2021届中考数学专题复习训练-二次函数-专题12.2二次函数与阿氏圆问题

二次函数与阿氏圆问题题型特点：动点在直线上运动、PA+k•PB型线段和最小值解题方法：构造共边共角相似问题，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如果大于1，则将线段扩大相同的倍数取点，k值如果小于1，则将线段缩短相同的倍数取点，再两点之间线段最短解决问题。【经典例题1】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．【解析】(1)∵点A(−4，−4)，B(0，4)在抛物线y=−x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+4；(2)设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E(m，2m+4)，∴G(m，−m2−2m+4)，∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴−m2−2m+4−2m−4=4，∴m=−2，∴G(−2，4)；(3)①如图1，由(2)知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E(a，2a+4)，∵直线AC:y=−x−6，∴F(a，−a−6)，设H(0，p)，∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC:y=−x−6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴(−4+0)=(a+a)，(−4+p)=(2a+4−a−6)，∴a=−2，P=−1，∴E(−2，0).H(0，−1)；②如图2，由①知，E(−2，0)，H(0，−1)，A(−4，−4)，∴EH=，AE=2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴PE/ME=，∵ME/AE=，∴PE/ME=ME/AE=，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴PM/AM=ME/AE=，∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P(p，2p+4)，∵E(−2，0)，∴PE2=(p+2)2+(2p+4)2=5(p+2)2，∵PE=，∴5(p+2)2=54，∴p=−或p=−(由于E(−2，0)，所以舍去)，∴P(−，−1)，∵C(0，−6)，∴PC=，即：AM+CM=.练习1-1如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B.(1)求抛物线解析式及B点坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；(3)如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由。【解析】(1)直线y=−5x+5，x=0时，y=5∴C(0，5)y=−5x+5=0时，解得：x=1∴A(1，0)∵抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点∴1+b+c=0；0+0+c=5

解得：b=−6；c=5∴抛物线解析式为y=x2−6x+5当y=x2−6x+5=0时，解得：x1=1，x2=5∴B(5，0)(2)如图1，过点M作MH⊥x轴于点H∵A(1，0)，B(5，0)，C(0，5)∴AB=5−1=4，OC=5∴S△ABC=AB⋅OC=×4×5=10∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M(m，m2−6m+5)(1<m<5)∴MH=|m2−6m+5|=−m2+6m−5∴S△ABM=AB⋅MH=×4(−m2+6m−5)=−2m2+12m−10=−2(m−3)2+8∴S四边形AMBC=S△ABC+S△ABM=10+[−2(m−3)2+8]=−2(m−3)2+18∴当m=3，即M(3，−4)时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18(3)如图2，在x轴上取点D(4，0)，连接PD、CD∴BD=5−4=1∵AB=4，BP=2∴∵∠PBD=∠ABP∴△PBD∽△ABP∴∴PD=AP∴PC+PA=PC+PD∴当点C.P、D在同一直线上时，PC+PA=PC+PD=CD最小∵CD=∴PC+PA的最小值为练习1-2如图1，抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0<m<4)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M.(1)求a的值和直线AB的函数表达式；(2)设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；(3)如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°<α<90°)，连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值。【解析】(1)令y=0，则ax2+(a+3)x+3=0，∴(x+1)(ax+3)=0，∴x=−1或−，∵抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，∴−=4，∴a=−∵A(4，0)，B(0，3)，设直线AB解析式为y=kx+b，则b=3；4k+b=0，解得k=−；b=3，∴直线AB解析式为y=−x+3.(2)如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴，∵NE∥OB，∴AN/AB=AE/OA，∴AN=(4−m)，∵抛物线解析式为y=−x2+x+3，∴PN=−m2+m+3−(−m+3)=−m2+3m，∴，解得m=2.(3)如图2中，在y轴上取一点M使得OM=，∵OE′=2，OM⋅OB=×3=4，∴OE′2=OM⋅OB，∴OE′/OM=OB/OE′，∵∠BOE′=∠MOE′，∴△MOE′∽△E′OB，∴ME′/BE′=OE′/OB=，∴ME′=BE′，∴AE′+BE′=AE′+E′M=AM′，此时AE′+BE′最小，最小值=AM=.练习1-3如图1，已知一条直线与抛物线y=x2相交于A，B两点，其中点A，B的横坐标分别是−2、8.(1)求这条直线的函数表达式；(2)如图2，设直线AB分别与x轴、y轴交于点D.E，F为OD的中点，将线段顺时针旋转得到OF′，旋转角α(0∘<α<90∘)，连接DF′，EF′，求DF′+EF′的最小值。练习1-3【解析】(1)∵直线与抛物线y=x2相交于A，B两点，其中点A，B的横坐标分别是−2、8.可得A(−2，1)，B(8，16)；设直线AB的解析式为y=kx+b，则有−2k+b=18；k+b=16，解得k=；b=4，∴直线AB的解析式为y=x+4.(2)取G(0，)，连接F′G.由题意：D