的翅膀上的图案是对射变换对称．3．雪的结晶，为对60度倍角转变换对称．4．星龟甲壳上的六角形图案，对旋转变换对称，B组2011-2013年模拟探究专项提升测试时间：分钟分值：35分一、填空题（每题5分，10分12013河焦作4月，14）商人购货，进价已按原价a去25%.他希望对货物定一新价，便按新价让利20％销售仍可获得售25%的润此商人经营这种货物的件数x与新价让利总额y之间的函数关系式为．2浙江余杭一模13）汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每客车营运的总利润y（单位：10万元与营运年数年，其营运的年平均利润最大，

x(N*)

为二次函数关系，如图所示，则每辆客车营运二、解答题（共25分

83福宁德5月18）一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放(1且)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（／升）随着时间x（分钟）化的函数关系式近似为

y(),其fx)

x4),x(414).

若多次投放一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的度不低于4（克／升）时，它才能起有效去污的作用．(1)若只投放一次k个单的洗衣液，两分钟时水中洗衣液的浓度为3（克／升的值(2)若只投放一次4个单的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？4天津十校联考5月18某居民自来水收费标准如下每户每月用水不超过4吨每为1.80