2015年新湘教版九年级下学期数学全册教案

第1章二次函数

1.1二次函数

；y教学目标

【知识与技能】

L理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的

一般形式.

2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量

的取值范围.

【过程与方法】

经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如

何用数学的方法描述变量之间的数量关系.

【情感态度】

体会数学与实际生活的密切联系，学会与他人合作交流，培养合作意识.

【教学重点】

二次函数的概念.

【教学难点】

在实际问题中，会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.

芋敦孚里程

一、情境导入，初步认识

1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积SGn?)与相邻于围

墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x2+100x,(0<x<50)；电脑价格y(元)

与平均降价率x的关系式是y=6000x2-12000x+6000,(0<x<1).它们有什么共同点?

一般形式是y=ax?+bx+c(a,b,c为常数，aW0)这样的函数可以叫做什么函数？二

次函数.

2.对于实际问题中的二次函数，自变量的取值范围是否会有一些限制呢?史

二、思考探究，获取新知

二次函数的概念及一般形式

在上述学生回答后，教师给出二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,

b,c是常数,aWO)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量,a,b,c分别是函数解

析式的二次项系数、一次项系数和常数项.

注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时，

要连同符号一起指出.

三、典例精析，掌握新知

例1指出下列函数中哪些是二次函数.

(1)y=(X-3)2-X2；(2)y=2x(x-1)；(3)y=32x-1；(4)y=—r:(5)y=5-x2+x.

x

【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析.

解：(2)⑸是二次函数，其余不是.

【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路：

1.将函数化为一般形式.

2.自变量的最高次数是2次.

3.若二次项系数中有字母,二次项系数不能为0.

例2讲解教材P3例题.

【教学说明】由实际问题确定二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围.

例3已知函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)(m是常数)，当m为何值时：

(1)函数是一次函数；

(2)函数是二次函数.

【分析】判断函数类型，关键取决于其二次项系数和一次项系数能否为零，

列出相应方程或不等式.

解：⑴由［/-〃=0得或1,

m0

m=l.即当m=1时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)一次函数.

(2)由布一m"。得mW0且mW1,

・••当mWO且m¥1时,函数y二(小之-田)x?+mx+Gn+l)是二次函数.

【教学说明】学生自主完成，加深对二次函数概念的理解，并让学生会列二

次函数的一些实际应用中的二次函数解析式.

四、运用新知，深化理解

1.下列函数中是二次函数的是（）

A.y=-z—^----B.y=3x3+2x2C.y=（x-2）-x3D.y=\->/2x2

x~+2x—3

2.二次函数y=2x（x-l）的一次项系数是（）

A.1B.-1C.2D.-2

3.若函数y=（k-3）_/3+2+依+i是二次函数，则k的值为（）

A.0B.0或3C.3D.不确定

4.若y=（a+2）x2-3x+2是二次函数，则a的取值范围是.

5.已知二次函数y=1-3x+5x；则二次项系数a=,一次项系数b=

常数项c=.

6.某校九（1）班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共

握手y次，试写出y与x之间的函数关系式,它（填“是”

或“不是”）二次函数.

7.如图，在边长为5的正方形中，挖去一个半径为x的圆（圆心与正方形的中

心重合），剩余部分的面积为y.।—―—I

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）试求自变量x的取值范围；||

（3）求当圆的半径为2时，剩余部分的面积（五取3.14,结果精确到十分

位）.

【答案】1.D2.D3.A4.aW—25.5,-3,16.y^-x2--x是

22

7.（1）y=25-nx2=-nx2+25.

（2）0Vx<52.

（3）当x=2时，y=-4n+25—4X3.14+25=12.44%2.4.

即剩余部分的面积约为12.4.

【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，待学生完成上述作业后，

教师指导.

五、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾二次函数的有关概念.

2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问？与同伴交流.

【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼和

知识归纳.

.>谢后作业

1.教材匕第「3题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

.>敦与反思

本节课是从生活实际中引出二次函数模型,从而得出二次函数的定义及一般

形式,会写简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取

值范围，使学生认识到数学来源于生活，又应用于生活实际之中.

1.2二次函数的图象与性质

第1课时二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质

篁敦芝目标

【知识与技能】

1.会用描点法画函数y=ax2(a>0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其

性质.

2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a>0)的图象和性质解决简单的实际问

题.

【过程与方法】

经历探索二次函数y=ax2（a>0）图象的作法和性质的过程，获得利用图象研

究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.

【情感态度】

通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数丫=2*2匕>0）图象和性

质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.

【教学重点】

1.会画y=ax“a>0）的图象.

2.理解,掌握图象的性质.

【教学难点】

二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.

承敦与目睚

一、情境导入，初步认识

问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什

么？二次函数图象是什么形状呢？

问题2如何用描点法画一个函数图象呢？

【教学说明】①略；②列表、描点、连线.

二、思考探究，获取新知

探究1画二次函数y=ax"a>0）的图象.

画二次函数y=ax?的图象.

【教学说明】①要求同学们人人动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图

y=x?的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.

②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征.

③强调画抛物线的三个误区.

误区一：用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋

势.

如图⑴就是y=x。的图象的错误画法.

误区二：并非对称点,存在漏点现象，导致抛物线变形.

如图⑵就是漏掉点(0,0)的y=x?的图象的错误画法.

误区三:忽视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要

向两旁无限延伸，而并非到某些点停止.

如图⑶，就是到点(-2,4),(2,4)停住的y=x?图象的错误画法.

探究2y=ax2(a>0)图象的性质在同一坐标系中，画出y=x；j=lx2,y=2x2

2

的图象.

【教学说明】要求同学们独立完成图象，教师帮助引导,强调画图时注意每一

个函数图象的对称性,动脑筋观察上述图象的特征(共同点)，从而归纳二次函数

y=ax2(a>0)的图象和性质.

【教学说明】教师引导学生观察图象从开口方向，对称轴,顶点,V随x的增

大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调.

y=ax2(a>0)图象的性质

1.图象开口向上.

2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最低点.

3.当x>0时，y随x的增大而增大，简称右升；当xVO时，y随x的增大

而减小，简称左降.

三、典例精析，掌握新知

例已知函数y=(k+2)x「+i是关于x的二次函数.

⑴求k的值.

(2)k为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x在哪

个范围内取值时，y随x的增大而增大？

【分析】此题是考查二次函数y=ax?的定义、图象与性质的，由二次函数定

义列出关于k的方程，进而求出k的值，然后根据k+2>0,求出k的取值范围,

最后由y随x的增大而增大，求出x的取值范围.

解：⑴由已知得!」+2*°，解得k=2或k=-3.

k-+k-4=2

所以当k=2或k=-3时，函数y=(A+2)x-i是关于x的二次函数.

(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以k+2>0.

由(1)知k=2,最低点是(0,0),当乂20时，y随x的增大而增大.

四、运用新知，深化理解

1.(广东广州中考)下列函数中，当x>0时，y值随x值增大而减小的是

()

231

A.y=xB.y=x-1C.y=—xD.y二一

4x

2.已知点(7,yJ,(2,y>(-3,yj都在函数y=x'的图象上，则()

A.yi<y2<y3B.y,<y3<y2C.y3<y2<yiD.y2<y1<y3

3.抛物线y=1x2的开口向，顶点坐标为，对称轴

3

为,当x=-2时，y=；当y=3时，x=,当xWO时,

y随x的增大而；当x>0时，y随x的增大而.

4.如图，抛物线y=ax?上的点B,C与x轴上的点A(-5,0),D(3,0)构

成平行四边形ABCD,BC与y轴交于点E(0,6),求常数a的值.

【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教

师及时指导.

【答案】1.D2,A3.上，(0,0),y轴，上4，±3,减小，增大

3

4.解：依题意得：BC=AD=8,BC〃x轴，且抛物线y=ax。上的点B,C关于y

轴对称，又••'BC与y轴交于点E(0,6),，B点为(-4,6),C点为(4,6),

将(4,6)代入y=ax?得：a=-.

8

五、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾二次函数y=ax2(a>0)图象的画法及其性质.

2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问？请与同伴交流.

.，评后作虬

1.教材P,第1、2题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

：,教守反思

本节课是从学生画y=x'的图象，从而掌握二次函数y=ax2(a>0)图象的画法,

再由图象观察、探究二次函数y=ax2(a>0)的性质，培养学生动手、动脑、探究

归纳问题的能力.

第2课时二次函数y=ax2(aV0)的图象与性质

翌教学目标

【知识与技能】

1.会用描点法画函数y=ax2(aV0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其

性质.

2.体会数形结合的转化，能用y=ax2(a<0)的图象与性质解决简单的实际问

题.

【过程与方法】

经历探索二次函数y=ax2(a<0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研

究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.

【情感态度】

通过动手画图，同学之间交流讨论,达到对二次函数丫=2/匕/0)图象和性质

的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性.

【教学重点】

①会画y=ax2(a<0)的图象；②理解、掌握图象的性质.

【教学难点】

二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.

单敦与旦睚

一、情境导入，初步认识

1.在坐标系中画出y=L必的图象，结合y=，X'的图象，谈谈二次函数

22

y=ax2(a>0)的图象具有哪些性质？

2.你能画出y=-‘x'的图象吗？

2

二、思考探究，获取新知

探究1画丫=2必匕<0)的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连

线”的方法画出y=--X?的图象.

2

【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学

们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学.

问：从所画出的图象进行观察,y=，/与y=-‘x?有何关系？

22

归纳：y=-/与y=-Lx?二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两

22

图象关于y轴对称.(教师引导学生从理论上进行证明这一结论)

探究2二次函数丫=2/匕<0)性质问：你能结合y=-_LX?的图象，归纳出

2

y=ax2(a<0)图象的性质吗？

【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y随x的增大时

的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调y=ax2(a<0)图象的性质.

1.开口向下.

2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最高点.

3.当x>0时，y随x的增大而减小，简称右降，当x<0时，y随x的增大

而增大，简称左升.

探究3二次函数丫二2乂2匕£0)的图象及性质

学生回答：

［教学点评】一般地，抛物线y=ax2的对称轴是,顶点是,

当a>0时抛物线的开口向,顶点是抛物线的最点，a

越大，抛物线开口越；当aVO时，抛物线的开口向，

顶点是抛物线的最点，a越大，抛物线开口越，总之，

|a|越大，抛物线开口越.

答案:y轴，（0,0）,上，低，小，下，高，大，小

三、典例精析，掌握新知

例1填空：①函数y=（-夜x）2的图象是，顶点坐标是,

对称轴是，开口方向是.I||

②函数y=x2,和y=-2x?的图象如图所示，

2

请指出三条抛物线的解析式.

解:①抛物线，（0,0）,y轴，向上；

②根据抛物线y=ax?中，a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为

y=-x2,中间为y=x2,在x轴下方的为y=-2x2.

2

【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错

误.抛物线丫=2*2中，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，|a|越大,

开口越小.

例2已知抛物线y=ax?经过点（1,-1）,求y=-4时x的值.

【分析】把点（1,7）的坐标代入y=ax［求得a的值，得到二次函数的表

达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值.

解：•••点（1,7）在抛物线丫=2必上，一ka-12,...抛物线为y=-x2.

当y=-4时，有-4=-x?,：.x=±2.

【教学说明】在求y=ax?的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a

值.

四、运用新知，深化理解

1.下列关于抛物线y=，和y=-x?的说法，错误的是（）

A.抛物线y=x?和y=-x?有共同的顶点和对称轴

B.抛物线y=x?和y=，2关于x轴对称

C.抛物线y=x?和y=-x?的开口方向相反

D.点（-2,4）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x?上

2.二次函数y=ax?与一次函数y=-ax（aWO）在同一坐标系中的图象大致是

4.已知点A(T,yj,B(1,yz),C(a,丫3)都在函数y=x?的图象上，且a>1,则

yi,y2,丫3中最大的是.

5.已知函数y=ax?经过点(1,2).①求a的值；②当x<0时，y的值随x值的

增大而变化的情况.

【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解和掌握，当学生疑惑时，教师

及时指导.

【答案】1.D2.B3.24/3

5.①a=2②当xVO时，y随x的增大而减小

五、师生互动，课堂小结

这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评：(1)

y=ax2(a<0)图象的性质；(2)y=ax?(aWO)关系式的确定方法.

：,评后作业

1.教材巴。第「2题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

本节课仍然是从学生画图象,结合上节课y=ax2(a>0)的图象和性质，从而得

出丫=2/匕<0)的图象和性质，进而得出丫=2*2(aWO)的图象和性质，培养学生

动手、动脑、合作探究的学习习惯.

第3课时二次函数尸a(x-h)2的图象与性质

丁教茎目标

【知识与技能】

1.能够画出y=a(x-h)z的图象，并能够理解它与丫=2*2的图象的关系，理解

a,h对二次函数图象的影响.

2.能正确说出y=a(x-h)z的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.

【过程与方法】

经历探索二次函数y=a(x-h)②的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形

结合的思想.

【情感态度】

1.在小组活动中体会合作与交流的重要性.

2.进一步丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,

初步形成积极参与数学活动的意识.

【教学重点】

掌握y=a(x-hT的图象及性质.

【教学难点】

理解丫=2a』)2与丫=2/图象之间的位置关系，理解a,h对二次函数图象的

影响.

敦与旦程

一、情境导入，初步认识

1.在同一坐标系中画出丫二』*2与y=」(XT),的图象，完成下表.

22

122

.)=yAv=—(x-1)

开口方向向上向上

顶点坐标(().())(1,0)

对称轴y轴.V=1

2.二次函数(XT),的图象与的图象有什么关系？

3.对于二次函数上(x-1)；当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当

2

x取何值时，y的值随x值的增大而减小？

二、思考探究，获取新知

归纳二次函数y=a(x-h)z的图象与性质并完成下表.

>,=a(r-/»)■y=a(.V-”

抛物线

(«>0)(a<0)

顶点坐标(/),0)(»0)

M称轴直线t=h立线\=h

在.V轴的上方在A•轴的下方

位置

(除顶点外)(除顶点外)

开口方向向上向下

在对称轴的左侧J在对称轴的左便l,y

刖着X的增大而随着X的增大而

增减性减小；在对称轴增大：在对称轴

的右恻,J随.，的增的右侧4随着X的

大而增大增大而减小

当X=h时,最当K=h时，最

最值

小值为0大值为()

开口大小1"1越大，开口越小

三、典例精析，掌握新知

例1教材九例3.

【教学说明】二次函数丫=2/与y=a(x-h)z是有关系的，即左、右平移时“左

加右减”.例如y=ax?向左平移1个单位得到y=a(x+1)2,y=ax?向右平移2个单位

得到y=a(x-2)z的图象.

例2已知直线y=x+1与x轴交于点A,抛物线y=-2x?平移后的顶点与点A

重合.①水平移后的抛物线I的解析式；②若点B(x,,yJ,C(Xz,y2)在抛物线/上,

<Xi<X,试比较yi,y2的大小.

22

解:①；y=x+1,...令y=0,则x=-1,••.A(-1,0),即抛物线/的顶点坐标为(7,

0),又..•抛物线/是由抛物线y=-2x,平移得到的，抛物线/的解析式为

y=-2(x+1)2.

②由①可知，抛物线/的对称轴为x=-1,Va=-2<0,/.当x>-1时，v随x

的增大而减小，又VxiVxz,，yi>y2.

2

【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分

界对称取点.

四、运用新知，深化理解

1.二次函数y=15(x7)z的最小值是()

A.-1B.1C.0D.没有最小值

2.抛物线y=-3(x+1)z不经过的象限是()

A.第一、二象限B.第二、四象限C.第三、四象限D.第二、三象限

3.在反比例函数y=^中，当x>0时，y随x的增大而增大，则二次函数

X

y=k(x-1)2的图象大致是()

ABCD

4.(1)抛物线y=1x2向平移个单位得抛物线y=！(x+1)2;

33

(2)抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2.

5.(广东广州中考)已知抛物线y=a(x-h)?的对称轴为x=-2,且过点(1,-3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)画出函数的大致图象；

(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函

数有最大值(或最小值)？

【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑.

【答案】1.C2.A3.B4.⑴左，1(2)y=-2x?

5.解：(1)y=-j(x+2)2(2)略(3)当x<-2时，y随x增大而增大；当

x=-2时，y有最大值0.

五、师生互动，课堂小结

1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？

2.在学生回答的基础上，教师点评：(1)y=a(x-h)2的图象与性质；(2)

丫=2a/)2与y=ax?的图象的关系.

.,谢后作业

1.教材%第1、2题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

.,敦与叵思

通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)z的图象是由y=ax?的图象左右平移得

到的，初步认识到a,h对y=a(x-h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|

决定抛物线开口的大小，h决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想.

第4课时二次函数厂a(x-h>+k的图象与性质

孽,敦艺目标

【知识与技能】

1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图象.掌握y=a(x-hT+k的图象和性

质.

2.掌握y=a(x-h)2+k与y=ax?的图象的位置关系.

3.理解y=a(x-h)2+k,y=a(x-h)2,y=ax2+k及y=ax2的图象之间的平移转化.

【过程与方法】

经历探索二次函数y=a(x-h)，k的图象的作法和性质的过程，进一步领会数

形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力.

【情感态度】

1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性.

2.体验数学活动中充满着探索性,感受通过认识观察,归纳，类比可以获得数

学猜想的乐趣.

【教学重点】

二次函数y=a(x-h)*2+k的图象与性质.

【教学难点】

由二次函数y=a(x-h)2+k的图象的轴对称性列表、描点、连线.

教学区程

一、情境导入，初步认识

复习回顾：同学们回顾一下：

①y=ax2,y=a(x-h)；(a70)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y随x

的增减性分别是什么？

②如何由y=ax"aWO)的图象平移得到y=a(x-h)?的图象？

③猜想二次函数y=a(x-h)，k的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x

的增减性如何？

二、思考探究，获取新知

探究1y=a(x-h)2+k的图象和性质

1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题：

①y=-_L(x+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随X的增减性如

2

何？

②将抛物线y=-'x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线

2

y=-—(x+1)2-1.

2

2.同学们讨论回答：

①一般地，当h>0,k>0时，把抛物线丫=2*2向右平移h个单位，再向上平

移k个单位得抛物线y=a(x-h)平移的方向和距离由h,k的值来决定.

②抛物线y=a(x-h)，k的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如

何？

探究2二次函数y=a(x-h)2+k的应用

【教学说明】二次函数y=a(x-h)，k的图象是，对称轴是，顶点坐标是，当

a>0时，开口向，当a<0时，开口向.

答案：抛物线，直线x=h,(h,k),上，下

三、典例精析，掌握新知

例1已知抛物线y=a(x-h)，k,将它沿x轴向右平移3个单位后，又沿y轴

向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y=-3(x+1)2-4,求原抛物线的解析式.

【分析】平移过程中，前后抛物线的形状,大小不变,所以a=-3,平移时应抓

住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式.

解:抛物线y=-3(X+1)2-4的顶点坐标为(-1,-4),它是由原抛物线向右平移3

个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到

原抛物线顶点坐标为(-4,-2).故原抛物线的解析式为y=-3(x+4)2-2.

【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关

键点：顶点的变化.

例2如图是某次运动会开幕式点燃火炬时的示意图，发射台0A的高度为2m,

火炬的高度为12m,距发射台0A的水平距离为20m,在A处的发射装置向目标C

发射一个火球点燃火炬，该火球运行的轨迹为抛物线形，当火球运动到距地面最

大高度20m时，相应的水平距离为12m.请你判断该火球能否点燃目标C?并说明

理由.

【分析】建立适当直角坐标系,构建二次函数解析式,然后分析判断.

解:该火球能点燃目标.如图，以0B所在直线为x轴，0A所在直线为v轴建

立直角坐标系,则点(12,20)为抛物线顶点,设解析式为y=a(x-12)z+20,•.•点

(0,2)在图象上，，144a+20=2,.•.au-l,：.y=~-(x-12)?+20.当x=20时，

88

y=~-X(2072)2+20=12,即抛物线过点(20,12),.该火球能点燃目标.

8

【教学说明】二次函数y=a(x-h)、k的应用关键是构造出二次函数模型.

四、运用新知，深化理解

1.若抛物线y=-7(x+4)2-1平移得到y=-7x；则必须()

A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位

B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位

C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位

D.先向右平移1个单位，再向上平移4个单位

2.抛物线y=x~与x轴交于B,C两点，顶点为A,则aABC的周长为()

A.475B.4V5+4C.12D.2石+4

3.函数y=ax2-a与y=ax-a(aWO)在同一坐标系中的图象可能是()

4.二次函数y=-2x2+6的图象的对称轴是,顶点坐标是

当x时，y随x的增大而增大.

5.已知函数y=ax2+c的图象与函数y=-3x2-2的图象关于x轴对称，则

a=,c_.

6.把抛物线y=(x-1)z沿y轴向上或向下平移，所得抛物线经过Q(3,0),

求平移后抛物线的解析式.

【教学说明】学生自主完成，加深对新知的理解，教师引导解疑.

【答案】1,B2.B3.C4.y轴，(0,6),<05.3,26.y=(x-1)-4

五、师生互动，课堂小结

1.这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？

2.在学生回答的基础上，教师点评：①二次函数y=a(x-h)，k的图象与性质;

②如何由抛物线y=ax?平移得到抛物线y=a(x-h)，k.

【教学说明】教师应引导学生自主小结，加深理解掌握y=ax?与y=a(x-h)?+k

二者图象的位置关系.

.'课后作虬

1.教材教第「3题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

夏教学反思

掌握函数y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k图象的变化关系，从而体会由简单

到复杂的认识规律.

第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

.教孚目标

【知识与技能】

1.会用描点法画二次函数y=ax，bx+c的图象.

2.会用配方法求抛物线丫=2乂<4»<+(；的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x

的增减性

3.能通过配方求出二次函数y=ax，bx+c(aWO)的最大或最小值；能利用二次

函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.

【过程与方法】

1.经历探索二次函数y=ax，bx+c(aWO)的图象的作法和性质的过程，体会建

立二次函数y=ax2+bx+c(a#0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.

2.在学习y=ax，bx+c(a7O)的性质的过程中，渗透转化(化归)的思想.

【情感态度】

进一步体会由特殊到一般的化归思想，形成积极参与数学活动的意识.

【教学重点】

①用配方法求y=ax2+bx+c的顶点坐标；②会用描点法画y=ax2+bx+c的图象

并能说出图象的性质.

【教学难点】

能利用二次函数y=ax，bx+c(aWO)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问

题，能通过对称性画出二次函数y=ax2+bx+c(a^O)的图象.

孽,敦与旦程

一、情境导入，初步认识

请同学们完成下列问题.

1.把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式.

2.写出二次函数y=-2x2+6x-l的开口方向，对称轴及顶点坐标.

3.画y=-2x2+6x-1的图象.

4.抛物线y=-2x?如何平移得到y=-2x，6xT的图象.

5.二次函数y=-2x2+6x-1的y随x的增减性如何？

【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会y=ax?+bx+c

与y=a(x-h¥+k的转化过程.

二、思考探究，获取新知

探究1如何画y=ax，bx+c图象，你可以归纳为哪几步？

学生回答、教师点评：

一般分为三步：

1.先用配方法求出y=ax，bx+c的对称轴和顶点坐标.

2.列表,描点，连线画出对称轴右边的部分图象.

3.利用对称点，画出对称轴左边的部分图象.

探究2二次函数y=ax，bx+c图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？

学生回答，教师点评：

抛物线y=ax2+bx+c=«(x+—)2+,对称轴为x=-2，顶点坐标为

2a4〃2a

(-2,也二£),当a>0时，若x>-2,y随x增大而增大，若xV-2,y

2a4a2a2a

_b_..A

随X的增大而减小；当a<0时，若x>——，y随X的增大而减小，若x〈-一，

2a2a

y随x的增大而增大.

探究3二次函数y=ax2+bx+c在什么情况下有最大值，什么情况下有最小

值，如何确定？

学生回答，教师点评：

三、典例精析，掌握新知

例1将下列二次函数写成顶点式y=a(x-h)%k的形式，并写出其开口方向，

顶点坐标，对称轴.

①丫二-x-3x+21②y=-3x=8x-22

解：①y=Lx2-3x+21

4

=-(x-12x)+21

4

=~(x-12x+36-36)+21

4

=-(X-6)2+12.

4

.•.此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6,12),对称轴是x=6.

(2)y=-3x-18x-22=-3(x46x)-22=-3(x46x+9-9)-22=-3(x+3)2+5.

•••此抛物线的开口向下，顶点坐标为(-3,5),对称轴是x=-3.

【教学说明】第②小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需

多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解.

例2用总长为60m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长/的

变化而变化，/是多少时，场地的面积S最大？

①S与/有何函数关系？

②举一例说明S随/的变化而变化？

③怎样求S的最大值呢？

解:S=/(30-/)

=--+30/(0</<30)

=-(/-30/)

=-(/-15)2+225

画出此函数的图象，如图.

，/=15时，场地的面积S最大(S的最大值为225)

【教学说明】二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取

值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分.

四、运用新知，深化理解

1.(北京中考)抛物线y=x?-6x+5的顶点坐标为()

A.(3,-4)B.(3,4)C.(-3,-4)D.(-3.4)

2.(贵州贵阳中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(aV0)的图象如图所示，当-5

WxWO时，下列说法正确的是()>一--讨\

A.有最小值5、最大值0

B.有最小值-3、最大值6

C.有最小值0、最大值6

D.有最小值2、最大值6

3.如图，二次函数丫=2乂<4^+£；的图象开口向上，图象经过点（-1,2）和（1,

0）,且与y轴相交于负半轴.

（1）给出四个结论：①a>0;②b>0;③c>0；!

④a+b+c=0.其中正确结论的序号是.

（2）给出四个结论:①abcV0;②2a+b>0;③a+c=1;

④a>1.其中正确结论的序号是.

【教学说明】通过练习，巩固掌握y=ax%bx+c的图象和性质.

【答案】LA2.B3.⑴①④⑵②③④

五、师生互动，课堂小结

1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？

2.在学生回答的基础上，教师点评：

（1）用配方法求二次y=ax?+bx+c的顶点坐标、对称轴；

（2）由y=ax，bx+c的图象判断与a,b,c有关代数式的值的正负；

（3）实际问题中自变量取值范围及函数最值.

.>谓后作观

1.教材巴5第「3题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

里教学反思

y=ax2+bx+c的图象和性质可以看作是y=ax2,y=a（x-h）2+k,y=a（x-h）2+k的图

象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规

律.

*1.3不共线三点确定二次函数的表达式

孽,敦艺目标

【知识与技能】

1.掌握用待定系数法列方程组求二次函数解析式.

2.由已知条件的特点，灵活选择二次函数的三种形式，合适地设置函数解析

式,可使计算过程简便.

【过程与方法】

通过例题讲解使学生初步掌握，用待定系数法求二次函数的解析式.

【情感态度】

通过本节教学,激发学生探究问题,解决问题的能力.

【教学重点】

用待定系数法求二次函数的解析式.

【教学难点】

灵活选择合适的表达式设法.

:＞教学区程

一、情境导入，初步认识

1.同学们想一想，已知一次函数图象上两个点的坐标，如何用待定系数法求

它的解析式？

学生回答：

2.已知二次函数图象上有两个点的坐标，能求出其解析式吗？三个点的坐标

呢？

二、思考探究，获取新知

探究1已知三点求二次函数解析式讲解：教材%例1,例2.

【教学说明】让学生通过例题讲解归纳出已知三点坐标求二次函数解析式的

方法.

探究2用顶点式求二次函数解析式.

例3已知二次函数的顶点为A(1,-4)且过B(3,0),求二次函数解析式.

【分析】已知抛物线的顶点，设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k.

解：•.•抛物线顶点为A(1,-4),.•.设抛物线解析式为y=a(x-1)2-4,•:点B(3,

0)在图象上，.-.0=4a-4,.,.a=1,.,.y=(x-1)-4,即y=x-2x-3.

【教学说明】已知顶点坐标，设顶点式比较方便，另外已知函数的最(大或

小)值即为顶点纵坐标，对称轴与顶点横坐标一致.

探究3用交点式求二次函数解析式

例4(甘肃白银中考)已知一抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(1,0),

且经过点C(2,8).求二次函数解析式.

【分析】由于抛物线与x轴的两个交点为A(-2,0),B(1,0),可设解

析式为交点式：y-a(x-xi)(x-x2).

解:A(-2,0),B(1,0)在x轴上，设二次函数解析式为y=a(x+2)(x-1).

又：图象过点C(2,8),.,.8=a(2+2)(2-1),.\a=2,.*.y=2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4.

【教学说明】因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再

把第三点代入可得一元一次方程，较一般式所得的三元一次方程简单.

三、运用新知，深化理解

1.若二次函数y=-x2+mx-2的最大值为？，则m的值为()

4

A.17B.1C.±17D.±1

2.二次函数y=ax，bx+c的图象大致如图所示，下列判断错误的是()

A.a<0B.b>0C.c>0D.ab>0

第2题图第3题图第4题图

3.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1,且经过点P(3,0),

则a-b+c的值为()

A.0B,-1C.1D.2

4.如图是二次函数y=ax2+3x+a2-1的图象,a的值是.

5.已知二次函数的图象经过点(0,3),(-3,0),(2,-5),且与x

轴交于A、B两点.

(1)试确定此二次函数的解析式；

(2)判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上?如果在，请求出4PAB的

面积;如果不在,试说明理由.

【教学说明】通过练习巩固加深对新知的理解，并适当对题目作简单的提示.

第3题根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为(-1,0),

将此点代入解析式，即可求出a-b+c的值.第4题可根据图象经过原点求出a的

值，再考虑开口方向.

【答案】1.C2,D3.A4.-15.

解：⑴设二次函数的解析式为y=ax?+bx+c.•.•二次函数的图象经过点(0,3),

(-3,0),(2,-5)....c=3.，9a-3b+3=0,4a+2b+3=-5.解得a=7,b=-2....二

次函数的解析式为y=-x2-2x+3.

(2)V当x=-2时，y=-(-2)2-2X(-2)+3=3,.•.点P(-2,3)在这个二次函数的

图象上.令-x2-2x+3=0,.•.Xi=-3,X2=1..•.与x轴的交点为(-3,0),(1,0),.,.AB=4.即

SAPAB=12X4X3=6.

四、师生互动，课堂小结

1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？

2.在学生回答的基础上，教师点评：

3.求二次函数解析式的三种表达式的形式.

(1)已知三点坐标,设二次函数解析式为y=ax2+bx+c.

(2)已知顶点坐标：设二次函数解析式为y=a(x-h)，k.

(3)已知抛物线与x轴两交点坐标为(x„0),(X2,0)可设二次函数解析式为

y=a(x-xi)(x-x2).

守课后型后

1.教材P23第「3题.

2.完成同步练习册中本课时的练习.

建教学反思

用待定系数法求二次函数的表达式有三种基本方法，解题时可根据不同的条

件灵活选用.本节内容是二次函数中的重点也是中考考点之一，同学们要通过练

习，熟练掌握.

1.4二次函数与一元二次方程的联系

单教学目标

【知识与技能】

1.掌握二次函数图象与X轴的交点