新教材人教A版必修第二册第6章631平面向量基本定理学案

6.3平面对量根本定理及坐标表示6.学习任务核心素养1．了解平面对量根本定理及其意义．(重点)2．了解向量基底的含义．在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量．(难点)1．通过作图得出平面对量根本定理，培育直观想象素养．2．通过基底的学习，提升直观想象和规律推理的核心素养．一天，2只住在正西方向的大猴子和4只住在北偏东30°方向的小猴子同时发觉一筐桃子，他们分别朝着自己住的方向拉，每只大猴子的拉力是100牛顿，每只小猴子的拉力是50牛顿．问题：你认为这筐桃子往哪边运动？学问点平面对量根本定理1．平面对量根本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e22．基底假设e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内全部向量的一个基底．0能与另外一个向量a构成基底吗？[提示]不能．基向量是不共线的，而0与任意向量都共线．1．思索辨析(正确的画“√〞，错误的画“×〞)(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底． ()(2)基底中的向量可以是零向量． ()(3)平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． ()[答案](1)√(2)×(3)√2．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A．{e1，e2} B．{e1＋e2,3e1＋3e2}C．{e1,5e2} D．{e1，e1＋e2}[答案]B3．假设a，b不共线，且la＋mb＝0(l，m∈R)，那么l＝________，m＝________．[答案]004．假设AD是△ABC的中线，eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，假设{a，b}为基底，那么eq\o(AD,\s\up7(→))＝________．[答案]eq\f(1,2)(a＋b)类型1对基底的理解【例1】(多项选择题)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，那么以下向量组可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A．eq\o(AD,\s\up7(→))与eq\o(AB,\s\up7(→)) B．eq\o(DA,\s\up7(→))与eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(CA,\s\up7(→))与eq\o(DC,\s\up7(→)) D．eq\o(OD,\s\up7(→))与eq\o(OB,\s\up7(→))AC[选项A，eq\o(AD,\s\up7(→))与eq\o(AB,\s\up7(→))不共线；选项B，eq\o(DA,\s\up7(→))＝－eq\o(BC,\s\up7(→))，那么eq\o(DA,\s\up7(→))与eq\o(BC,\s\up7(→))共线；选项C，eq\o(CA,\s\up7(→))与eq\o(DC,\s\up7(→))不共线；选项D，eq\o(OD,\s\up7(→))＝－eq\o(OB,\s\up7(→))，那么eq\o(OD,\s\up7(→))与eq\o(OB,\s\up7(→))共线．由平面对量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，应选项A、C满意题意．]如何推断两个向量是否能构成基底？[提示]两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．假设共线，那么不能作基底，反之，那么可作基底．eq\o([跟进训练])1．假设向量a，b不共线，那么c＝2a－b，d＝3a－2b，试推断{c，[解]设存在实数λ，使c＝λd，那么2a－b＝λ(3a－2即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0，由于向量a，b不共线，所以2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故{c，d}能作为基底．类型2用基底表示向量【例2】(1)(多项选择题)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，那么以下结论正确的选项是()A．eq\o(AD,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a－b B．eq\o(BE,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)bC．eq\o(CF,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b D．eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a(2)如下图，▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，假设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，试用a，b表示向量eq\o(DE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))．(1)ABC[如图，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝－b＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))＝－b－eq\f(1,2)a，A正确；eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＝a＋eq\f(1,2)b，B正确；eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＝－b－a，eq\o(CF,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝b＋eq\f(1,2)(－b－a)＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a，C正确；eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a，D不正确．](2)[解]eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝－eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝－eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝a－eq\f(1,2)b．eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝b－eq\f(1,2)a．1．假设本例(2)中条件不变，试用a，b表示eq\o(AG,\s\up7(→))．[解]由平面几何的学问可知eq\o(BG,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up7(→))，故eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up7(→))＝a＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a))＝a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)a＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b．2．假设本例(2)中的基向量“eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))〞换为“eq\o(CE,\s\up7(→))，eq\o(CF,\s\up7(→))〞，即假设eq\o(CE,\s\up7(→))＝a，eq\o(CF,\s\up7(→))＝b，试用a，b表示向量eq\o(DE,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))．[解]eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＝2eq\o(FC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＝－2eq\o(CF,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＝－2b＋a．eq\o(BF,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝2eq\o(EC,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝－2eq\o(CE,\s\up7(→))＋eq\o(CF,\s\up7(→))＝－2a＋b．用基底表示向量的三个依据和两个“模型〞(1)依据：①向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么；②向量减法的几何意义；③数乘向量的几何意义．(2)模型：eq\o([跟进训练])2．M，N，P是△ABC三边上的点，且eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))，eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))，假设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，试用a，b将eq\o(MN,\s\up7(→))，eq\o(NP,\s\up7(→))，eq\o(PM,\s\up7(→))表示出来．[解]eq\o(NP,\s\up7(→))＝eq\o(AP,\s\up7(→))－eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b，eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(CN,\s\up7(→))－eq\o(CM,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)(a－b)＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(PM,\s\up7(→))＝－eq\o(MP,\s\up7(→))＝－(eq\o(MN,\s\up7(→))＋eq\o(NP,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)．类型3平面对量根本定理的唯一性及其应用【例3】如下图，在△OAB中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．假设OM与BN相交于点P，求eq\o(OP,\s\up7(→))．假设存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？[提示]由题意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即λ1－μ1e1＝μ2－λ2e2，由于e1，e2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2.[解]eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋Aeq\o(M,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b．由于eq\o(OP,\s\up7(→))与eq\o(OM,\s\up7(→))共线，故可设eq\o(OP,\s\up7(→))＝teq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(t,3)a＋eq\f(2t,3)b．又eq\o(NP,\s\up7(→))与eq\o(NB,\s\up7(→))共线，可设eq\o(NP,\s\up7(→))＝seq\o(NB,\s\up7(→))，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))＋seq\o(NB,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up7(→))＋s(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(ON,\s\up7(→)))＝eq\f(3,4)(1－s)a＋sb，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)1－s＝\f(t,3)，,s＝\f(2,3)t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝\f(9,10)，,s＝\f(3,5)，))所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(3,10)a＋eq\f(3,5)b．1．将本例中“点M是AB上靠近B的一个三等分点〞改为“点M是AB上靠近A的一个三等分点〞，“点N是OA上靠近A的一个四分点〞改为“点N为OA的中点〞，求BP∶PN的值．[解]eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a－b，eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b．由于B，P，N和O，P，M分别共线，所以存在实数λ，μ使eq\o(BP,\s\up7(→))＝λeq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\f(λ,2)a－λb，eq\o(OP,\s\up7(→))＝μeq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(2μ,3)a＋eq\f(μ,3)b，所以eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OP,\s\up7(→))＋eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2μ,3)－\f(λ,2)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(μ,3)＋λ))b，又eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2μ,3)－\f(λ,2)＝0，,\f(μ,3)＋λ＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5)，))所以eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\f(4,5)eq\o(BN,\s\up7(→))，即BP∶PN＝4∶1．2．将本例中点M，N的位置改为“eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MB,\s\up7(→))，N为OA的中点〞，其他条件不变，试用a，b表示eq\o(OP,\s\up7(→))．[解]eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)b－a，eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(ON,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a－b．由于A，P，M三点共线，所以存在实数λ使得eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(λ,3)b－λa，所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AP,\s\up7(→))＝(1－λ)a＋eq\f(λ,3)b．由于B，P，N三点共线，所以存在实数μ使得eq\o(BP,\s\up7(→))＝μeq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\f(μ,2)a－μb，所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BP,\s\up7(→))＝eq\f(μ,2)a＋(1－μ)b．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(μ,2)，,\f(λ,3)＝1－μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,5)，,μ＝\f(4,5)，))所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)b．1．任意一向量基底表示的唯一性的理解条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2条件二a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2结论eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝λ2，,μ1＝μ2))2．任意一向量基底表示的唯一性的应用平面对量根本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2．在详细求λ1，λ2时有两种方法：(1)直接利用三角形法那么、平行四边形法那么及向量共线定理．(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．1．平行四边形ABCD，那么以下各组向量中，是该平面内全部向量基底的是()A．{eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))} B．{eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))}C．{eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(CB,\s\up7(→))} D．{eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(DA,\s\up7(→))}D[由于eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(DA,\s\up7(→))不共线，所以是一组基底．]2．设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up7(→))＝3eq\o(CD,\s\up7(→))，那么()A．eq\o(AD,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→)) B．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→)) D．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))A[eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up7(→))．应选A．]3．如图，在矩形ABCD中，假设eq\o(BC,\s\up7(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up7(→))＝3e2，那么eq\o(OC,\s\up7(→))＝()A．eq\f(1,2)(5e1＋3e2) B．eq\f(1,2)(5e1－3e2)C．eq\f(1,2)(3e2－5e1) D．eq\f(1,2)(5e2－3e1)A[eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(5e1＋3e2)．]4．非零向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))不共线，且2eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，假设eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))(λ∈R)，那么x，y满意的关系是()A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0A[由eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，得eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OP,\s\up7(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))，即eq\o(OP,\s\up7(→))＝(1＋λ)eq\o(OA,\s\up7(→))－λeq\o(OB,\s\up7(→))．又2eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2λ，,y＝－2λ，))消去λ得x＋y＝2．]5．如图，在平行四边形ABCD中，设eq\o(AC,\s\up7(→))