第02讲空间向量基本定理（5大考点8种解题方法）（原卷版）

第02讲空间向量基本定理（5大考点8种解题方法）考点考点考向一、空间向量基本定理如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中，空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底.此时，a，b，c都称为基向量；如果p=xa+yb+zc，则称xa+yb+zc为p在基底{a，b，c}下的分解式.二、空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.三、用空间向量基本定理解决相关的几何问题1.用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立技巧方法技巧方法1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的.2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示.3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.4.正交基底的三个向量共起点.考点考点精讲考点一：空间向量基底概念及辨析一、单选题1．（2022·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，二、判断题3．（2022·全国·高二课时练习）已知向量是空间的一组基，则向量也是空间的一组基；()三、解答题4．（2022·全国·高二课时练习）空间向量，，不共面是否可以推出其中任意两个向量均不平行？5．（2022·全国·高二课时练习）已知向量、、可以构成空间向量的一组基底，则这三个向量中哪一个向量可以与向量和向量构成空间向量的另一组基底？考点二：用空间基底表示向量一、单选题1．（2022·福建·柘荣县第一中学高二期中）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．2．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（

）A． B． C． D．3．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（

）A． B．=C．= D．=4．（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（

）A． B．C． D．5．（2022·江苏南通·高二期中）如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（

）A． B． C． D．二、多选题6．（2022·广东广州·高二期末）如图，在长方体中，、、分别是棱、、上的点，且满足，，，则（

）A． B．C． D．三、解答题7．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长．考点三：用空间向量基本定理及其应用1.已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，且，，，则的值为()A． B． C． D．2.如图，已知空间四边形，其对角线为分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（）A．B．C．D．3.下列关于空间向量的命题中，正确的有______.①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；②若非零向量，，满足，，则有；③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底.4.已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若x，则x+y+z=_____.5.如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知，，，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底表示向量.考点四：空间三向量共面或四点共面1.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面.2.已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.（1）判断，，三个向量是否共面；（2）判断点是否在平面内.考点五：利用空间向量基本定理解决几种常见问题题型一：平行问题1.已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点.（1）求证：，，，四点共面；（2）求证：平面；（3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有.题型二：垂直问题2.在所有棱长均为2的三棱柱中，，求证：（1）；（2）平面.题型三：夹角问题3.已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.（1）证明：；（2）求异面直线与夹角的余弦值.题型四：求长度4.如图，在平行六面体中，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点P在线段BC上，且，记.（1）试用表示；（2）求模.巩固巩固提升一、单选题1．（2021·辽宁高二期中）已知，如图，在平行六面体中，，则用向量可表示向量为（）A． B．C． D．2．（2020·朝阳市第一高级中学高二期中）在平行六面体中与交于点则（）A． B．C． D．3．（2020·安徽淮北·高二期中（理））设，，是不共面的三个单位向量，则下列向量组不能作为空间的基底的一组是（）A． B．C． D．4．（2021·江西丰城九中（理））如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A． B．C． D．5．（2020·苏州外国语学校高二期中）在平形六面体，其中，，，，，则的长为（）A． B． C． D．二、多选题6．（2019·山东济南一中高二期中）已知平行六面体，则下列四式中其中正确的有（）A． B．C． D．7．（2020·河北省晋州市第二中学高二期中）有以下命题：①如果向量，与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么，的关系是不共线；②，，，为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，则点，，，一定共面；③已知向量，，是空间的一个基底，则向量，，也是空间的一个基底.其中正确的命题是（）A．② B．① C．③ D．①②③8．（2020·南平市第八中学高二期中）给出下列命题，其中错误的有（）A．若空间向量、、，满足，，则B．若空间向量、、，满足，，则C．在空间中，一个基底就是一个基向量D．任意三个不共线的向量都可以构成空间的一个基底9．（2020·江苏常州高级中学高二期中）下列条件中，使点P与A，B，C三点一定共面的是（）A． B．C． D．10．（2020·朝阳市第一高级中学高二期中）下列说法正确的是（）A．若为空间的一组基底，则三点共线B．若为四棱柱，则C．若则四点共面D．若为正四面体为的重心，则三、填空题11．（2019·海南中学高二期中）若，则直线与平面的位置关系为____．12．（2020·黑龙江双鸭山一中高二期中（理））在正方体中，给出以下向量表达式：①；②；③；④.其中能够化简为向量的是______________（填序号）.13．（2020·珠海市第二中学高二期中）如下图，四棱锥中，四边形为平行四边形，与交于点，点为上一点，，，，，用基底表示向量_______.14．（2020·天津南开中学高二期中）在正四面体中，是上的点，且，是的中点，若，则的值为__________．15．（2020·山东省淄博第四中学）正三棱柱中，，，为棱的中点，则异面直线与成角的大小为_______．16．（2020·唐山市第十一中学高二期中）如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是__________．17．（2019·江苏高二期中）已知四棱柱的底面是矩形，底面边长和侧棱长均为2，，则对角线的长为________.18．（2019·邢台市第八中学）如图，已知平面平面，，，，，，，，且，，，则_________________.19．（2020·浙江镇海中学高二期中）空间向量，，，，，，且，，若点P满足，且，，，，则动点P的轨迹所形成的空间区域的体积为__________.四、解答题20．（2020·山东省济南回民中学高二期中）如图所示，在三棱锥中，两两垂直，且，E为的中点．（1）证明：；（2）求直线与所成角的余弦值．21．（2019·吉林扶余市第一中学高二期中（理））如图，在正四棱柱中，为棱的中点，，.（1）若，求；（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系﹐写出，，，的坐标，并求异面直线与所成角的余弦值.22．（2021·福建省厦