运筹学第周课件

第一章线性规划及单纯形法1.线性规划问题及其数学模型2.线性规划的图解法3.线性规划问题解的概念4.单纯形法原理及计算步骤5.单纯形法的进一步讨论6.应用举例线性规划LinearProgramming简记LP

第一节线性规划问题及其数学模型

线性规划(Linearprogramm)是运筹学中发展较快,应用较广,比较成熟的一个分支。它实质上是解决稀缺资源在有竞争的应用领域中如何进行最优分配的问题。如经营管理中的:

(1)运输问题

(2)生产组织与计划安排问题

(3)合理下料问题

(4)配料问题

(5)布局问题等一、线性规划问题举例例1某工厂在生产过程中需要使用浓度为80%的硫酸100吨，而市场上只有浓度为30%、45%、73%、85%和92%的硫酸出售，每吨价格分别为400、700、1400、1900和2500元，试问应购买各种浓度的硫酸各多少，才能满足生产要求，并使得所花费用最少？解：1.用两种不同浓度的硫酸配制（初等代数法）确定决策变量：设

x1—浓度为45%的硫酸购买量

x2—浓度为92%的硫酸购买量列方程：x1

+x2=1000.45x1

+0.92x2=0.8×1002.用五种不同浓度的硫酸配制（线性代数法)确定决策变量：设x1—浓度为30%的硫酸购买量

x2—浓度为45%的硫酸购买量

x3—浓度为73%的硫酸购买量

x4—浓度为85%的硫酸购买量

x5—浓度为92%的硫酸购买量列方程：

x1+x2+x3+x4+x5=1000.3x1+0.45x2+0.73x3+0.85x4+0.92x5=0.8×100

3.考虑使费用最少(优化方法）

x1+x2+x3+x4+x5=100s.t.0.3x1+0.45x2+0.73x3+0.85x4+0.92x5=80

x1,x2,x3,x4,x5≥0

(s.t.=Subjectto)MinZ=400x1+700x2+1400x3+1600x4+2500x5这就是一个最小化的线性规划模型.Min---Minimize目标函数约束条件

例2

某企业计划安排生产甲、乙两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时和A、B两种原材料的消耗量，如下表，试问应如何安排计划可使该企业获得最大利润？

产品资源产品甲产品乙资源限制设备原材料A原材料B1402048（台时）16（kg）12（kg）单位利润（元/件）23解：1.确定决策变量：

x1为产品甲生产量,x2为产品乙生产量4.确定目标函数：

Maxz=2x1+3x2……….maximize2.确定约束方程：设备约束:x1+2x2≤8

原材料A约束:4x1

≤16

原材料B约束:4x2≤123.变量取值限制：x1≥0,x2≥0

把以上四个部分合起来，有：

Maxz=2x1+3x2(1)…….利润最大化

x1+2x2≤8(2)……..设备约束

4x1

≤16（3）……原材料A约束

4x2≤12（4）…….原材料B约束

x1，x2≥0（5）…….非负要求

这就是一个最大化的线性规划模型.(max---maximize)例3（课堂练习）美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。试问应如何安排计划可使该企业获得最大利润？

产品资源产品Ⅰ产品Ⅱ资源限制设备A（h）设备B（h）调试工序（h)06152115（h）

24（h）

5（h）单位利润（元/件）211.确定决策变量：

x1为产品Ⅰ生产量,x2为产品Ⅱ生产量2.线性规划模型：

MaxZ=2X1+X2(1)…….利润最大化

5X2≤15

(2)……..设备A约束

6X1+2X2≤24（3）…….设备B约束

X1+X2≤5（4）…….调试工序约束

X1，X2≥0（5）…….非负要求

【例4】环境保护问题。河流1：每天流量500万m3；

河流2：每天流量200万m3,水质要求：污水含量≤0.2%污水从工厂1流向工厂2有20%可以自然净化处理污水成本：工厂11000元/万m3；工厂2800元/万m3

问两个工厂每天各应处理多少污水可使总的处理费用最少？【解】设x1

、x2分别为工厂1、2每天处理的污水量（万m3），则工厂2：2万m31.4万m3

200万m3500万m3工厂1：LP模型为：【例1.5】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1.2所示。表1.2营业员需要量统计表商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。星期需要人数星期需要人数一300五480二300六600三350日550四400【解】设xj(j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为星期需要人数星期需要人数一300五480二300六600三350日550四400【例1.6】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？

【解】这是一个条材下料问题，设切口宽度为零。设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y3≤4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1.3所示。表1．3下料方案

方案规格

1234

5678910需求量y1(根)

221

11

0

00001000y2102

10

4

32101000y3

010

23

0

12451000余料（m）00.30.5

0.1o.4

00.30.60.20.5设xj(j=1过,2泊…,闪10极)为第j种下胃料方承案所荡用圆罚钢的骗根数招。则华用料垦最少铺数学芳模型为:求下节料方始案时馆应注纳意，恼余料驰不能傅超过缝最短葬毛坯攀的长冻度；晓最好忘将毛悄坯长共度按矮降的玻次序映排列音，即娱先切冬割长斜度最商长的代毛坯井，再赏切割师次长分的，迹最后偷切割财最短馆的，做不能助遗漏衔了方推案域。如猛果方波案较彩多，蹦用计裤算机释编程艰排方并案，污去掉网余料渣较长堪的方芽案，字进行杯初选谅。

方案规格

1234

5678910需求量y1(根)221

11

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10

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010

23

0

12451000余料（m）00.30.5

0.1o.4

00.30.60.20.5【例1.血7】配料倍问题坐。某洒钢铁洪公司泡生产暴一种肚合金乏，要料求的宇成分您规格变是：瘦锡不秤少于28驱%，锌阔不多咽于15角%，铅记恰好10煮%，镍世要界镰于35链%~偷55仆%之间岩，不黄允许陆有其闲他成栋分。诞钢铁流公司沫拟从隔五种伯不同孔级别蹲的矿擦石中互进行纤冶炼慨，每谈种矿染物的赚成分毕含量可和价园格如坝表1.终4所示端。矿衫石杂下质在落治炼弱过程遭中废纤弃，远现要联求每死吨合骆金成腔本最刚低的庙矿物量数量奥。假牛设矿厦石在苍冶炼柏过程甜中，候合金懒含量草没有机发生洒变化只。表1.引4矿石争的金展属含末量

合金矿石锡%锌%铅%镍%杂质费用（元/t）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151755190解:设xj（j=1杂,2，…，5）是工第j种矿枕石数他量，小得到烛下列坚线性貌规划艘模型注意动，矿泽石在足实际骄冶炼罩时金秀属含春量会偏发生昼变化锅，建桥模时驻应将汽这种勉变化饲考虑壁进去跳，有瓜可能健是非喘线性甲关系晃。配底料问菊题也凯称配聋方问侮题、葵营养烛问题肯或混史合问唐题，毫在许宣多行舅业生歼产中警都能季遇到叼。矿石锡%锌%铅%镍%杂质费用（元/t）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151755190【例1.意8】投资骗问题疤。某蛇投资锅公司揭在第破一年亡有20帐0万元惊资金铃，每站年都岔有如纽奉下的盛投资覆方案牵可供踪蝶考虑喉采纳润：“缝假使价第一虾年投易入一帜笔资数金，艘第二丹年又稳继续狠投入楼此资叉金的50季%，那密么到浅第三梁年就忌可回筝收第浮一年倾投入文资金鸦的两阿倍金病额。橡投资虫公司倍决定本最优数的投匆资策佳略使结第六骡年所甚掌握收的资局金最密多。第五喘年：(x7/2鱼+x9)=x8+2x5第一勿年：x1+x2=2匪00虾(万元)第二批年：(x1/2大+x3)+x4=x2第三泊年(x3/2够+x5)+x6=x4+2x1第四沾年：(x5/2月+x7)+x8=x6+2x3到第志六年蛮实有筝资金解总额防为x9+2x7，整修理后互得到常下列水线性堡规划裂模型【解】设x1：第柳一年穿的投横资；x2：第店一年阿的保才留资童金x3：第轰二年猪新的臣投资皮；x4：第待二年汽的保镰留资尤金x5：第馋三年厕新的彻投资旬；x6：第掀三年朵的保妈留资煤金x7：第口四年竞新的读投资x8：第歼四年蜻的保指留资婆金x9：第赔五年敌的保衫留资顿金1X155.28462X2144.71553X3117.07324X405X552.03256X607X7208.13018X809X90最优势解：Z＝41雀6.穴26万元x1：第斗一年墙的投家资；x2：第桃一年匀的保星留资六金x3：第给二年克新的望投资绞；x4：第网二年狼的保格留资斗金x5：第规三年下新的判投资哥；x6：第筛三年天的保期留资丸金x7：第刑四年很新的垫投资x8：第蜂四年桂的保赶留资蒜金x9：第采五年告的保衣留资厚金【例1.誉9】均衡行配套悲生产镰问题灾。某杯产品霸由2件甲童、3件乙增零件霸组装沸而成盘。两鱼种零惑件必叹须经济过设臣备A、B上加援工，辅每件记甲零奸件在A、B上的哥加工凑时间竞分别辩为5分钟释和9分钟荒，每新件乙储零件同在A、B上的姨加工洒时间血分别持为4分钟庭和10分钟骨。现造有2台设桑备A和3台设忧备B，每邻天可筛供加疗工时奶间为8小时咱。为犬了保炒持两消种设坟备均蒜衡负订荷生蕉产，笨要求蕉一种款设备夸每天饱的加昼工总裳时间胶不超鞋过另尿一种除设备摔总时筛间1小时赏。怎抱样安折排设范备的垮加工钉时间缓使每倘天产蓄品的侄产量逆最大今。【解】设x1、x2为每他天加篇工甲誉、乙圈两种渔零件乘的件握数，发则产掩品的买产量嚼是设备A、B每天滴加工正工时双的约闲束为要求乘一种项设备次每天朱的加步工时蝴间不还超过走另一雄种设偶备1小时雷的约竖束为目标巷函数煤线性田化。搬产品含的产网量y等价茶于整理惭得到笨线性诸规划促模型约束烦线性粱化。乏将绝主对值漆约束晒写成挪两个狂不等揪式例：2ax用一炒块边岛长为2a的正尚方形政铁皮毫，四强角剪件去相安等小怨正方赢形后蛮将四如边折谋起做愈一个炎铁盒怠，问负：如逃何剪析能使董做成什的盒恭子体封积最恒大？底不是勤线性育规划虎问题解的∶暴设铁斤皮四愿角各感截去尊边长队为x的正怪方形竭。则:容器落的高室为x盟,底边吧长为2a羞-2巷x,容积V为:V=像(已2a波-2段x)2.x破=4彩a2x-忠8a赤x2+4笋x3求ma圆x饥V馆=(掌2a顾-2宋x)2.x在满滔足2x2ax0V所做衣成的刃盒子均的体左积。二、灶线育性规忌划的孟一般肿形式1.相关朽概念（1）决柜策变便量：在指模姜型中燃要求跨解的泛未知助量，校简称肯变量烦。（2）目庸标函嫌数：务指模坡型中扫要达全到的凳目标也的数异学表脖达式置。（3）约寸束条桨件：献指模叼型中央的变呈量取柏值所帆需要桂满足超的一歪切限低制条轿件。此三秀项内竖容称从为模剑型结祥构的的三要电素。2.线性华规划再模型筐的一陶般要才求（1）变诸量：温取值际为连刷续的顾、可梁控的张量；（2）目逐标函誉数：勺线性斥表达盗式；（3）约武束条棒件：奴线性麻的等溉式或忆者不厨等式鸡。线性秃规划唯的一巩般形贴式为揪：s.刑t.….挥….伞.逮….mi蚊n是mi痛ni司mi搬ze的缩躺写，苏含义膊为“学最小用化”ma镰x是ma脉xi挠mi圈ze的缩舟写，配含义糖为“饲最大确化”线性遗规划厚的一冒般式向量挪形式C=俊(c1,政c2,裂…责,践cn)价值孔向量,线性营规划议数学斑模型孟的几完种表临达形统式限定写向量变量xj对应渐的系絮数列路向量线性吵规划捡数学歇模型圾的几扮种表稍达形给式矩阵顺形式约束亚条件栗系数颤矩阵LP模型龄的主梦要特相征：1.用一补组决巷策变织量表有示方债案；2.存在症一些铁限制停条件华，称雨其为村约束谦条件嫂；3.有一蜜个目肯标要址求例：验下列谎数学萄模型孔中，愧哪些但是LP模型舌，哪斧些不蝴是，卸哪出些不荒是但奴可以坏转化暑为LP模型浓。1.循M吴ax痰Z授=3雄x1+天x222.覆S=粉-侨8扭x1+荷x2x1+4背x2≤9瓦-扛x1+5队x2≤77x2≥5x1+7x2≥5x1，x2≥0例x1，x2≥03.奔M资ax嘴S踪蝶=患x1+榴2x2－8孙4窄.误M剂in艘S抗=匠-8兼x1+汉x2x1+2抱x2≤6糖-x1+5巴x2≤73x1+趟7x2≥5x1+7x2≥5x1，x2≥0恶x1，x2≥0∣∣第二鹅节肝图解薪法Gr闲ap剩hi呆ca严l伪Me舍th怎od——仅适叙用于条两个荒变量们的LP求解图解木法的量步骤誓：1.求可他行解棋集合脑。分别赞求出饭满足堵每个完约束召包括油变量花非负贺要求掩的区呀域，啄其交川集就格是可抖行解杨集合卷，或谅称为可行圾域；2.绘制母目标青函数贯图形潜。先过程原点枕作一赛条矢验量指近向点年（c1,c2)，矢量崇的方犬向就珍是目链标函亿数增矩加的免方向更，称梨为梯期度方尝向，再挨作一积条与矢花量垂钟直的令直线磁，这薪条直宗线就床是目帽标函固数图况形；3.求最悦优解才。依据赤目标蛾函数凳