2023中考数学二轮专题《探究“一线三等角”》课件

“一线三等角”模型的探究与应用年级：九年级学科：初中数学（浙教版）问题背景如图，在△ACD中，∠ACD=90°，AC=DC，按如下步骤操作：（2）分别过点A、D作直线l的垂线段，垂足分别为点B、E；BE从这个图形中你能得到什么结论？结论：△ABC≌△CED如果将△ACD的形状作一下改变，这个结论还成立吗？

（1）任意作一条直线

经过点C(不与AC、DC重合)；

“一线三直角”全等模型探究1：若将等腰直角△ACD改为任意直角三角形，按上面的步骤(1)(2)作图；从这个图形中你能得到什么结论？结论：△ABC∽△CED“一线三直角”基本图形特征：∠ABC=∠ACD=∠CED=90°且顶点在同一直线上.结论：△ABC∽△CED探究2：如图，若将直角三角形ACD改成任意△ACD，已知∠B=∠ACD=∠E=a，△ABC与△CDE还相似吗？请说明理由.∵∠B=∠ACD=a∴∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠DCE=180°-a∴∠BAC=∠DCE又∵∠B=∠E=a∴△ABC∽△CED“一线三等角”基本图形

问题背景问题探究结论：△ABC∽△CED特征：∠B=∠ACD=∠E=a且顶点在同一直线上BE“一线三直角”相似模型模型提炼：“一线三等角”基本图形问题背景问题探究一.三个等角可以是锐角、直角或钝角二.点C还可以在线段BE或EB的延长线上同侧型异侧型尝试问题背景问题探究如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为________.思考1：由已知条件△ABC是等边三角形你能得到什么？∠ABD=∠DCE=60°思考2：由∠ABD=∠DCE=60°，结合条件∠ADE=60°，你想到了什么？“一线三等角”模型∵△ABC是等边三角形，∴CD=BC-BD=9-3=6，∠BAD+∠ADB=120°.又∵∠ADE=60°，∴∠DAB=∠EDC，

∴∠B=∠C=60°，AB=BC，解得CE=2∴AE=AC-CE=9-2=7.∴∠ADB+∠EDC=120°.∴△ABD∽△DCE.60°三个等角：∠B=∠ADE=∠C=60°“一线三等角”模型7例题

如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=-x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C(2,0)，点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值为___________.问题背景问题探究P思考1：由直线y=-x+m你能得到什么？OB=OA=m，∠OBA=∠OAB=45°思考2：结合条件∠CPA=∠ABO=45°你想到了什么？存在“一线二等角”找可能的另一“等角”构“一线三等角”思考3：如将y轴看成“一线”，如何寻另一“等角”？

由y=-x+m可得A（m，0），B（0，m），yxOCABD∵∠CPA=∠ABO=45°又∵∠ABP=∠PDC=45°

∴∠BPA+∠OPC=∠BPA+∠BAP=135°∴∠OPC=∠BAP.∴△PCD∽△APB

解得：m=12m=12问题背景问题探究“一线三等角”模型找角：根据图形中存在的“一线二等角”，找可能的另一“等角”定线：将相等角所在顶点的直线看成“一线”.构相似：利用两个相等的角，再补一个相等的角，从而构造“一线三等角”相似模型例已知：等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转.问题背景问题探究拓展生长（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：△BPE∽△CFP；图a步骤一：找角∠B=∠C=30°∠EPF=步骤二：定线步骤三：找相似∠BEP+∠BPE=∠BPE+∠CPF=150°∠BEP=∠CPF∠B=∠C，△BPE∽△CFP例已知：等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转.问题背景问题探究拓展生长（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）图b△BPE∽△CFP例已知：等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转.问题背景问题探究拓展生长（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.图b②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）△BPE∽△CFP思考1：△BPE与△PFE有没有相等的量？∠EBP=∠EPF思考3：目前我们已知什么？△BPE∽△CFP思考2：结合∠EBP=∠EPF，要证△BPE与△PFE相似，你会用相似的哪个判断方法？

BP=PC

△BPE∽△PFE例已知：等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转.问题背景问题探究拓展生长（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F.图b②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S.①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）思考1：结合EF=m，△EPF的面积S你会怎么表示？

思考2：PG如何表示？G

由△BPE∽△PFE你能得到什么？∠BEP=∠PEF思考3：由∠BEP=∠PEF，PG⊥EF，你想到了什么？KPG=PK在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°