中考数学高频考点突破-圆的切线的证明

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学高频考点突破——圆的切线的证明1．如图，在等腰三角形中，，是上任意一点，以为圆心，为半径作，分别交、于点、，过点作，垂足为．(1)判断直线与的位置关系并证明．(2)若，，，求的半径．2．如图，在中，，以为直径的与边分别交于D，E两点，过点D作于点H．(1)与的位置关系为__________，并证明你的结论．(2)若，，请你直接写出__________．3．如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线的一点，交的延长线于，于，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．4．如图，在中，，以点A为圆心作与相切于D，交于点F，在上取点E，使，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，求点C到的距离．5．如图，，分别是的直径和弦，半径于点．过点作的切线与的延长线交于点，，的延长线交于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积．6．如图，内接于，是上一点．过点作，交的延长线于点．连接、，．(1)求证：；(2)求证：是的切线；(3)若，，，则的半径为______．7．如图，是四边形的外接圆，直径为，过点作，交的延长线于点，平分．(1)如图，若是的直径，求证：与的相切；(2)若是的直径，，求的度数．(3)如图，若，求的最大值．8．如图，是的弦，D为半径的中点，过点D作交弦于点E，交于点F，且，连接，．(1)求证：是的切线；(2)求的度数；(3)如果的半径为，，求的长．9．如图，是的直径，是弦，点E在圆外，于D，交于点F，连接，，，．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)设的面积为，的面积为，若，则.10．如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA=PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．(1)求证：MC是⊙O的切线；(2)若AB=20，BC=16，连接PC，求PC的长；(3)试探究AC、BC与PC之间的数量关系，并说明理由．11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，⊙O是△BEF的外接圆，交AB于点F，圆心O在AB上．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；(3)求证：CD＝HF．12．如图，是以为直径的的内接三角形，平分交于点．连接，，延长至点，使得．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)当，时，的面积．13．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点P．(1)求证：EP与⊙O相切；(2)连结BD，求证：AD·DP＝BD·AP(3)若AB＝6，AD＝，求DP的长．14．如图，四边形ABCD为⊙O的圆内接四边形，AC=AD，点B为的中点，点E为AC上一点，且，F为直径AG的延长线上一点，且∠FDG=∠FAD．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠BCA=55°，∠BAC=15°，求∠F的度数；(3)若AC=AD=a，求的最大值（用含a的式子表示）．15．如图，在中，，平分交于点D，点O是上的一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．(1)求证：是的切线；(2)若，．①求的长；②求弧的长．（结果保留）16．如图，内接于，AD平分交BC边于点E，交于点D，过点A作于点F，设的半径为3，．（1）过点D作直线MN//BC，求证：是的切线；（2）求的值；（3）设，求的值（用含的代数式表示）．17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，连接BD，∠BDE=∠A，⊙O的半径r=．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若，求线段CD的长；（3）过点D作DH⊥BC于H，直接写出DB-DH的最大值．18．如图，在Rt△AOD中，∠AOD＝90°，以点O为圆心、OA为半径作⊙O．延长AD、OD，分别交⊙O于点C、E，点B是OD延长线上一点，且有BC＝BD．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠OAD＝30°，CD＝，求弧CE长．（3）若OD＝3，DE＝1，求BE．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)直线是的切线，证明见解析(2)2【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质，证明，得出，根据平行线的性质，得出，根据，得出，即可证明结论；（2）连接，证明，得出，设的半径为x，则，，根据，得出，列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可得出答案．【解析】（1）证明：连接，如图所示：∵在中，，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∵于点，∴，∴，∴，∵是的半径，∴直线是的切线．（2）解：连接，如图所示：∵是的直径，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，设的半径为x，则，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴，解得：或（舍去），经检验，是原方程的根，∴的半径为2．【点评】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本性质和判定．2．(1)与相切，证明见解析；(2)【分析】（1）连接，，根据为直径可得，结合，即可得到，根据圆周角定理可得，即可得到，即可得到，结合，即可得到答案；（2）由（1）得，，即可得到，根据，，，可得，结合勾股定理即可得到答案；【解析】（1）解：与相切，证明：连接，，∵为直径，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴与相切；（2）解：由（1）得，∵，，∴，∵，，∴，∴，根据勾股定理可得，，∴，∴，根据勾股定理可得，；【点评】本题考查圆的切线证明，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线．3．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，可得，根据，，且，得到，推出，得到，可得，即可得到答案；（2）根据，，得到，，根据切线的性质及勾股定理得到，根据，得到，根据勾股定理得到，推出，根据全等三角形性质得到．【解析】（1）证明：连接；∵，，又，∴．∵，∴，．∴．∵，∴．∴是的切线．（2）∵，，，∴．∴，∵，∴，

∴，∴，∴，在和中，，，∴，∴．【点评】本题主要考查了圆的切线，勾股定理，全等三角形．解决问题的关键是熟练掌握圆切线的判定和性质，勾股定理解直角三角形，面积法求三角形的高线，全等三角形的判定和性质．4．(1)见解析；(2)．【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用等角的余角相等可得，然后利用证明，从而可得即可解答；（2）过点C作，垂足为G，在中，利用勾股定理求出的长，再利用（1）的结论可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而在中，利用勾股定求出的长，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用两角相等的两个三角形相似证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．【解析】（1）证明：如图：连接，∵与相切于D，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）解：过点C作，垂足为G，在中，，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．∴点C到的距离为．【点评】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确添加适当的辅助线是解题的关键．5．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，可以证得，根据全等三角形的性质以及切线的性质定理可以得到，即，即可证得是的切线；（2）根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得出结论．【解析】（1）证明：连接，是的切线，是的直径，，于点，，，在和中，，（SAS），，，是的半径，是的切线．（2）解：于点，，，是的切线，，，，，，，，，，，在中，，．故答案为：．【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形和扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．6．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，得出，再根据平角的定义，得出，进而得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据等量代换，得出，进而得出，再根据等角对等边，即可得出结论；（2）连接并延长交于点，连接、，根据线段垂直平分线的判定定理，得出垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据切线的判定定理，即可得出结论；（3）根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据圆周角定理，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，进而得出，再根据圆周角定理，得出，再根据勾股定理，得出，进而即可得出答案．【解析】（1）证明：∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）证明：连接并延长交于点，连接、，∵，，∴垂直平分，∴，∴，∵，∴，∵是的半径，∴是的切线；（3）解：令与相交于点，延长交于点，连接，∵，∴，∴，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴的半径为．故答案为：【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等角对等边、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、切线的判定定理、直角三角形两锐角互余、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．7．(1)见解析(2)(3)取最大值是【分析】（1）连接，由得，根据平分，即得，而，即可得，故与相切；（2）连接，先判断出，得出，进而求出，即可求出答案；（3）连接，，在上截取，先判断出是等边三角形，得出，进而判断出是等边三角形，得出，，进而判断出≌，得出，即可求出答案．【解析】（1）证明：连接，如图：，，，平分，，，，，，即，，为的半径，与相切；（2）解：连接，如图：为的直径，，，，，由知，，，，，，，，，；（3）解：连接，，在上截取，如图：，，，平分，，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，，，≌，，，当为直径，即时，取最大值是．【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线判定、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等边三角形判定及性质、解直角三角形等知识，作出辅助线构造出等边三角形是解本题的关键．8．(1)证明见解析；(2)；(3)．【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质、对顶角的性质，进行角的等量代换即可证明；（2）连接，由垂直平分线的性质可得是等边三角形，再由圆周角定理即可解答；（3）连接，，交于点G，求出，，为等边三角形，即，再证明垂直平分，利用的半径为，求出，再根据D为的中点，求出，所以．【解析】（1）证明：连接，如图，∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴是的切线；（2）解：连接，如图，∵，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴；（3）解：连接，，交于点G，∵，，∴，，∴为等边三角形，即，∴，∵，∴，即垂直平分，∵的半径为，即，∴，∴，∴，∵D为的中点，∴，，∴，∴．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，垂径定理等知识；正确作出辅助线是解题关键．9．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据圆的切线的定义求解即可；（2）先证明得出，得出，再得出，进而结论可证；（3）先证明得出，从而得出，设，，求出，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出最后根据O是的中点求解即可．【解析】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵于D，∴，∴，∴，∵是的直径，∴是的切线；（2）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；（3）解：∵是的直径，∴，∵于D，∴，∴，∴中，，∴设，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵O是的中点，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查了圆的切线，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于找出相似三角形，求出边之间的数量关系．10．(1)见解析(2)(3)，理由见解析【分析】（1）连接，证明，从而得到即可得证；（2）过点作于点，利用圆周角定理，和等腰三角形的性质和判定，以及勾股定理分别求出，再利用进行计算即可；（3）延长至点，使得，连接，证明，推出为等腰直角三角形即可得证．【解析】（1）证明：如图所示：连接，∵是的切线，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴是的切线；（2）解：∵是的直径，∴，∴∵，∴是等腰直角三角形，∴，过点作于点，又∴是等腰直角三角形，∴∴，∴．（3）．证明：延长至点，使得，连接，则，∵四边形内接于，∴，在和中，，∴（SAS），∴，，∵，，∴，又∵，∴为等腰直角三角形，∴，又∵，∴．【点评】本题考查圆和三角形的综合应用．熟练掌握圆中常见的等量关系，圆周角定理，切线的判定和性质，以及通过添加辅助线构造三角形全等是解题的关键．题型的难度较大，在中考中属于几何的压轴题．11．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）连接OE，根据∠BEF＝90°，证明BF是圆O的直径，说明OB＝OE，得出∠OBE＝∠OEB，根据BE平分∠ABC，得出∠CBE＝∠OBE，根据内错角相等，两直线平行，证明，得出∠AEO＝∠C＝90°，即可证明结论正确；（2）先证明∠BEC＝∠BEH，再根据等角的余角相等证明∠FEH＝∠FEA，即可证明结论正确；（3）连接DE，根据角平分线的性质，得出EC＝EH，根据“AAS”证明△CDE≌△HFE，即可证明结论．【解析】（1）证明：连接OE，如图所示：∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴BF是圆O的直径，∴OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠CBE，∴，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，∴∠BEC＝∠BEH，∵BF是⊙O是直径，∴∠BEF＝90°，∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，∴∠FEH＝∠FEA，∴FE平分∠AEH．（3）证明：连接DE，如图所示：∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC＝EH，∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠HFE，∵∠C＝∠EHF＝90°，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD＝HF，【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，余角和补角的性质，作出相应的辅助线，证明△CDE≌△HFE，是解题的关键．12．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义得到，推出，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）根据圆内接四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；（3）设，，求得，，，过作于，则，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．（1）证明：连接，∵是的直径，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线．（2）∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴（3）∵，，∴设，，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，（不合题意，舍去），∴，∵，∴，过作于，∴，∵，∴，∴，∴，设，∴，∵在中，，∴，解得：，（不合题意，舍去），∴，∴，∴的面积为．【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角形函数，一元二次方程，三角形的面积，角平分线的定义等知识．正确地作出辅助线是解题的关键．13．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】(1)连接OD，由题可知，D已经是圆上一点，欲证EP为切线，只需证明即可．(2)要证AD·DP＝BD·AP，也就是证，只要证得即可．(3)作DG⊥AB于G，根据勾股定理求出BD，进而根据勾股定理求得DG，根据角平分线性质求得DE＝DG＝，然后根据△ODP∽△AEP，得出比例式，即可求得DP的长．(1)证明：如图所示，连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD．∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝∠EAD．∴OD∥AE．∵，∴∵D在⊙O上，∴EP与⊙O相切．(2)证明：，∴，∵AB是⊙O的直径，∴，即，∴，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD．∴，又∵，∴，∴，∴AD·DP＝BD·AP．(3)解：作DG⊥AB于G，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝6，AD＝4，∴BD＝＝2，，∵AB•DG＝AD•BD，∴DG＝，∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，DG⊥AB，∴DE＝DG＝，∴AE＝＝，∵OD∥AE，∴△ODP∽△AEP，∴＝，即，∴，∴．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，切线的判定等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题型都很好，都具有一定的代表性．14．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）连接OD，由圆周角定理知∠ADG=90°，由∠OGD=∠ODG，∠FDG=∠FAD即可求证；（2）连接BD，OD，由圆周角定理和圆内接四边形对角互补，求出∠GAD的度数，在△OFD中由（1）结论得出∠F的度数；（3）延长DE交圆于点M，连接AM，BM，BD，由圆周角定理和平行线性质求出四边形BCEM是平行四边形，则BC=ME；再由△EMA∽△ECD，得出AE×CE=BC×DE；AC=a，设AE=x，则CE=a－x，由二次函数的性质可求BC×DE的最大值；(1)证明：连接OD∵AG为⊙O的直径∴∠ADG=90°∴∠OGD+∠GAD=90°又∵OG=OD，∴∠OGD=∠GDO又∵∠FDG=∠FAD∴∠ODG+∠FDG=90°即∠FDO=90°又∵OD为⊙O的半径∴DF是⊙O的切线(2)解：连接BD，OD，∠BCA=55°，则∠BDA=55°，点B为的中点，则∠BDA=∠BAD=55°，四边形ABCD为⊙O的圆内接四边形，则∠CDA=180°－∠CBA=∠BCA＋∠BAC=70°，∠CAG=∠CDG=∠GDA－∠CDA=90°－70°=20°，∴∠GAD=∠BAD－∠BAC－∠CAG=55°－15°－20°=20°，∴∠FOD=40°，由（1）知OD⊥FD，∴∠F=90°－∠FOD=50°；(3)解：延长DE交圆于点M，连接AM，BM，BD，点B为的中点，则∠BMD=∠BCA，BC∥DE，则∠BCA=∠CED，∴∠BMD=∠CED，∴BM∥CE，BC∥ME，∴四边形BCEM是平行四边形，∴BC=ME，△EMA和△ECD中，∠EMA=∠ECD，∠EAM=∠EDC，∴△EMA∽△ECD，∴，即ME×DE=AE×CE=BC×DE，AC=a，设AE=x，则CE=a－x，BC×DE=x（a－x）=﹣（x－）2＋∴的最大值为：【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的性质，圆内接四边形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握圆周角定理结合图形特征正确作出辅助线．15．(1)见解析(2)①；②弧的长为【分析】（1）根据角平分线的性质，得，根据圆的对称性和等腰三角形的性质，得，根据平行线的性质，得，根据圆的切线的性质分析，即可完成证明；（2）①连接，OF，根据余角的性质，得；根据圆周角的性质，推导得；根据三角形外角和等边三角形的性质，得，；结合圆的对称性分析，即可得到答案；②结合题意，根据弧长公式计算，即可得到答案．（1）连接，∵平分，∴，根据题意，得：，∴，∴，∴，∵，∴，∵为半径，∴是的切线；（2）①连接，OF∵，，∴，∵平分，∴，∵是的直径，∴，∴，∴∴∵，∴∵∴为等边三角形∴∴∵，∴为等边三角形∴∵∴②由（1）得，∴弧的长．【点评】本题考查了圆、等边三角形、三角形外角、弧长公式、平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的切线、弧长公式、圆周角的性质，从而完成求解．16．（1）证明见解析；（2）；（3）【分析】（1）连接，由角平分线的性质可得，可得，可得，可证，可得结论；（2）连接并延长交于，通过证明，可得，可得结论；（3）由“”可证，，可得，，可得，由锐角三角函数可得，即可求解．【解析】（1）如图1，连接，，，平分，，，，，，是的切线；（2）如图2，连接并延长交于，连接，是直径，，又，，，∴∵的半径为3，．∴（3）如图3，过点作于，，交延长线于，连接，，平分，，，，，，，，，，，，，，，，，．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．17．（1）直线DE与⊙O相切；理由见解析；（2）；（3）DB-DH的最大值为．【分析】（1）连接OD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出OD⊥DE，进而得出答案；（2）得出△BCD∽△ACB，进而利用相似三角形的性质得出CD的长．（3），作，作点关于的对称点，连接连接，则，即当三点共线时取得最大值，根据切线长定理以及对称性质可得，进而可得，即可求得即的最大值．【解析】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接