布朗运动以及维纳过程学习难点总结

1、引言布朗运动的数学模型就是维纳过程。布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不规则的运动。我们现在用W(t)来表示运动中一个微小粒子从时刻 t0到时刻t0的位移的横坐标，并令W(0) 0。根据Einstein的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，是因为在每一瞬间，粒子都会受到其他粒子对它的冲撞，而每次冲撞时粒子所受到的瞬时冲力的大小和方向都不同，又粒子的冲撞是永不停息的，所以粒子一直在做着无规则的运动。故粒子在时间段(s,t］上的位移，我们可把它看成是多个小位移的总和。我们根据中心极限定理，假设位移W(t)W(s)服从正态分布，那么在不相重叠的时间段内，粒子碰撞时受到的冲力的方向和大小都可认为是互不影响的，这就说明位移W(t)具有独立的增量。此时微粒在某一个时段上位移的概率分布，我们便能认为其仅仅与这一时间段的区间长度 有关，而与初始时刻没有关系，也就是说W(t)具有平稳增量。2.维纳过程2.1独立增量过程维纳过程是典型的随机过程，属于所谓的独立增量过程，在随机过程的理论和应用中起着很重要的作用。现在我们就来介绍独立增量过程。定义：｛X(t),t0｝是二阶矩过程，那么我们就称x(t)X(s),0st为随机过程在区间(s,t］上的增量。若对任意的n(nN)和任意的0tt1 tn0 ，个增量nX(t1) X(t0),X (t)2 X(t),1 ,X(t)n X(tn1)1 0 2 1 n n1是相互独立的，那么我们就称｛X(t),t0｝为独立增量过程。我们可以证明出在X(0) 0的条件下，独立增量过程的有限维分布函数族可由增量X(t)X(s),(0st)的分布所确定。如果对hR和0shth,X(th)X(sh)与X(t)X(s)的分布是相同的，我们就称增量具有平稳性。那么这个时候，增量 X(t)X(S)的分布函数只与时间差ts(0st)有关，而与t和s无关(令h s便可得出)。值得注意的是，我们称独立增量过程是齐次的，此时的增量具有平稳性。

2.2维纳过程的定义给定二阶矩过程{W(t),t0}，若满足具有独立增量；对t>s0,有增量W(t)W(s)〜N(0, (2s)),且 0；(iii)W(0) 0，则称此过程是维纳过程。由(ii)我们可得出维纳过程增量的分布只依赖于时间差 ，故维纳过程是齐次的独立增量过程，并且也服从正态过程。事实上对任意 n(n1)个时刻0tt21…tn(记t00)，把W(t)写成kkW(t) [W(t)W(t)],i i1k i1k1,2,,n,我们由(1) (iii)知，它们都是独立的正态随机变量的和，由n维正态变量的性质可得出(W(t),W(t)，,W(t))是维正态变量，即{W(t),t 0}是正态过程。所以其分布12n依赖于它的期望函数和自协方差函数。由(ii),(iii)可知，W(t)〜N(0,故维纳过程的期望与方差函数为E[W(t)] 0E[W(t)] 0，D(t)2t上式中2叫做维纳过程的参数，我们通过做实验得出数据值可估计出其大小。得自协C(s,t)R(s,t)C(s,t)R(s,t)WW2min{s,t}s,t02.3维纳过程的特点它是一个Markov(马尔科夫)过程。故未来推测所需的数据信息就是该过程的当前数据值；维纳过程具有独立增量。即该过程在任意一个时间区间上变化的概率分布， 与其在其他的时间区间上变化的概率无关；在任何有限时间上，维纳过程的变化服从正态分布，其方差随时间区间长度的增长而呈线性增加。

2.4维纳过程的性质(1)基本性质对tR,一维维纳过程在t时刻是一个随机变量，其概率密度函数是:f(x)W' /t1f(x)W' /tex2/2t2t这是因为根据维纳过程的定义得出当s这是因为根据维纳过程的定义得出当s0时，能推出W(t)的分布:W〜N(0,t)0它的数学期望是零：E(W)t0它的方差是 t:Var(W)tE(W)tE(W)tE(W)20它的数学期望是零：E(W)t0它的方差是 t:Var(W)tE(W)tE(W)tE(W)20t在维纳过程的独立增量的定义中，令t2t ,ss,0,那么1WWW〜N(0,s)稱Ws t s t11Wt2N(0,ts)都是相互独立的随机变量，并cov(W,W)stE[(WE(W))(Ws sE(W))]t故在两不同时刻0故在两不同时刻0s,t,W与W的协方差和相关系数是???cov(W,W)min(s,t),stcorr(W,Wt) COv(W,Wcov(W,W)min(s,t),stcorr(W,Wt) COv(W,W?smin(s,t)stmin(s,t)max(s,t)Ws Wt3•维纳过程的应用3.1股票价格的行为模式?我们经常应用的假设是股价服从扩散过程，且大部分情况下都是几何布朗运动。?在此条件下，任一时期的复合收益率是服从正态分布的。? 由于正态分布满足加法的封闭性，所以不管股票的套利组合是什么样的， 它都依然服从正态分布。?如果我们假设风险行为减到零，那么股票收益率的分布同样也是服从正态分布的。(i)经典的假设理论我们先来介绍随机游走模型，其表达式为：(1)

其中：S,S tt1时刻的股票价格，tt1表示时刻和〜N(0, 2)表示均值为〜N(0, 2)表示均值为°,方差为t如果我们令S是股价关于时间的函数，那么得随机游走模型：dS(t)dZ(t)上式中Z(t)表示标准维纳过程。然而，事实上它仅解释了股价的波动率，仅仅是我们理想情形下的模型。漂移率为°也就是说，在未来任何一个时刻，股价的均值等于其当前值。 如果我们设时间区间长度为1年，在前一年的股价条件不发生变化的情形下， 那么该年度的股价就等于前一年度的股价均值，在此种情况下，持股人就很难做到持股时间大于 1年，这显然与现实生活中的情况不相符。况且我们有充分理由认为，由于上市公司在不断的经营扩大， 所赚取的利润也在不断的增长，所以从长远来看， 公司的股价应该呈现出逐渐增长的走势 ，故漂移率是不可能为零的。那么我们通过一个一般化的维纳过程就能来解释股票的价格行为 (当然该一般化的维纳过程的期望漂移率和方差率是定值) ，然而由于持股人想要来自股票的期望百分比收益不依赖于股票价格，因此假设期望漂移率为一个常数也是不合乎常理的。现在我们假设期望漂移率为股票价格的比例，并且其为一个定值，也就是说股价的期望漂移率为 S,恒等于一个自然数，在几何条件下，它的解释就是股票的期望收益率。在此假设下，经过 t时间后，S的增长均值为 St,即E(S)St,其中E()表示期望算子。当方差率为 °时，则微分形式的模型：dSSdt可得SSet,式中的S表示股票的最初价格，由此可看出， 当方差率为° ° °时，股价的利率为，以连续复利的方式增长。然而现实生活中，股价的方差率一般是不可能为零的，因此合乎常理的 假设应该是股票的百分比收益率的方差不发生变化 。若我们令股价比例变化的方差率为 2,经过t后，股价比例变化的方差为 2t,那么事实上股价真正变化的方差为 22S：所以得到股价波动走势的模型：dSSdtSdZ (3)上式中Z表示标准维纳过程。我们用随机分析的理论来说，这就是 ITO过程。其中，S称作漂移系数， S称作扩散系数。方程(3)能够在一定程度上描述股票价格行为。我们常把称为股价波动率，把称为股价的预期收益率。下面我们先来介绍一下随机分析理论中的 ITO引理：设F(S,t)是关于S两次连续可导，关于t一次可导的函数，S为满足随机微分方程(3)的扩散过程，故可得到随机变量函数的 ITO微分形式1dF(S,t)FdtFdS 2Fdtt s 2SS1,FSSS如果我们定义F(S,t)InS，由F°，fs1S则有2t2)dZ2上式说明lnS服从一般化的维纳过程，当变量 S表示股价时，我们可看出股价服从对dInS(数正态分布。现在我们将式(5)写成增量形式，则有股票收益过程为lnStSt1122)(6)并且令Z〜N(0,1)为独立的维纳过程,在此条件下R〜N(,t)是独立的。表示股票的期收益率,表示股票的初始价格，则