高三数学理创新设计资料包9

最新考纲

1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．第2讲等差数列及其前n项和1．等差数列的定义

如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的差等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_____，公差通常用字母d表示．

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．知识梳理2同一个常数公差2．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝____________．

通项公式的推广：an＝am＋________(m，n∈N*)． (2)等差数列的前n项和公式

a1＋(n－1)d(n－m)d3．等差数列及前n项和的性质 (1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且

A＝______． (2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m， …(k，m∈N*)是公差为____的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an.

若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．md4．等差数列的前n项和公式与函数的关系

数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．5．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最___值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最___值．大小1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)

精彩PPT展示 (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． () (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2. () (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． () (4)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列.()诊断自测×√×√2．(2014·福建卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于 (

) A．8 B．10

C．12 D．14答案C3．(2013·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝ (

) A．3 B．4 C．5 D．6答案C4．(2014·北京卷)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．

解析因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.∴当n＝8时，其前n项和最大．

答案

85．(人教A必修5P68A8改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．

解析由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.

答案

180考点一等差数列的性质及基本量的求解【例1】(1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝

－2，则a9＝ (

) A．－6 B．－4 C．－2 D．2

解析法一

(常规解法)：设公差为d，则8a1＋28d＝4a1＋8d，即a1＝－5d，a7＝a1＋6d＝－5d＋6d＝d＝－2，所以a9＝a7＋2d＝－6.

法二

(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，

所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.

答案A(2)(2014·浙江卷)已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.①求d及Sn；②求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.解

①由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.因为d＞0，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．②由①得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.规律方法

(1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．【训练1】(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于 (

) A．0 B．37

C．100 D．－37 (2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 (

) A．13 B．12

C．11 D．10 (3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________．解析

(1)设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，∴{an＋bn}为等差数列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100，∴{an＋bn}为常数列，∴a37＋b37＝100.(2)因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，答案(1脖)C(2速)A(3靠)6怪0规律页方法证明轻一个仅数列劈燕是否井为等谦差数您列的撤基本真方法张有两抵种：毯一是通定义低法，筹证明an－an－1＝d(n≥2，d为常干数)；二舍是等发差中县项法虑，证绒明2an＋1＝an＋an＋2.若证断明一工个数龟列不苍是等李差数孙列，晕则只柿需举拦出反步例即俗可，推也可穷以用旗反证掌法．【训练2】辜(美20业15珠·西安痰模拟)已知施公差有大于帝零的么等差阶数列{an}的前n项和浙为Sn，且越满足a3·a4＝11酷7，a2＋a5＝22膀.(1辫)求数眯列{an}的通妙项公眨式；解(1佛)设等千差数清列{an}的公唯差为d，且d＞0，由等彩差数嘉列的仰性质捞，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，所以a3，a4是关为于x的方痕程x2－22x＋11斜7＝0的解哄，所感以a3＝9，a4＝13，易旗知a1＝1，d＝4，故通自项为an＝1＋(n－1)龟×4＝4n－3.考点恰三截等差栗数列奇前n项和机的最志值问搞题【例3】等差厘数列{an}的首拆项a1＞0，设袄其前n项和距为Sn，且S5＝S12，则涛当n为何巩值时庄，Sn有最棵大值印？深度天思考解决俭此类尚问题呢你首哨先想芒到的及是哪株种方盐法？厌在这蜂里提搞醒大绕家：羞本题奇可用橡四种洋方法木，请纪大家丘先思动考．规律全方法求等秩差数柿列前n项和蜓的最烂值，固常用阴的方精法：(1亿)利用房诚等差肢数列向的单旷调性削，求迁出其晌正负木转折杯项；(2谈)利用济性质光求出虚其正送负转召折项融，便少可求菊得和荣的最性值；(3稍)将等挪差数滨列的俭前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常套数)看作敏二次政函数写，根纤据二搬次函晌数的眼性质贿求最麻值．【训练3】哑(舟1)等差买数列{an}的前n项和士为Sn，已练知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则凭当Sn取最怕大值住时，n的值纵是()A．5浅B．6C．7臭D．8(2弦)(互20溪14戚·望江争中学书模拟)设数论列{an}是公夏差d＜0的等透差数稼列，Sn为前n项和蚂，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最白大值菊时，n的值载为()A．5货B．6C．5或6父D．11(3芹)已知谎等差堡数列{an}的首日项a1＝20，公膏差d＝－2，则诵前n项和Sn的最声大值排为__塘__渐__表__．解析(1型)依题寇意得2a6＝4，2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0；又悠数列{an}是等蜡差数障列，店因此扔在该梨数列承中，政前6项均划为正晴数，厚自第7项起闸以后折各项久均为罢负数蜡，于枝是当Sn取最扑大值惹时，n＝6，选B.(2临)由题廉意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所孤以a6＝0，故串当n＝5或6时，Sn最大旺，选C.(3妻)因为盒等差墓数列{an}的首叼项a1＝20，公休差d＝－2，代虑入求或和公夺式得树，又因率为n∈N*，所秒以n＝10或n＝11时，Sn取得粱最大姐值，垄最大貌值为11锣0.答案(1远)B(2奔)C(3那)1桐10[思想般方法]1．判遣断数打列为兰等差蓝数列犁的方炮法(1战)定义棵法：an＋1－an＝d(d是常夹数)⇔杜{an}是等拳差数谊列．(2艺)等差授中项帖法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔迷{an}是等杰差数疤列.(3皆)通项某公式匠：an＝pn＋q(p，q为常撞数)⇔讨{an}是等喘差数括列．(4福)前n项和五公式炉：Sn＝An2＋Bn(A，B为常档数)⇔顺{an}是等附差数苹列．2．方吴程思寸想和级化归轧思想响：在蓝解有串关等决差