高考数学优化方案第章§

§2.1映射、函数及反函数

考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考2.1映射、函数及反函数双基研习·面对高考双基研习·面对高考1．映射(1)定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有_____的元素和它对应，那么，这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的_____，记作f：A→B.基础梳理唯一映射(2)象和原象：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的___，元素a叫做元素b的_____．2．函数(1)函数的定义设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的_____一个数x，在集合B中都有_____确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A，x的取值集合A叫做函数的______，函数值的集合{f(x)|x∈A}，叫做函数的_____．象原象任意唯一定义域值域(2)函数的三要素______、_____和对应法则．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：______、解析法、______．定义域值域列表法图象法3．反函数的定义设式子y＝f(x)表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y＝f(x)中解出x，得到式子_______，如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x＝φ(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x＝φ(y)就表示x是y的函数，这样的函数，叫做函数y＝f(x)的反函数，记作x＝f－1(y)，即x＝φ(y)＝f－1(y)，一般对调x＝f－1(y)中的字母x，y把它改写成________．x＝φ(y)y＝f－1(x)4．反函数四个引申性质原函数反函数原象与象的唯一互对性f(a)＝b⇔_________f－1(b)＝aCA单调相同思考感悟1．映射f：A→B与映射f：B→A是同一个映射吗？提示：不一定．映射f：A→B必须满足：(1)A中元素无剩余，且A中任何元素必须有象且唯一；(2)B中元素可以有剩余，即B中元素不一定有原象；(3)若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则可构成映射f：A→B有nm个，映射f：B→A有mn个．2．映射与函数有什么区别？提示：映射不一定是函数，但函数一定是某一个映射；映射的两个集合可以是任意非空集合，函数的集合一定是非空数集．1．在映射f：A→B中，下列判断正确的是(

)A．A中的元素a的象可能不只一个B．A中的两个元素a1和a2的象必不同C．B中的元素b的原象可能不只一个D．B中的两个不同元素b1和b2的原象可能相同答案：C课前热身答案：D答案：D答案：(0,2)考点探究·挑战高考考点一映射的概念映射糠是一公种特许殊的成对应祖，判抓断对书应是凳否为根映射蜻，关裳键有典两点秘：一顿是A中元狠素必平须都聪有象运且唯帝一，仗二是B中元薄素不爹一定胡有原埋象，倾且A中不劝同的赔元素千在B中可谎以有增相同削的象乒．一盈般地淡，“一对色一”“多对修一”的对日应关师系可猴构成帐映射籍，“一对释多”不是虹映射升．设A＝{1悟,2怕,3芦,4厉,5瞒}，B＝{1努,3虾,7新,1从5,松31瞒,3愁3}，下盆列的良对应籍法则f能构商成从A到B的映占射的臣是()A．f：x→x2＋x＋1B．f：x→x＋(x－1)2C．f：x→2x－1－1皇D．f：x→2x－1【思路能分析】根据菠映射羡定义梦，对算于集布合A中的较任何倘元素物，按喊照对赏应法幼则f，在勤集合B中是赔否有轧唯一厚的元粮素与存它对题应．例1【解析】∵当x＝4时，x2＋x＋1＝21∉B；当x＝4时，x＋(x－1)2＝13∉B；当x＝1时，2x－1－1＝20－1＝0∉B，∴A、B、C都不派构成肯从A到B的映躁射．对于D，经列验证贫，x＝1,冰2,兰3,福4,贡5时2x－1的值敢分别拒为1,奇3,拌7,抹15鸣,3骑1.又映胆射并山不要到求B中的驶任何塔元素腿都有眠原象滩，∴笑应选D.【领悟题归纳】判断午从A到B的映损射，棵务必闪用A中的筹任何他元素栗在B中找辣对应益的象馋，切坝不可筛颠倒呢．此类同问题厚有时羞是单例独的妥一个带小题灰，有还时作覆为解刺答题奥的某悼一过趴程．秧但考工查的断都是鸽常见筝函数叛的通拉法，统待定在系数朱法、甩换元屡法、东消元朋法等继．如谎果已听知函驱数解歌析式独的类挖型，雁可用灯待定闯系数窝法；说已知璃复合狼函数厨的表再达式贯时，之可用答换元判法，墓这时序要注颠意“元”的范佳围；麦当已绩知表氏达式嫩比较鼻简单蚕时，境也可搭以用亭配方览法；笋若已拣知抽毅象的标函数恢表达牲式，端则常佳用解享方程侮组，弹消元吹的方感法求绵出解闲析式伤．考点二求函数解析式例2【思路劫分析】①可乞用配涨凑法辜，②他可用希换元嚼法，床③可为用方供程组协法．求反射函数蓬解析蹄式的稼三步模曲：“一解”、“二换”、“三定来义”．所门谓一尚解，蚕即首失先由敏给出愧的原剖函数迫的解蜓析式y＝f(x)，反悟解出迎用y表示x的式蒜子x＝f－1(y)；二趟换，疏即将x＝f－1(y)中的x，y两个粗字母仪互换磁，得妇到y＝f－1(x)即为号所求诵的反柱函数(即先宽解后爹换)；三粒定义哪，即坦求出霜反函晨数的夜定义剥域(即原西函数毕的值亲域)．参拍考本向节教姿材例1及复礼习参反考题B组7题．考点三求反函数解析式例3【思路揪分析】求原走函数伍值域→反解x→交换x、y→得反皇函数英．【领悟激归纳】本题饮求反窑函数渴的过方程中孕，要免注意钉开方迫时，刚是取“正”还是徐取“负”．这种纸问题量没有叮给出润具体蝇的函档数解侨析式蜜，只眨是借胜用抽窗象的坝函数俘意义探，来汤转化冬其中图的变船量关荡系，丢往往胀结合活恒等堤式或晋不等艺式转渣化为招自变菌量的搞关系右．考点四抽象函数问题例4【思路漫探究】(1蛋)令x＝y＝1再求迹解可茅得．(2咏)中赋距值时烛注意绵应用(1质)的结污论．(3捡)用定赶义法牢确定f(x)的单般调性挤，从物而转详化为袄关于x的不奋等式沙求解零．【思维托升华】本题膀是抽咐象函电数问事题，挽尽管牢题中候没有倒给出倚具体程的解带析式死，但沟我们采仍可暑以通级过不拐断地碍赋值阶去探建索其扶特殊自自变问量的乡丰函数穴值．得常用洞的赋糖值有芳：x＝y＝0；x＝y＝1；x＝0，y＝1；x＝y；y＝－x；….当然赌具体凯在实挣际操目作时尼的赋弊值还济要根傍据题兽设的选条件臂进一美步确乖定取强值情皇况．方法邪技巧1．若互两个岛函数饲的对愿应关奇系一悲致，增并且昂定义溜域相校同，吹则两落个函平数为像同一仿函数鄙．如夜课前陈热身2.2．函鄙数的吼三种皮表示券方法厉：列获表法剖、图纲象法伤和解岂析法腊，三于者之倘间是僵可以处互相屋转化席的；峰求函皂数解草析式申比较挣常见室的方祸法有宰代入魂法、米换元安法、胖待定升系数邻法和做解函购数方缘瑞程等六，特等别要技注意固将实途际问斑题化枯归为隙函数院问题范，通爽过设塘自变蛛量，打写出马函数燥的解去析式骆并明拾确定膝义域阀，还参应注唱意使昂用待商定系抗数法剂时函荡数解蛙析式老的设锡法．写如例2.方法感悟3．分斑段函辛数的系反函续数仍霞是分顿段函酬数，怒要分后段来有求，及一般筛地是衡把各礼分段卡上的断函数溉看作轮独立肉函数纹，分强别求定出它懂们的凤反函侵数，链然后闹再拼她合到热一起膏，求懂得的枝反函气数一犹定要询标明充其定炭义域辅．如监例3的(3视)．失误障防范1．映嚷射是梢一种茄特殊鬼的集惹合之正间的园对应少关系追．只吩能是氧一对却一，可多对辽一，凉绝不什是一躲对多职．2．用举换元善法求焦函数灯解析误式时专，一首定要率注明于新“元”的范祖围，(如例2的(1翠)、(2僚))．考向瞭望·把脉高考高考寺中主惨要考醒查映乒射与摆函数梢的基竖本概嫌念，勤例如体求象贤、原钟象以渠及映壤射的鸽个数抚等，挣映射其的内大容可端与其啦它知懒识点舞结合杏．在高粗考中西常以橡函数宣作为凯背景授，结讲合不字等式杀、方往程、愁数列排等知娇识，葱考查板学生小处理喜综合朵问题交的能盲力．应往往经以综庄合题屋形式互出现攀．考情分析分段芬函数惨在高贯考命落题上俱以考逃查基技本概斥念与昂基本衰计算且为主提，题析型主下要是惩选择喘题和悬填空由题，破也有毒的把哄定义殊一种剩新运勾算作体为考摄查的挂目的遇．在20圆10年的街高考甚中，接大多搅数省虚市的右高考照题是联与具兼体函坐数的包性质蒙结合洽起来斑考查筑，陕杀西文13题对乡丰分段颂函数座及函固数符张号(f(0咳))的意屡义进场行考阿查．从近臭两年迅的高缴考试业题来耕看，蜂对反蒜函数凡的考柿查主倦要是斧认识展反函堡数的睁定义墙，会度求反刊函数灾．能骄用互孩为反联函数导的图害象的浮对称宝关系驰解决她问题雷．以份选择颂题、恢填空素题为缝主，林考查专基本掠知识转，基门本技竭能，梨解答繁题很发少涉谢及．栏在20恐10年高扒考中初，只盟有四薯川考检题的22题，爬求反叶函数养仅作叹为一平小问朱．预测20逆12年的流高考倦中，瞧以分插段函确数求煎函数客值，扫求具仁体函哑数的鸟反函纺数，盖结合狭函数浙的奇架偶性喂，极坐值等秘求函踢数解邪析式亦为主芽来考孔查．命题探源例【答案】D【探究惩溯源】此题拼与人但教版(必修)第一贡册(上)复习糟参考驼题二即的第15题中屿的求史反函唯数有榆相似颤的一移面，醋通过缘瑞指数唤函数逢与对绳数函旅数之峰间的签关系远及运冰算求蜓反函头数，叼考查甩反函页数的鱼求法被及其朗定义虾域与悉值域帅之间笼的关察系．本题则难度或适中糊，易宜错的盛地方蹈是在智变形透过程接中“＋”与“－”的变堂化．名师预测2．若娘定义喝在[－20致10比,2宴01吴0]上的惨函数f(x)满足给：对于于任狼意x1，x2∈[－20乳10桑,2赚01殿0]有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－20绘09，且x>0时，佩有f(x)>难20兴09，f(x)的最锤大值胃、最序小值露分别厨为M，N，则M＋N的值茫为()A．20喘09樱B．20课10C．40调18恶D．40躺20解析馒：选C.令x1＝x2＝0，则f(0号)＝20单09，又逆令x1＝x，x2＝－x，则f(0障)＝f(x)＋f(－x)－20速09竞,2狮00斯9＝f(x)＋f(－x)－20债09尝.∴f(－x)－20骂09＝－(f(x)－20辣09值)，∴f(x)－20济09为奇意函数呀，∴函输数f(x)－20割09关于削原点(0造,0卖)对称则，函担数f(x)关于(0励,2祝00踪蝶9)对称饶．又梢设－20豪10≤x1<x2≤20受10，不披妨设x