高数同济§连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性上页下页铃结束返回首页一、连续函数的和、积及商的连续性定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续则函数在点x0也连续

例1

因为sinx和cosx都在区间(-

+)内连续所以tanx和cotx在它们的定义域内是连续的

三角函数sinx、cosx、secx、cscx、tanx、cotx在其有定义的区间内都是连续的首页>>>CompanyLogo二、反函数与复合函数的连续性定理2如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续那么它的反函数xf1(y)在区间Iy{y|yf(x)xIx}上也是单调增加(或减少)且连续的所以它的反函数y=arcsinx在区间[-11]上也是连续的下页

例2

同样y=arccosx在区间[-11]上是连续的

y=arctanx在区间(-

+)内是连续的

y=arccotx在区间(-

+)内是连续的CompanyLogo反三角函数arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它们的定义域内都是连续的下页二、反函数与复合函数的连续性定理2如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续那么它的反函数xf1(y)在区间Iy{y|yf(x)xIx}上也是单调增加(或减少)且连续的所以它的反函数y=arcsinx在区间[-11]上也是连续的

例2

即：

单调连续的函数有单调连续的反函数.CompanyLogo定理3下页设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成

>>>意义1.极限符号可以与函数符号互换;例如,CompanyLogo注:(1)把定理中的xx0换成x可得类似的定理提示:

例3

解

下页定理3设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成

>>>CompanyLogo设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成U(x0)Dfog若函数ug(x)在点x0连续函数yf(u)在点u0g(x0)连续则复合函数yf[g(x)]在点x0也连续下页定理4注意

定理4是定理3的特殊情况.定理3设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成

>>>CompanyLogo设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成U(x0)Dfog若函数ug(x)在点x0连续函数yf(u)在点u0g(x0)连续则复合函数yf[g(x)]在点x0也连续下页定理4例如,CompanyLogosinu当-<u<+时是连续的

例4

解内是连续的

CompanyLogo三、初等函数的连续性结论

基本初等函数在它们的定义域内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的下页1.

三角函数

2.反三角函数

在其定义域内是连续的.(均在其定义域内连续)定义区间是指包含在定义域内的区间.CompanyLogo

例6

例5

解

解

下页利用连续性求极限举例特别地CompanyLogo例证明证特别地CompanyLogo

例7求令a

x-1=t

解

则x=log

a(1+t)

x0时t0于是利用连续性求极限举例另解:特别地=lnaCompanyLogo思考:

求解:原式说明:若则有CompanyLogo练习CompanyLogo练习Co补mp黎an娃y梅Lo犁go小结连续蔬函数凑的和缴差积驻商的葵连续眉性.复合厦函数脾的连容续性.初等搏函数踏的连雷续性.定义分区间阻与定逢义域掌的区孕别;求极艰限的栏又一暗种方众法.两个购定理;两点图意义.反函姜数的更连续接性.Co委mp叛an渗y迎Lo策go续?反例

x为有理数

x为无理数处处批间断,处处到连续.反之桌是否汉成立?作业P6奔8慈3(5夏)费,躁(善6)玻,昨(7切)捎;4(4孙)抄,狠(5久)民,促(6