【教学】一元二次函数

一元二次函数复习引入问题1

在初中，我们学习了一元二次函数．二次函数解析式都有哪些形式？二次函数的图象是什么形状？怎么画二次函数图象？函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）称为一元二次函数的一般式，函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）称为一元二次函数的顶点式，其中点（h，k）为抛物线的顶点．函数y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）称为一元二次函数的交点式，仅限于与x轴有交点

A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线．新知探究实践1

在同一坐标系中做出下列函数的图象：y＝x2；y＝2x2；y＝－2x2．（1）对y＝x2，y＝2x2，抛物线开口向上，区间（－∞，0]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[0，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝0处有最小值，记作ymin＝0．y＝－2x2，抛物线开口向下；在区间（－∞，0]上，函数值自变量x的增大而减小；函数在x＝0处有最大值，记作：ymax＝0．y随自变量x的增大而增大；在区间上[0，＋∞]，函数值y随新知探究实践1

在同一坐标系中做出下列函数的图象：y＝x2；y＝2x2；y＝－2x2．（2）y＝2x2与y＝－2x2关于x轴对称．（3）三个图象都关于y轴对称．（4）y＝x2开口大小偏小，y＝2x2，y＝－2x2开口大小偏大．（5）二次函数y＝x2图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2x2；二次函数y＝x2图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的－2倍，得到y＝－2x2．新知探究追问1：由y＝x2的图象如何得到y＝ax2（a≠0）的图象？纵坐标变为原来的a倍，得到y＝ax2的图象．次函数y＝x2图象上各点的横坐标不变，新知探究追问2：y＝ax2（a≠0）的图象有什么性质？对于y＝ax2（a≠0）当a＞0时，抛物线开口向上，区间（－∞，0]上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[0，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝0处有最小值，记作ymin＝0．新知探究追问2：y＝ax2（a≠0）的图象有什么性质？当a＜0时，抛物线开口向下；在区间（－∞，0]上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上[0，＋∞]，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝0处有最大值，记作：ymax＝0抛物线开口向下中的｜a｜越大，抛物线张口越小．新知探究追问3：y＝ax2（a≠0）的图象与y＝－ax2（a≠0）的图象有什么内在关系？一般地，所以，y＝ax2（a≠0）与y＝－ax2（a≠0）关于x轴对称．y＝ax2（a＞0）的图象沿x轴翻折y＝－ax2（a＞0）的图象新知探究实践2

在同一坐标系中做出下列函数的图象：y＝2x2；y＝2（x＋1）2＋3；y＝2（x－1）2－3．y＝2x2向左平移1个单位得到y＝2（x＋1）2，再向上平移3个单位得到y＝2（x＋1）2＋3；y＝2x2向右平移一个单位得到y＝2（x－1）2，再向下平移3个单位得到y＝2（x－1）2－3．新知探究追问4：一元二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）有哪些性质？一元二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）有如下性质：（1）函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图象是一条抛物线，顶点坐标是（h，k）对称轴是直线x＝h；（2）当a＞0时，抛物线开口向上，区间（－∞，h）上，函数值y随自变量x的增大而减小；在区间[h，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在x＝h处有最小值，记作ymin＝k．新知探究追问4：一元二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）有哪些性质？当a＜0时，抛物线开口向下；在区间（－∞，h）上，函数值y随自变量x的增大而增大；在区间上[h，＋∞]，函数值y随自变量x的增大而减小；函数在x＝h处有最大值，记作：ymax＝k．新知探究追问4：一元二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）有哪些性质？可以由y＝ax2（a≠0）得图象移动而得到，当h＜0时，向左平移｜h｜个单位长度，当h＞0时，向右平移｜h｜个单位长度．y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图象可以由y＝a（x－h）2（a≠0）平移得到，当k＞0时，向上平移｜k｜个单位长度，当k＜0时，向下平移｜k｜个单位长度．（3）一般地，抛物线y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图象，新知探究动动手将下列二次函数进行配方（1）y＝3x2＋6x－1；（2）y＝－2x2＋4x＋3．（2）y＝－2（x2－2x）＋3＝－2（x2－2x＋1）＋5＝－2（x－1）2＋5．（1）y＝3（x2＋2x）－1＝3（x2＋2x＋1）－4＝3（x＋1）2－4；新知探究一般地，一元二次函数的一般形式化成顶点式的方法——配方法：y＝ax2＋bx＋c＝

一元二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为

新知探究问题2

由y＝ax2（a＞0）图象如何得到y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象？二次函数图象的变换规律：y＝ax2（a＞0）的图象沿x轴翻折y＝－ax2（a＞0）的图象当h＜0时，向左平移｜h｜个单位长度，当h＞0时，向右平移｜h｜个单位长度新知探究问题2

由y＝ax2（a＞0）图象如何得到y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象？二次函数图象的变换规律：y＝a（x－h）2的图象当k＞0时，向上平移｜k｜个单位长度当k＞0时，向下平移｜k｜个单位长度y＝a（x－h）2－k的图象y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象写成一般形式新知探究问题2

由y＝ax2（a＞0）图象如何得到y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象？二次函数图象的变换原则：左右平移的原则：“左加右减”，上下平移的原则：“上加下减”新知探究问题3

如何作出二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象？因为二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：先找出顶点坐标，画出对称轴；找出抛物线上关于对称轴的四个点（如与坐标轴的交点等）；把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．新知探究追问5：一元二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）有哪些性质？（1）一元二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下，抛物线的顶点坐标为

，对称轴是直线x＝

；

新知探究追问5：一元二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）有哪些性质？（2）若a＞0，抛物线开口向上

当x＝

，函数取得最小值

，记作ymin＝

．

（a＜0的情况请自行完成）初步应用解答：（1）由配方法例1

已知一元二次函数y＝

x2＋2x＋5．

（1）指出它的图象可以由函数y＝

x2的图象经过怎样的变换得到；

（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值．

函数y＝

x2的图象

向左平移2个单位

向上平移3个单位

即初步应用例1

已知一元二次函数y＝

x2＋2x＋5．

（1）指出它的图象可以由函数y＝

x2的图象经过怎样的变换得到；

（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值．（2）函数图象开口向上，对称轴为x＝－2；在区间（－∞，－2）上，函数值y随自变量x的增大而减小，在区间[－2，＋∞]上，函数值y随自变量x的增大而增大，当x＝－2时，函数取得最小值3，即ymin＝3初步应用变式

画出二次函数

的图象，求一下它们的开口方向、对称轴和顶点．解答：如图所示抛物线

的开口向下，

记为x＝－1，顶点是（－1，0）；

对称轴是进过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，抛物线

的开口向下，对称轴是x＝1，顶点是（1，0）．

新知探究追问6：抛物线

经过怎样的变换可以得到抛物线

？

求一下抛物线

的开口方向、对称轴和定点坐标．

对称轴是x＝－1，顶点是（－1，－1）．抛物线

的开口方向向下，

把抛物线

向下平移1个单位，

再向左平移1个单位，就得到抛物线

初步应用１把抛物线y＝－2x2＋4x＋1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（）A．y＝－2（x－1）2＋6C．y＝－2（x＋1）2＋6抛物线y＝－2x2＋4x＋1＝－2（x－1）2＋3向左平移2个单位得到抛物线y＝－2（x＋1）2＋3，再向上平移3个单位得到抛物线y＝－2（x＋1）2＋6．B．y＝－2（x－1）2－6D．y＝－2（x＋1）2－6故选：C．C初步应用２已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列四个结论：①b＜0其中所有正确结论的序号有________________．解析：根据图象开口向下，∴a＜0．∵图象与x轴有两个交点，∵f（－2）＝4a－2b＋c＞0，∴③正确；∵a－b＋c＝f（－1）＞0，∴④不正确．∵

＜0b＜0，①正确；

∴Δ＞0，②正确；故答案是①②③．-1xyO-2②b2－4ac＞0③4a－2b＋c＞0④a－b＋c＜0，①②③归纳小结问题4

本节课你学到了什么知识？用到了哪些数学思想方法？y＝ax2（a＞0）到y＝ax2＋bx＋c（a≠0）平移变换的步骤；y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的作图步骤；二次函数的性质：（1）开口方向；（2）顶点坐标；（3）对称轴；（4）增减性；（5）最大