2021届四川省成都市某中学高三期中数学(文)试题(解析版)

2021届四川省成都市第七中学高三期中数学（文）试题一、单选题1．设全集，已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用集合补集和交集的定义求解即可．【详解】或，则故选：B2．设复数满足，则的虚部为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的乘法将化简即可得虚部.【详解】，所以虚部为故选：C3．在矩形ABCD中，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平面向量的线性运算可得，再由平面向量数量积的运算法则计算即可得解.【详解】由题意作出图形，如下图，所以.故选：C.4．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市月至月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）A．1月至8月空气合格天数超过天的月份有个B．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C．8月是空气质量最好的一个月D．6月份的空气质量最差.【答案】D【解析】由图表可知月空气质量合格天气只有天，月份的空气质量最差．故本题答案选．5．函数的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求函数的定义域，再判断其奇偶性，然后取特殊值即可得答案.【详解】解：函数的定义域为，因为所以为奇函数，因此排除A,C因为，所以排除B故选：D【点睛】此题考查函数图像的识别，主要利用了函数的奇偶性和取特殊值进行判断，属于基础题.6．已知，且，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】，得，即，解得或（舍去），又.

故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.7．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.【详解】由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.8．已知函数，记，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先判断函数的性质，再比较的大小关系，从而利用单调性比较，，的大小关系.【详解】是偶函数，并且当时，是增函数，，因为，，即又因为在是增函数，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数的性质，后面的问题迎刃而解.9．设函数，则下列结论错误的是（）A．的最小正周期为 B．的图像关于直线对称C．的一个零点为 D．在单调递减【答案】D【分析】化简可得，根据余弦函数的性质依次判断各个选项.【详解】由，得，故A正确，不符合题意；由得，令得：，故B正确，不符合题意；因为，当时，，故C正确，不符合题意；因为，即，令得，，故D错误，符合题意.故选：D10．设，满足，则的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求出目标函数的最小值.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由，得，当纵截距最小时，目标函数值最小，在点处取得，且最小值为．故选：C.11．棱长为1的正方体中，为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点的轨迹所围成图形的面积为（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】本题首先可以根据题意确定当时直线所在平面区域，然后结合图像即可得出动点的轨迹所围成图形为，然后求出面积即可得出结果.【详解】如图，易知直线平面，故动点的轨迹所围成图形为，因为为边长为的正三角形，所以其面积，故选：C.【点睛】本题考查线面垂直的相关性质，若直线与平面垂直，则直线垂直这个平面内的所有直线，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题.12．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推.排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推.在戊戌年你们来到成都七中，追逐那光荣的梦想.在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（）A．辛丑年 B．庚子年 C．己亥年 D．戊戌年【答案】B【分析】由题意可得：数列天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，以1980年的天干和地支分别为首项，即可求出答案.【详解】由题意可得：数列天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，从1980年到2080年经过100年，且1980年为庚申年，以1980年的天干和地支分别为首项，则余数0，则2080年天干为庚，余数为，则2080年地支为子，所以2080年为庚子年.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由题意得出数列天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，1980年为庚申年，计算余数0，则2080年天干为庚，余数为，则2080年地支为子，所以2080年为庚子年.二、填空题13．已知集合，，则“”是“”的_____________条件．【答案】充分不必要【分析】根据充分条件和必要条件的定义计算判断即可.【详解】当时，，显然，所以能推出；当时，有或，所以成立，不一定能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.14．函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是________.【答案】.【分析】原命题等价于有解，再求的最小值即得解.【详解】由题意，得，故存在切点，使得，所以有解，因为，所以（当且仅当时取等号），所以，即，则实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：形如的有解问题，等价于，不是，所以本题只要求出的最小值即得解.15．已知椭圆，左焦点，右顶点，上顶点，满足，则椭圆的离心率为____________.【答案】【分析】利用数量积的坐标公式计算可得答案．【详解】由可得，，即，则，解得或（舍）故答案为：16．体积为的三棱锥的每个顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积的最小值为_________.【答案】【分析】根据球的直径为PC的长，即为补成的长方体的体对角线的长，再根据平面，，，，求得，再由，利用基本不等式求解.【详解】如图所示：因为平面，，，所以，解得，设外接球的半径为，球的直径为PC的长，则，当且仅当时，取等号.所以.所以球的表面积的最小值为.故答案为：【点睛】本题主要考查球有关的组合体问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．设数列的前项和为，，，．（1）证明：为等比数列，并求；（2）记为的前项和，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）证明详见解析；；（2）.【分析】（1）利用，化简得出，并变形为，从而得出，利用等比数列的定义，可得出为等比数列，求出的通项公式，即可得出；（2）由（1）得出的通项公式，利用等比数列的求和公式得出，结合，得出的取值范围【详解】（1）∵，∴∴，∴∴，∴．∵，∴，∴．∴为以3为首项，为公比的等比数列．∴，∴．（2）∵，∴，∴∵恒成立，∴【点睛】本题主要考查了与的关系，证明数列为等比数列，数列不等式的恒成立问题，属于中档题.18．某地区2013至2019年的年用电量（单位：万千瓦时）的统计数据如下表，（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2022年的年用电量.年份2013201420152016201720182019年份代号1234567使用电量29333644485249参考公式：，.【答案】（1）；（2）73万千瓦时.【分析】（1）先求，，再代入题目中给的公式即可求出，，即可求求解；（2）2022年对应，将代入（1）中所得的方程即可求解【详解】（1）由题意可得，，，，，∴关于的线性回归方程：.（2）利用（1）中的回归方程可得，当时，，故该地区2022年的年用电量为73万千瓦时.19．如图甲，平面四边形中，已知，，，，现将四边形沿折起，使得平面平面(如图乙)，设点，分别是棱，的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）在图甲中先证，在图乙中由面面垂直的性质定理先证，由条件可得，进而可判定DC平面ABC；（2）利用等体积法进行转化计算即可.【详解】（1）图甲中，∵且，，，即，图乙中，∵平面ABD平面BDC，且平面ABD平面，∴平面BDC，又平面BDC，∴，又，∴，且，又，平面ABC，∴DC平面ABC；（2）因为点，分别是棱，的中点，所以，且，所以平面，由（1）知，平面BDC，又平面BDC，所以，，，，，，，所以，，，所以.【点睛】方法点睛：计算三棱锥体积时，常用等体积法进行转化，具体的方法为：①换顶点，换底面；②换顶点，不换底面；③不换顶点，换底面.20．已知椭圆的离心率为，是椭圆上的一点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同两点、，点关于轴的对称点为，问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）是，.【分析】（1）由离心率为得，将代入椭圆，联解得椭圆方程；（2）设直线方程，与椭圆联解得，求得.，，设出直线方程化简得解.【详解】（1）∵，，∴，∴，将代入椭圆，∴，∴.（2）显然斜率存在，设方程为：，，，∴.设，，，∴，，∵，∴时，∴直线过定点.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的定点等基本知识与基本技能，以及数形结合、转化与化归的数学思想.意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及分析问题、解决问题的能力.21．已知函数．（1）当时，求函数的极值；（2）若在有且只有一个零点，求的取值范围．【答案】（1）极小值，无极大值；（2）.【分析】（1）当时，求导，利用导函数正负来确定原函数的单调性，结合单调性确定极值点，计算极值即可；（2）首先函数有且只有一个零点即是方程在上只有一个解，令，，再分别对，和三种情况研究两个函数有且只有一个交点时满足的条件，即得参数的取值范围.【详解】解：（1）由题意知，时，又在单调递增，且当时，，时，故y单调递减，当时，故y单调递增.故当时函数取得极小值，无极大值；（2）依题意，函数，即方程在上只有一个解，令，，则函数与的图象在上有且仅有一个交点，又在上恒成立，故函数在上单调递增，①当时，函数在单调递增，在单调递减，且，如图所示：显然，此时满足函数与的图象在上有且仅有一个交点，符合题意；②当时，方程，显然在上有且仅有一个零点，符合题意；③当时，函数在单调递减，在单调递增，且，如图所示：要使函数与的图象在上有且仅有一个交点，只需处，，即，即，又，故.综上，实数的取值范围为.【点睛】已知函数的零点情况求参数取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.22．已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．1求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；2设M是直线l上任意一点，过M做圆C切线，切点为A、B，求四边形AMBC面积的最小值．【答案】（1）圆的普通方程为.直线直角坐标方程(2)【分析】（1）结合，消去参数，得到圆C的普通方程；结合，代入，得到直线l的直角坐标方程．（2）计算，圆心C到该直线的距离，计算四边形AMBC的面积，计算最小值，即可．【详解】（1）由得，即圆的普通方程为.由得，即，由得直线直角坐标方程（2）圆心到直线:的距离为是直线上任意一点，则，四边形面积……9分四边形面积的最小值为【点睛】