高三教案-数学两角和与差的正弦、余弦和正切公式,简单三角恒等变换

α＋cos2α＋cos2科长名第五节角和与差的正弦余弦和正切式一知清．(1)角和与差的余弦cos(＋)，cos(－)(2)两角和与差的正弦αβ)＝_____________________________________________，αβ)＝_____________________________________________.(3)两角和与差的正切tan(＋)_____________________________________________，tan(－)π(αβ，＋，－均等于＋，∈Z)其变形为：tanα＋tan＝α＋)(1－αtanβ)，tanα－tan＝α－)(1＋αtanβ)．2．二倍角的正弦、余弦、正切式(1)sin2α＝________________；(2)cos2α＝______________－＝1－________________；kππ(3)tan2α＝α≠＋且≠π＋)．2423．公式的逆向变换及有关变形sin2(1)sinαcosα＝____________________cosα＝；2sinα(2)降幂公式：sinα＝________________cosα＝；升幂公式：＋cosα＝________________1cosα＝_____________；变形：±α＝

α±αcosα＝________________________.．辅助角公式sinαbα＝＋bαφ)，cos＝，sinφ＝，其中

角φ称为辅助角．

32561223256122自我检1．判断正(在括号内打“√”或“³两角和与差的正弦、余弦公式中的角，β是任意的．()存在实数α，β，使等式α＋β)＝sinα＋β成立()(3)公式tan(＋β)＝

tanα＋β1－tanαβ

可以变形为α＋β＝tan(＋β)(1－tanαβ)，且对任意角，β都成立．()存在实数α，使＝α.()32．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则2＝()A．－

53

B．－

59

C.

59

D.

533．人教A必修4P137A13(5)改编sin347°cos148°＋sin°²58°＝________．4．设sin2＝－α，α∈，πα的值是________．π5．设α为锐角，若＋，则sin二典精知识点一三角函数式的化简与给角求值【例1】已知α∈π)，化简：

π2＋________．αα（1＋sinα＋cosα）（－sin）2＋2cosα

＝________．(2)[2sin50＋sin10°＋3tan°)]·

80＝．规律方法

三角函数式的化简要遵循三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的“切化弦三看结构特征，找到变形的方向，常见的“遇到分式要通分根式一般要升幂”

22222923227α＝－222222923227α＝－2等．(2)对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等的方式来求值．【变式训练】(1)4cos－tan°＝()B.

2＋2

C.D．22－11临沂模拟化简：sinαβcosαβ－cosαcosβ＝________．考点二

三角函数的给值求值、给值求角πβ1【例2】已知β<<α<，且－，sin－，求cos(＋β)的值；11已知α，β∈(0π)且tan(－β)＝，β＝－，求α－β的值．规律方法

α＋β解题中注意变角，如本题中－通过2求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切

271422224271422224函数值，选正切函数②知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的π范围是、余弦皆可；若角的范围(0，π，选余弦较好；若角的范围为

ππ－，弦较好．2【变式训练】113π已知cosα＝，α－)＝，且β<<，求2的值；

求β.知识点三三角变换的简单应用π3【例3】广东卷)已知函数()＝AR，且f.求A的值；3π若f(θ)－f－θ)＝θ∈f－θ规律方法

解三角函数问题的基本思想“换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角

453B.D.254453B.D.254的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．【变式训练】已知函数f()＝sin

π3x＋求f()的单调递增区间；4π若α是二象限角，f2，求α－sinα的值．4三课训(议用时：40分钟)一、选择题1．若tanθ＝3，则

sin21＋2θ

＝

()B．－3C.

33

D．－

3312．已sinα＋cosα＝，则sin11718188C.99

π4

－α()33．已α∈πcosα＝－，则tan－α

)A．7B.

17C．－

17

D．－7

5104622522444323524222510462252244432352422254．已α＝，－β)＝－α，β均为锐角，则β等于

()512

B.

π3

C.

ππD.ππ1＋sinβ5．(2014·新课标全国Ⅰ设∈∈α＝，cosβ则A．3－β＝

π2

B．2－β

π2

()C．3＋β＝

π2

D．2＋β

π2二、填空题36．若＋θ则cos2θ＝________．π7．函f()＝sin2sin

x的最小正周期是_______．2π8．已α－sinα＝，且α∈三、解答题59．(2014·江苏卷)已知∈，πα＝.

π2＋________．求sin＋α(2)求

56

－2αα10已知α∈，πsin＋cos＝求α的值；

52222222222522222222223若α－β)＝－，β∈

π2

，πcosβ的值．四课总[想方法]1．三角函求值的类型及方法给角求值：关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．给值求值：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．给值求角：实质上也转化为给值求值，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．2．巧用公变形和差角公式变形：x±tany＝xy)·(1²；倍角公式变形：降幂公式α＝

1＋21－2sinα＝，配方变形：1±sinα＝

ααααsin±cos，1cosα＝2cos，1α＝2sin.[错防范]

2336498168242252222336498168242252221．运用公时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“．22．在(0，π)范围内，α＝所对应的角α不是唯一的．3．在三角值时，往往要估计角的范围后再求值．五课练11．在ABC中tanA＋tanB＋3＝3tan²B，则C等于

(