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文档简介
设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域区域D内则行走方向是L的正向定理1设有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成数P(xy)及Q(xy)在D上具有一阶连续偏导数PdxQdy(QP)dxd PdxQdy
注:对复连通区域D 括沿区域D的全部边界的曲线积分且边证明:1)若DX-型区域,Y-型区域,yEADCBD:1(x)yyEADCB ax 1(y)x2(D:
cy d则d
Qdxd
dy
o bD d
1( d
Q(2(y),y)dy
Q(1(y),y)dCBEQ(x,y)dyCAEQ(x,y)dCBEQ(x,y)dyEACQ(x,y)d
Qdxdy
Q(x,y)d D
Pdxdy
P(x, D Q
dxdy
PdxQd 2)若D不满足以上条件,yyL
Q
dxd QPk n
dxd Dk
PdxQd
(Dk表示Dk的正向边界LPdxQd PdxQdy(QP)dxd A2
xdyyLybsin例如Lxacosybsin
A2
xdyyL0
π 例1计算
ey
dxd
其中DO(0,0)A(1,1)解令P0,Qxey2,QPey2 ,
Dy
ey
dxdy
xey2d xey2d
1yey20
例2.L是一条分段光滑的闭曲线2xydxx2L
dy证P2xy,Qx2QP2x2x ,2xydxxL
dy
0dxdyD3计算
A曲线AB是半径为r引入辅助曲线
L 应
P0
OAxdyAB
D由于OAxdy ,BOxdy D
1r2.4 设C为沿x2y2a2从点(0,a)依逆时到点(0,a的半圆y2ya2
dxax2yln(x
)C 解:添加辅助线如图,利 yC原式
2 2
DCox
2dxd a(2ylna)d
12例5计算
xdyydx其中Lx2y2解P
x2y2
,Q
x2y2
则当x2y20时Q y2 (x2y2 L所围区域为 xdyydx x2y2当(0,0D时,在D内作圆周lx2y2r2,取逆时针方向,LlˉD1对区域D1应用 ,得(r很小 xdy x2y2
xdy x2y21xdy 1Ll
x2y2
0dxdy xdy x2y
xdy x2y2 r2cos2r2sin20 r
d设G是一个开区域P(xy)、Q(xy)在区域G
以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2 LPdxQdy
恒成立就说曲线积分LPdxQdyG与路径无关否则说与路径有关定理2.设D是单连通域函数P(x,yQ(x,y)在D内具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:沿DLLPdxQdy0.与路径无关只与起止点有关PdxQdyDu(xy)的全微分 du(x,y)PdxQdDPQ L1,L2为D内任意两条由A到B线
PdxQdy
121121
PdxQdyLPdxQdL LPdxQdy L
(根据条件 12 PdxQdy12
B说明积分与路径无关时BABPdxQdy
APdxQd B(x,y)C(x,y0在D内取定点AB(x,y)C(x,y0u(x,y)
(x,(x0,y0
x,y xuu(xx,y)u(x, (xx,(x,
(xx,(x,
P(xx,ulimxulimP(xx,y)P(x, uQ(x,y),duPdxQd uxyduPdxQd uP(x, uQ(x, ,P Q, PQD内具有连续的偏导数,P
所以x
(如图),因此在DP 利 ,LPdxQdy
(QP)dxd
根据定理2PQ, 求曲线积分时,可利用 若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;可用积分法求duPdxQdyD内的原函数取定点x0y0DxyD(x,y u(x,y)(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)d x0x0
P(x,y0)dx
Q(x,y)d 或u(x,y) Q(x0,y)dy P(x,
例6计算L
3y)dx(
xdy,其中L圆周y 4xx2从O(0,0)到A(4,解:为了使用 ,添加辅助线段AO,它与L所围区域为D,则原式LAO
3y)dx(
x)dOA(x
3y)dx(2
x)d4Ddxd
4x2 L0L3
A例7.验证xy2dxx2ydy是某个函数的全微分并求证:设Pxy2,Qx2y,P2xy由定理2可知u(xyduxy2dxx2yd
(x,。。。u(x,y)
(x,y)xy2dxx2ydy y
x2yd
yx2ydy0
1x2y2xdyyd例8验证x2y2
x0数并求出它证:令P
,Q
(x,x2y2P y2
x2y2(x,0(x0 (x,0
(x2y2 u(x,y)
(x,
xdyydx2y d
0
x0x2y
x
(x0或u(x,y)
x2y2
(x,0y(x,0
(x, d
01y2
x2y2 arctanyarctany
arctan (x0xPdxQd
P dxdL
D yPQD内具有一阶连续偏导数LPdxQdyD内与路径无关DL有LPdxQdy D内有xDduPdxQd41Lx21y21,lx2y24,4
2l xdy
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