计算机辅助几何设计

第5章计算机辅助几何设计

5.1自由曲线

5.2自由曲面CAD中由已知曲线或曲面的数学方程生成的曲线曲面称为规则曲线曲面，常用隐函数或二次方程的显函数表示。但在汽车、轮船、飞机、模具、艺术品等产品设计中，存在大量的不能用二次曲面描述的曲线曲面，这类曲线曲面称为自由曲线（FreeFormCurves）和自由曲面（FreeFormSurfaces），这是计算机辅助几何设计研究的主要几何形状。5.1自由曲线5.1.1曲线曲面描述的基本原理5.1.2Hermite曲线5.1.3Bezier曲线5.1.4B样条曲线5.1.5非均匀有理B样条（NURBS）曲线5.1.1曲线曲面描述的基本原理自由曲线可以是由一系列的小曲线段连接而成，自由曲面可以是由无数个小的曲面片拼合而成。因此，曲线曲面的研究重点是曲线段或曲面片的描述及其连接拼合方法。1.几何设计的基本概念在自由曲线和曲面描述中常用三种类型的点：（1）特征点（控制顶点）：用来确定曲线曲面的形状位置，但曲线或曲面不一定经过该点。（2）型值点：用于确定曲线或曲面的位置与形状并且经过该点。在曲线曲面设计中，通常是用一组离散的型值点或特征点来定义和构造几何形状，并且所构造的曲线曲面应满足光顺的要求。这种曲线曲面定义的主要方法是插值和逼近。（1）插值：给定一组精确的数值点，要求构造一个函数，使之严格地依次通过全部型值点，且满足光顺的要求。（2）逼近：对于一组给定的控制顶点，要求构造一个函数，使之在整体上最接近这些控制点而不一定通过这些点。（3）光滑(smooth)：从数学意义上讲，光滑是指曲线或曲面具有至少一阶连续导数。（4）光顺(fair)：至今仍是一个模糊的概念，尚无统一的标准。一方面有主观的因素，另一方面与应用背景相关。但仍有一些客观标准及处理方法。曲线曲面可以用隐函数、显函数或参数方程表示。用隐函数表示不直观，作图不方便（如ax+by+c=0）；用显函数表示存在多值性（如x2+y2=r2）和斜率无穷大（如y=mx+b）等问题。此外，隐函数和显函数只适合表达简单、规则的曲线曲面。自由曲线曲面多用参数方程表示，相应地称为参数曲线或参数曲面。空间的一条曲线可以表示成随参数t变化的运动点的轨迹，其矢量函数为：P(t)=P(x(t),y(t),z(t))，t的范围是[0,1]同理，空间中的一张曲面可用参数(u,v)表示为：P(u,v)=P(x(u,v),y(u,v),z(u,v))，(u,v)的范围是[0,1]×[0,1]2.曲线曲面的数学描述方法用参数表示曲线曲面的优点：（1）具有几何不变性。某些几何性质不随一定的坐标变换而变化的性质称为几何不变性。曲线形状本质上与坐标系的选取无关。（2）可以处理无穷大的斜率。dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)（3)参数方程将自变量和因变量完全分开，使得参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来。（4）可以处理多值曲线。（5）规格化参数变量，使其相应的几何分量是有界的。由于参数限制在0到1的闭区间之内，因而所表示的曲线总是有界的，不需另设其他数据来定义其边界。（6）对曲线曲面形状控制的自由度更大。如一条二维三次曲线的显式表示为：（7）易于用矢量和矩阵表示几何量，从而简化了计算。

其中只有4个系数可控制曲线的形状，而对于其参数表示为：

其中有8个系数可用来控制曲线的形状。5.1.2Hermite曲线Hermite曲线是给定曲线段的两个端点坐标以及两端点处的切线矢量来描述曲线。空间一条三次参数曲线可以表示为：

该曲线的矢量表达式为：

应用端点P0和P1，以及端点切矢P0’和P1’,可得：矩阵表达式为：于是，5.1.3Bezier曲线1962年，Bezier提出了一种自由曲线曲面的设计方法，称为Bezier方法。其具体设计过程是：从模型或手绘草图上取得数据后，用绘图工具绘出曲线图，然后从这张图上大致定出Bezier特征多边形各控制顶点的坐标值，并输入计算机进行交互的几何设计，调整特征多边形顶点的位置，直到得出满意的结果为止；最后用绘图机绘出曲线样图。1.Bezier曲线定义在空间给定n+1个控制顶点Pi(I=0,1,…,n)，称下列参数曲线为n次Bezier曲线。称为伯恩斯坦基函数（BernsteinBasis）。一般称折线为P(t)的控制多边形；称各点为P(t)的控制顶点。

（1）三次Bezier曲线常用的三次Bezier曲线，由4个控制顶点确定。容易算出，与其对应的4个Bernstein基函数为：相应的Bezier曲线为（2）二次Bezier曲线二次Bezier曲线由三个控制顶点确定，此时，相应的曲线表达式为对应于一条抛物线。（3）一次Bezier曲线一次Bezier曲线由两个控制顶点确定，此时，相应的曲线表达式为这是一条连接P0和P1的直线段。2.Bezier曲线的程序设计实际应用的主要是三次Bezier曲线。利用它的参数表达式在区间(0,1)内取多个值，例如100，计算出这100个值对应的坐标点，依次连接这些点就得到一条Bezier曲线。为程序设计方便，改写曲线的表达式为：注意滥：再作添加呜一个z坐标颠，就胞可得牲到空参间Be知zi维er曲线。3.Be催zi情er曲线母的性稠质在Be娱rn耕st辨ei盲n基函啄数中，n为基祝本曲稻线的袜次数悠，i为基疑函数屡的序板号。远由排嘱列组盟合和博导数封运算飘规律丛可以炕推导停出Be伴rn公st号ei锹n基函教数的谎如下馆性质律：（1叼）正哄性（耻非负宪性）黄：（2喂）权族性：（3捏）版对称榴性：（4乒）导恳数性泉质：（5番）递列推性轨质：Be验zi中er曲线捧的一埋些性虫质：1）嚼端点屿性质曲线春经过才特征省多边护形的生首末芒点。衡因为曲线P(浆t)在P0点与谱边P0P1相切庆，在Pn点与2）限对称往性由Be京rn逼st央ei竟n基函幼数的展对称秒性可即知，予控制香点的睬次序鹊完全冠颠倒苏过来绕后，堵曲线耐的形量状不奴变，杯但走划向相下反。岛这表否明,鞠同一演特征倚多边漂形定职义的Be庆zi为er曲线框是惟办一的错.相切逢。因搁为（3雪）捧凸包退性所以洪，P(谱t)是P0,P1,…宏,Pn凸线努性组岸合。当这缠证明Be洋zi皇er曲线歌完全唇被包摔在其依特征狐多边骑形的招凸包开内。所以浇，控哨制顶肺点P0,P1,…芬,Pn的凸码包为探:（5借）交需互能厉力（4）芝几守何不链变性由给云定控毁制顶错点所纽奉确定阔的Be覆zi疤er曲线迟的形排状与乔坐标陷系的仅选取精无关贸。此藏性质匹就是Be奴zi拳er曲线券的几先何不广变性吃。几何烧不变裳性对姑几何财图形挽来说贱是一蚕种很甲重要斤的性历质。需在计烧算机阻图形从学中庙经常梢要作广坐标无变换乡丰，如沉果同挑一表茂示式孙在不勤同坐搬标系淡下表莫示不尝同的铁曲线浓，则动会给忌图形古变换扁带来牢很多崭不便架之处润。控制秧多边追形P0P1…Pn大致适地勾棒画出Be屿zi塔er曲线P(评t)的形千状。尼要礼改变P(疏t)的形樱状，厌只要奇改变P0,P1,…誉,Pn的位温置即毕可。（6芝）变指差减泪小性（7零）保达凸性如果Be透zi护er曲线P(朴t)的控燥制多栽边形P0P1…Pn是一平甩面图再形，阿则该粱平面侮内的茎任意织直线维与P(刚t)的交蛾点个咳数不响多于跌该直汉线与忍控制核多边走形P0P1…Pn交点的个站数，稳这一奔性质承称为腰变差娃减小沙性。万此债性质自说明Be南zi俘er曲线冠比控见制多祝边形车所在厨的折卡线更讽光顺仇。如果型平面火上的凶凸控序制多丘边形熊能导扫致所戏生成皆的曲暖线为蒜凸曲判线，芝则称携这个奶曲线多生成饶的方译法具隙有保毁凸性露。我们浊将控斥制多敌边形蝇的终烧点与惭起点莲连起稠来，言如果旱这样睡形成患一个攻闭的伤凸多维边形丽，则夫相应须的Be照zi网er曲线捕是一迁个凸顿的平菜面曲锯线。窄此性型质就结是Be慨zi喉er曲线峰的保焦凸性闹。4.Be乞zi翠er曲线郑的拼妨接与述反算Be挂zi面er曲线隔的次船数是换由其普控制泡顶点疏确定汤的。姥常用嘉的三矿次Be屯zi粉er曲线亡由四早个控锤制顶帜点确将定。多控制仁点(n>坊4)的三捎次Be迟zi静er曲线话存在哑着几腥条曲脏线的抱拼接邪问题湖，其无关键音问题符是如拥何保堂持拼铸接处蔬的连源续性英。不扑同的蹄问题零在连坐接点存处对云连续时性有嘴不同肆的要望求，背常用杠到的刷有以港下几罚种：连续参数园连续:切矢奏同向箩且模绳长相侨等.几何刺连续:切矢话同向洽.1)巾拼疗接P1P0P3性=Q谜0Q2Q1P2Q3设P(爷t)是Pi(i飘=0释,1秆,2贵,3眉)确定历的三感次Be贪zi胃er曲线越;Q(饺t)是Qi(i喉=0桌,1篮,2额,3啄)确定鹅的三看次Be促zi叶er曲线抓.P3=Q0,满足1)劝两于曲线娘在连荡接点谦达到样一阶印导数吨连续嘱的条御件为0<属=t<量=1即亦即眨,P2召、P叉3(絮Q0御)和Q1共线缩慧，且P2俱、绑Q1在P3的异侧。2）磁两曲凯线在汉连接剂点达锈到二刊阶导巨数连定续的遵条件润为由可得根据桃以上闸条件朽，可纹以调蜂整P(牢t)和Q(天t)这两块段曲鸦线，嚷使得桂在连浮接点贫处达碎到一雄阶几既何或著导数廊连续章：步骤般1：互平移梯多边启形使Q0与P3重合璃。步骤救2：漂围绕Q0转动裳多边颗形使与平行酒且同错向（像或模皂长相虎等）社。P1P0P3且=Q连0Q2Q1P2Q3所谓怀曲线凑控制傻顶点昂的反声算是胁指由累曲线坚上的堤一系短列点氧（称之为烧型值情点）身反求杠出该夜曲线球的一男系列夺控制禁顶点坛的过顿程。如果羊给定n+发1个型巧值点,要江求一婚系列谎控制点，盏由这闲些控梢制点责定义日的一向条Be功zi裤er曲线遥通过冲已知偶的型牛值点牺，这走与平涉常给柏定控老制点粱求型打值点政的过之程恰植好相孟反。设所求镰的控闷制点方为，它定义锻的Be承zi欣er曲线夹为P(挣t)捐,满足，于是注意抗：t的取勿法不炼同，否反求沙的控陕制顶粉点不江同。2)递反算5.衫1.巨4B样条冒曲线Be晌zi萝er曲线初是通折过逼课近特会征多决边形盖而获榆得曲繁线的歇，存统在的纷不足绕是：1）抖缺乏浮局部味修改遭性,笑即贫改变眨某一避控制倦点对饰整个皮曲线籍都有输影响袋.2）n较大帖时，敬特征涉多边蠢形的党边数华较多舒,对稠曲线馋的控粮制减买弱。19妈72拍年，Ri熟es担en湿fe暮ld等提出烟了B样条都曲线燥。用B样条塔基函甲数代厌替Be违rn浩st锋ei苍n基函尽数；逼近叨特征奴多边堵形的角精度幕更高搁.多边煌形的劲边数星与基钓函数防的次悬数无垦关。具有撞局部漆修改盲性.设有窄控制甘顶点P0,P1,…洗,Pn,则k阶(k-依1次)B样条女曲线刊的数茧学表赏达式带为:式中Ni,k(t绢)是k-表1次B样条侧曲线耽的基煮函数表.它挺由一荣个结余点向译量递迈归定劲义,就它仅碗在某哭个局凤部不坏等于声零,忍因而狮使B样条屋曲线它具有尽局部罩可修而改性密.三次给均匀B样条劣曲线对于n+础1个控众制顶偷点，每四个拐顺序镜点1.三次园均匀B样条辨曲线笑的表膏达式一组构造仗相应四的一过段三主次B样条织曲线凯：其中N0,秒4(t)=顶1/丧6(技1-桑t)3倾,N1,洒4(t)=贺1/冒6(俯3t3-6幕t2+4帝),N2,宗4(t)=拔1/砌6(幻玉-3给t3+3恰t2+3寇t+伞1),N3,岭4(t)=皂1/虎6t3所以拴，Pi(t胜)的矩耕阵表产达式句为根据死上式苗可以敲在平随面直男角坐初标系推中设帖计三内次B样条奏曲线剧生成诞的程阶序.Pi(0疮)Pi+啄3Pi+竖2Pi+诱1PiP’i(0位)P’i(1橡)Pi(1溪)2.册三份次均驳匀B样条竖曲线镰段的贡几何粮特性愧、拼曲接3.三次闸均匀B样条院曲线槽的边洞界控伸制与邪反算P0Pn-1P1P-1PnPn+1在始强端和茫终端工各增岔加一团个顶酱点P-1和Pn+1,使P-1P0=P0P1Pn-1Pn=PnPn+1则P0(0蚀)=贡P0,凯P0’=P1-P0.终点盛具有厅类似辞的特烧性.边界犯处理在实抢际应院用中喷,往枝往需脊要所倦设计满的B样条窗曲线从通过辟控制德多边等形的责起点隐和终阁点,便这就加需要关对曲女线的正边界订进行厚处理剃.有衬多种碌处理另方法鸣,现翁介绍目一种便:2)绸控制既顶点乳的反予求在实际疲应用鹊中往仙往是炒知道缴曲线涂上的清型值绳点,针而并幼不知辱道特违征多脖边形斤顶点英的位愚置,茫为构腾造B样条滑曲线然,就峡需要铁由这限些型丽值点铃反求拴出特荐征多挽边形财的顶卷点,沿这就冶是B样条绳曲线旅顶点世的反填求.设已知孟型值涨点列Qi(i林=1根,2丸,…艺,n跑-1踪蝶),要求掘一条呜三次B样条拌曲线痰经过劣这些侍点,养求出性这条留曲线钓的控锄制顶万点Pi(i闪=0霉,1病,…机,n链).由曲苦线的择端点质性质灾可得典下列株线性棚方程丘组:Pi-域1+4窄Pi+Pi+黄1=6弦Qi(i雕=1诵,2僵,…引,n稻-1犯)再补越充两桌个边寺界条洗件就参可得败到唯症一解卡.乳例如哭,已文知Q1和Qi-1处的胀切矢相,则淘有把它们叛写成撒矩阵阴形式监为5.遗1.颗5点非闸均匀掠有理B样条屿（NU懒RB般S）曲线它提思供了赌解析盯曲线袜(如笔圆锥必曲线翁)和刃自由锐曲线座统一融的数奋学描仔述,娘便于忍工程呈数据李库的炼管理哭和应洪用.NU腐RB惜S曲线碗的定管义:帮给栽定n+暮1个控进制点Pi(i蜜=0浩,1宋,…锹,n喇)及其煌权因印子Wi(i帅=0健,1速,…信,n泥),则k阶(k-焦1次)NU抹RB北S曲线调的表艘达式胆为:缺点驼:计迟算量闻大、峰当权何因子购为零乘和负巧值时半容易伞引起桃计算竹的不颠稳定少，导签致曲宫线畸组变，宴因此油使用NU外RB础S时应那有适往当的僚限制辨以保销证算浆法的痛稳定呜性。5.底2诉自由恢曲面5.勒2.键1参数矿曲面糊的概茧念5.钉2.出2苗双大三次斩曲面挂片的敲数学径表示5.爸2.锯3爹曲法面的障反算烦、拼育接和纷互化5.搅2.斑4贫新的来自由节曲面厌造型夸技术5.崇2.赚1准参孕数曲诱面的且概念P(唐u,头w)称=[x(u,锄w),y(u,蛋w),z(u,泥w)]0<容=u,消w<=议1011uw(u,煎w)u和w向切掉矢：四个携角点笔的u向和w向切睬矢为带：Pu(0规,0脆)、Pu(1手,0扰)、Pu(0锁,1袄)当、Pu(1描,1昏)、Pw(0导,0关)、Pw(1证,0擦)、Pw(0跟,1派)以、Pw(1妄,1率).混合胁偏导今矢（求扭矢揉）：四个侄角点愈的扭急矢为傻：Puw(0角,0培)、Puw(1荣,0捕)、Puw(0夏,1圣)驶、Puw(1储,1嚼)5.保2.河2三次句曲面研的数放学表运示双三袖次曲仓面片滔的代鬼数形羽式为其矩邻阵表煌达式领为其中，构造貌双三运次曲稿面片执的的瓦关键楚是确拨定矩漫阵方隆程中秃的系条数矩在阵。1.粮孔斯狱（Co具on烟s）曲面由曲父面四柿个角酒点、勇每个艘角点胀处的傍两个尸切矢饰及四羊个角柴点处盐的混极合偏掉导矢悦（扭遍矢）携确定周曲面链。Co价on饮s曲面巡寿的特威点：属于辱构造许插值队曲面常的方嗓法，芝曲面照构造妹的几已何意痛义明纹确且乞曲面粱的表董达式潮简洁办，主贼要用浪于构义造那城些通贵过给槐定型农值点掀的曲杠面，罢而不铺适用钳于进创行曲绕面的玻设计说。这物是因碎为：在曲捐面设械计的卸初级舟阶段默，设屑计者乌对其蝴所设魂计产购品的衔外形鹊仅有养一个急非常材粗略麻的概连念。毛为得销到满受意的腿外形蔑，需传要不窄断地婆修改炕型值手点的馋位置文。上挎述方选法对勒位置仗尚未追最后梢确定络的型毅值点苍构造厨插值糊曲面鞠，显灰然是返不合题理的培。由于多扭矢纳的几顿何意轨义不河很明兆显，小工程丧设计缓人员茅难以筛把握兽，因迁此难暑以提评供精芳确的拍角点罚信息挤，使董曲面兼的形般状不买易控冈制。不具抗备局部峡性。修改柜任意领一个型值植点都暴会影卫响整觉张曲周面的晨形状看，而嫩其形永状变堤化又脾难以耐预测绳。2.Be探zi蜓er曲面用控芹制多乖边形芦网格搞（特狭征网劫格）赠替代颤点矢财、切遗矢与讨扭矢评构造Be撒zi赶er曲面糟。双三赛次Be志zi扶er曲面剩片可以膛认为齿控制哭网格膜是曲堪面P(u,w)大致腰形状母的勾萍画；P(u,w)是对呜控制储网格怒的逼纺近。Be忠zi首er曲面斩的特储点：Be抵zi若er曲面员是以歪逼近涝为基歪础的历曲面漆设计序方法拿。它霞先通拦过控逼制顶弃点网摸格勾如画出烫曲面吼的大执体形兆状，旁然后堪通过四修改梢控制鬼顶点贡的位算置修驰改曲爪面的男形状狼。这宋种构舟造方邻法比姨较直训观，捏易于叶为工考程设很计人怜员所料接受改，因盗而获霸得了驶广泛柴的应刚用。这种得方法待不具培有局台部性戒，即修改凤任意铅一个控制挖顶点烤都会血影响围整张阴曲面铅的形饱状。3.B样条严曲面用控布制多捆边形谎网格枕（特嘴征网泥格）井替代折点矢畜、切挥矢与芦扭矢荷构造珍曲面双三收次均威匀B样条略曲面偿片注意:Ni,扔3(t求)为3裁次均尺匀B样条手基函需数.特点柳：B样条性曲面旧构造鞭方法伤是Be粪zi幼er曲面脚方法搬的推跳广，项它用B样条匪基函涨数代送替Be启zi古er方法棵中的Be械rn叉st牲ei横n基函裙数来倚反映豆控制搜顶点出对曲州面形慕状的梁影响协。它垦在保亩留了Be那zi赛er曲面跨设计仙方法朋几乎五所有尚优点葛的同泰时，削解决抄了Be题zi茂er曲面束设计纵中存莫在的悬局部资性修属改问静题。4.非均廉匀有剥理B样条曲面（NU漂RB换S）给定捐一张何(m+1考)x渠(n+1揭)的网灾格控纵制点Pij(i=0跳,1欧,…漏,m;j=0昌,1售,…摘,n),以及拐各控缎制网暗格点碎的权蜘值Wij(i=0晴,1峰,…屑,m;j=0落,1盒,…巾,n)，则其林确定质的NU氧RB什S曲面游的表围达式师为：优点况：规则屑曲面吉与自叫由曲宗面精皱确的洞统一螺的数霉学表峡示。有多势种方欠式定蜜义曲津面，侧但构由造这权些曲滥面的寒数学桶基础止以及泄在造决型系本统中够存储馋它们椒的方运法是炉相同逆的。NU就RB喜S方法掘已成熔为众种多CA尼D/匙CA霞M系统域的基追本几些何表羞达式从和数盲据交妨换标爪准。5.棵2.膝3侄曲面笑的反骄算、尝拼接羞和互捞化反算1）佣实际驻应用敲背景2）渠反算俯算法第1遇步：滚将一伴个参盗数方葡向上煤的型岗值点哈（如u方向喝）依瞎次按同曲线薪反算饱方法货反算卖出一卧系列裹点；第2欧步：棚沿另搜一个煎参数岗方向湖（如w方向筐），谁将第雾一次磨反算亡得到为的点蛋再按迁曲线节反算露方法笛反算粪出另耀一系姨列点价，第刘二次瞒反算魂得到嚼的点果即为旦曲面境的控慢制点仅。2.馋拼接以双三次铁自由已曲面歉为例料，相姜邻两袖片曲崇面光烧滑拼奇接的敏条件圾为：1）主对Co买on价s曲面地：两染张双昌三次Co佩on挠s曲面量片共施边界老且在纺相邻奥两角各点处仁的坐滴标、u向切绳矢、w向切据矢、胞扭矢璃分别覆相等殃。2）围对Be作zi原er曲面枪：两连张双挺三次Be声zi短er曲面混片在外相邻棒边界芹的相庭邻的联控制炉网格智共边且且在惩同一希平面潮上。3）产对B样条永曲面汉：由烈于每忙4x4即16说个控援制点庄定义捕一片枣双三席次曲签面，美如果泻定义B样条翅曲面绘的控锅制顶故点矩处阵有M行N列（M>隙=4慨,N少>=骂4）相，则可脸以定笨义(M-歼3)狭(N垒-3滔)个曲骂面片笛。只悦要4x4的子矩阵助在控趟制顶财点矩微阵中套是依分次向适右或猜依次痕向下哗移