质点运动微分方程

第三篇动力学引言回顾静力学研究物体在力系作用下的平衡规律及力系的简化；运动学从几何观点研究物体的运动，而不涉及物体所受的力；动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。是理论力学中最具普遍意义的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。动力学的研究对象：动力学的理论基础：牛顿定律的适用范围（1）不适于微观物体；（2）物体的运动速度不能太大。牛顿的运动三定律，简称牛顿定律或动力学基本定律动力学分为质点动力学和质点系动力学：质点：具有一定质量而几何形状和大小可以忽略不计的物体。质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。质点系可分为不变质点系（如单个刚体）和可变质点系（如刚体系统）本课程重点放在质点系动力学。牛顿★

牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。★

牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。★牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学的数学原理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。解决动力学两类基本问题的途径：直接应用牛顿定律建立质点的运动微分方程；综合应用动力学普遍定理；应用达朗伯定理。牛顿力学动力学的主要任务（解决的基本问题）：第一类：已知物体的运动规律，求作用在此物体上的力；第二类：已知作用在物体上的力求此物体产生什么样的运动。第十章质点动力学的基本方程§10-1动力学的基本定律§10-2质点的运动微分方程§10-3质点动力学的两类基本问题★第一定律（惯性定律）§10-1动力学的基本定律不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。本定律揭示了一切物体均有保持静止或作匀速直线运动的性质，即惯性。说明：匀速直线运动称为惯性运动。明确了力是改变（而不是维持！）物体运动的原因。★第二定律（力与加速度之间的关系的定律）质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。即此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。质量是质点惯性的度量。说明：在地球表面，物体受重力作用，有P=mg式中，g—重力加速度，一般取g

=9.80m/s2。★第三定律（作用与反作用定律）两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。动力学基本定律说明：（1）牛顿三定律适用的坐标系称为惯性坐标系。工程问题中，取固于地面或相对于地面作匀速直线运动的坐标系为惯性坐标系，（2）以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学。§10-2质点的运动微分方程xozyrijkF1FnFiaFRaaa

M根据牛顿第二定律，若质点M的质量为m，受n个力F1,F2,….,Fn作用，则有或而则矢量形式的质点运动微分方程。1.质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影xozyrijkF1FnFiaFRaaa

M将式向坐标轴投影，得直角坐标形式的质点运动微分方程2.质点运动微分方程在自然轴上的投影bnaFτ(＋)(－)m在质点M的运动轨迹上建立自然轴系Mbn，

根据点的运动学知，质点的加速度在运动轨迹的密切面内，即所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内，则自然轴系的质点运动微分方程§10-3质点动力学的两类基本问题第一类基本问题：已知质点的运动，求此质点所受的力。如果知道质点的运动规律，通过导数运算，求出该质点的速度和加速度，代入质点的运动微分方程，得一代数方程组，即可求解。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。求解质点动力学的第二类基本问题，如求质点的速度、运动方程等，归结为解微分方程或求积分问题，还需确定相应的积分常数。因此，需按作用力的函数规律进行积分，并根据具体问题的运动条件确定积分常数。在实际问题中，只有在一些比较特殊的情况下，能解出微分方程，获得解析解；更多情况下，往往只能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或数值解。注意：微分方程等号左边总设为正，等号右边是力在坐标轴上的投影，应注意投影的正负号。1、求质点的加速度yxoyx解：例题1质点M的质量为m，运动方程是x=bcosωt,y=dsinωt，其中b,d,ω为常量。求作用在此质点上的力。ij2、求质点所受的力由得M讨论：⑴力的方向永远指向椭圆中心，为有心力；⑵力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。易知：求质点的轨迹方程：从运动方程中消去

t，得yxorijyxMF质点所受的力可表示为例2在均管匀的供静止作液体锄中，献质量街为m的物燥体M从液莫面处扎无初值速下疤沉。锤设液稻体阻况力FR=，其中鸽为阻另尼系戚数。朴试分输析该腾物体掉的运菊动规坊律及协其特府征。解：田为建铁立质蛾点M的运庄动微年分方继程,将参催考坐玻标系青的原攀点固破结在穗该点周的起盾始位黄置上缸，x轴铅涂直向扛下。窃该质扎点的懂受力床图如刘图，维则质秒点M的位辞移、金速度雹、加劳速度理均设盐为沿x轴的煮正方叠向。距则运鸣动微读分方吸程为FR8.杨3质点允动力旧学的碍两类滤基本维问题FR令这就午是该物扰体下恼沉的允运动持规律唇。运动型的起祖始条联件为挖：t=史0时，v0=腰0，x0=奴08.惩3质点汁动力荣学的队两类炼基本饥问题该物凝体下司沉速嫩度将拼趋近察一极娇限值这个堵速度联称之垄为物堡体在划液体帖中自筹由下酬沉的极限引速度讨论蹦：由珠此可即以看茄出在紧阻尼爱系数帽基本寻相同盐的情完况下序（即众物体仓的大罗小、呼形状却基本策相同辟时）鹅，物表体的特质量从越大属，它息趋近醒于极污限速盖度所需性的时舅间越砌长。可工程颗中的暂选矿射、选副种工扬作，贿就是广应用晕了这讯个道轰理。8.累3质点降动力性学的责两类边基本膀问题例题3已知洁桁车菜吊的单重物叨重为G，以匀尺速度v0前进坐，绳逼长为l。求突啊然刹型车时竭，绳昂子所勺受的侄最大恳拉力豆。解：叛研究掩重物恋，桁车仆突然域刹车忘后，蜂重物姥做圆领弧摆渡动。当其滩摆至φ角处切，受巧力如邀图。由自正然轴倡系的论质点枝运动煤微分下方程冷，有(a隔)(b便)可知贼，拉绩力T与重低物的熊速度v、摆角φ有关具，v0φTGτnv对(a似)式进制行分顾离变软量并贫积分越：l(c盒)将(c交)式代因入(b花)式，禾得当φ骆=疲0时，Gv0φGGTGτnvl本例仔的实际际指灵导意长义：⑴桁