概率论与数理统计张天德第2章课件例题

§1随机变量1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）..R例抛掷骰子,观察出现的点数.样本点本身就是数量目前一页\总数六十四页\编于点2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.例掷硬币的试验，它的样本空间含有两个可能结果：当“出现正面”时，用数“1”代表，当“出现反面”时，用“0”代表，此时将每个试验结果看作一个变量X，它将随试验的结果而变化：目前二页\总数六十四页\编于点例

袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数。我们将

3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作

4，5号，则该试验的样本空间为分析样本空间目前三页\总数六十四页\编于点记取出的黑球数为X，则X

的可能取值为1，2，3显然，X是一个变量。而且，X取什么值依赖于试验结果，即，X的取值带有随机性，所以，我们称X为随机变量。目前四页\总数六十四页\编于点X

的取值情况可由下表给出：目前五页\总数六十四页\编于点由上表可以看出：1、该随机试验的每一个结果都对应着变量X

的一个确定的取值因此，变量X

是样本空间S上的函数：2、定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件。表示至少取出2个黑球这一事件，等等。表示取出2个黑球这一事件；例如目前六页\总数六十四页\编于点设随机试验的样本空间S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称

X=X(e)

为随机变量。由此看到，随机试验的结果可以用数量来示，因此引入随机变量的概念定义

对于任意的实数x

，集合都是随机事件。目前七页\总数六十四页\编于点

而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母ζ,η等表示目前八页\总数六十四页\编于点随机变量是上的映射,此映射具有如下特点

定义域

S

随机性

r.v.X

的可能取值不止一个,

试验前只能预知它的可能的取值，但不能预知取哪个值

概率特性

X

以一定的概率取值事件及事件概率随机变量及其取值规律目前九页\总数六十四页\编于点

例1

一批产品中任意抽取20件作质量检验，作为检验结果的合格品的件数用X表示，则X是随机变量。X的一切可能取值为

0，1，2，…，20

{X=0}表示事件“抽检的20件产品中没有合格品”；

{X=1}表示事件“抽检的20件产品中恰有1件合格品”；

……{X=k}表示事件“抽检的20件产品中恰有k件合格品”。目前十页\总数六十四页\编于点例2

将一颗骰子投掷两次，观察所的点数，以X表示所得点数之和，则X的可能取值为2，3，4，…，12，而且{X=2}={(1,1)},{X=3}={(1,2),(2,1)},{X=4}={(1,3),(2,2),(3,1)},……{X=12}={(6,6)}。随机变量X的取各个可能值的概率列于下表：X23456789101112P1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36……P{X=2}=1/36……………P{X=3}=2/36……P{X=4}=3/36…P{X=12}=1/36目前十一页\总数六十四页\编于点例

3上午8:00～12:00在某路口观察，令：

Y：该时间间隔内通过的汽车数．则Y就是一个随机变量．它的取值为0，1，…．

表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；

表示通过的汽车数大于50辆但不超过100辆这一随机事件．

注意

Y的取值是可列无穷个！目前十二页\总数六十四页\编于点例

4表示寿命大于3000小时这一随机事件．表示寿命不超过1500小时这一随机事件．S={t|t≥0}观察灯泡的寿命（单位：小时），样本空间:令Y：该灯泡的寿命．则Y就是一个随机变量．它的取值为所有非负实数．注意Y的取值是不可列无穷个！目前十三页\总数六十四页\编于点

在同一个样本空间可以同时定义多个r.v.,例如S={儿童的发育情况e

}X(e)—身高,Y(e)—体重,Z(e)—腰围.在什么样情况下定义何种随机变量要根据实际要解决什么问题而定。各r.v.之间可能有一定的关系,也可能没有关系——即相互独立目前十四页\总数六十四页\编于点离散型非离散型r.v.

分类

其中一种重要的类型为

连续性r.v.引入r.v.重要意义

任何随机现象可被r.v.描述

借助微积分方法将讨论进行到底目前十五页\总数六十四页\编于点§2离散型随机变量及其分布律

若随机变量X所有可能的取值为有限个或可列无穷多个，则称X为离散型随机变量。否则称为非离散型随机变量。

定义1一、离散型随机变量的分布律

注：为了描述随机变量X

，我们不仅需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取每个值的概率.目前十六页\总数六十四页\编于点

这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为例目前十七页\总数六十四页\编于点

P{X=xi}=pi

（i=1,2,…）亦可用下面的概率分布表来表示Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…则称之为离散型随机变量X的概率函数或概率分布或分布列（律）。设离散型随机变量X所有可能的取值为

x1,x2,…,xn,…X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为定义2目前十八页\总数六十四页\编于点分布律的性质

非负性

归一性X~或用这两条性质判断一个函数是否是概率函数目前十九页\总数六十四页\编于点二、表示方法（1）列表法：（2）图示法（3）公式法X~再看例任取3个球X为取到的白球数X可能取的值是0,1,20.10.30.6kPK012目前二十页\总数六十四页\编于点例1从1～10这10个数字中随机取出5个数字，X表示取出的5个数字中的最大值.试求X

的分布列即X

的分布列为解:X

的取值为5，6，7，8，9，10.

并且目前二十一页\总数六十四页\编于点例2将1枚硬币掷3次，X表示出现的正面次数与反面次数之差.试求X

的分布列解:X

的取值为-3，-1，1，3则X

的分布列为目前二十二页\总数六十四页\编于点例3设离散型随机变量X

的分布列为

则目前二十三页\总数六十四页\编于点例3（续）目前二十四页\总数六十四页\编于点例4设随机变量X的分布律为解:由分布列的性质，得该级数为等比级数，故有所以试求常数c目前二十五页\总数六十四页\编于点三、常见离散型随机变量的概率分布设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律为则称X服从(0—1)分布或两点分布.1.两点分布实例1

“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.

随机变量X服从(0—1)分布.其分布律为目前二十六页\总数六十四页\编于点实例2200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定取得不合格品,取得合格品.则随机变量X服从(0—1)分布.

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.目前二十七页\总数六十四页\编于点2.等可能分布如果随机变量X的分布律为实例抛掷骰子并记出现的点数为随机变量X,则有目前二十八页\总数六十四页\编于点3.几何分布

若随机变量X的分布律为则称X服从几何分布.实例

1设某批产品的次品率为p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所需要抽到的产品数X

是一个随机变量,求X的分布律.不难验证:目前二十九页\总数六十四页\编于点实例2

某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求首次命中所需射击次数X的概率函数.解:显然，X可能取的值是1,2,…，

P{X=1}=P(A1)=p,计算

P{X=k},k=1,2,…，Ak

={第k发命中}，k=1,2,…，设于是目前三十页\总数六十四页\编于点Ak

={第k发命中}，k=1,2,…，设所以X服从几何分布.说明

几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.几何分布背景：

随机试验的可能结果只有2种，A与试验进行到首次A发生为止的次数X，{X=k}即k次试验，前k-1次失败，第k次成功。目前三十一页\总数六十四页\编于点设随机变量X的概率函数为

则称随机变量X服从超几何分布，记作4超几何分布m=0,1…,l,l=min(M,n)

从§1.4例3可知，设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中“一次抽取n件样品”或“不放回地依次抽取n件样品”，则样品中的次品数：X=0,1…,l,

l=min(M,n)目前三十二页\总数六十四页\编于点I伯努利(Bernoulli)试验模型5.二项分布设随机试验满足：1°在相同条件下进行n次重复试验；2°每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；3°各次试验是相互独立的，则称这种试验为伯努利概型或n重伯努利试验目前三十三页\总数六十四页\编于点实例1

抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.

或n个人同时抛n枚硬币。实例2

抛一颗骰子n次,观察是否“出现

1点”,就是

n重伯努利试验.目前三十四页\总数六十四页\编于点且两两互不相容.目前三十五页\总数六十四页\编于点称这样的分布为二项分布.记为目前三十六页\总数六十四页\编于点说明1.显然，当n

=1

时此时，X服从两点分布这说明，两点分布是二项分布的一个特例第k+1项2.称为二项分布的原因是为二项展开式目前三十七页\总数六十四页\编于点例1

已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.

解:因为这是有放回地取3次，因此这3次试验的条件完全相同且独立，每次试验两个结果：次品(A)，非次品，它是3重伯努利试验.依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.设X为所取的3个中的次品数，于是，所求概率为：X~b(3,0.05)，目前三十八页\总数六十四页\编于点注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不是伯努利概型，此时，只能用古典概型求解.古典概型与伯努利概型不同，有何区别？请思考：目前三十九页\总数六十四页\编于点伯努利概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；二项分布描述的是n重伯努利试验中出现“成功”次数X的概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或，

且P(A)=p

，；（3）各次试验相互独立.可以简单地说，目前四十页\总数六十四页\编于点

例2:一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考试有5个选择题，每题有n重选择，其中只有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及格的概率.解

:每答一题为试验，结果只有两种，答对(A)的概率为，而且他是否正确回答各题也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个5重Bernoulli试验

目前四十一页\总数六十四页\编于点

例3甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数较多者为胜.，假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率各为多少？

解每一盘棋可看作一次贝努里试验.设X为10盘棋赛中甲赢的盘数，则X

～

B(10,0.6)，按约定，甲只要赢6盘或6盘以上即可获胜.所以P{甲获胜}=若乙获胜，则甲赢棋的盘数，即

注意：事件“甲获胜”与“乙获胜”并不是互逆事件，因为两人还有输赢相当的可能．容易算出目前四十二页\总数六十四页\编于点II二项分布的图形目前四十三页\总数六十四页\编于点由此可知，

对于固定n及p，当k增加时,概率P(X=k)先是随之增加直至达到最大值,随后单调减少.目前四十四页\总数六十四页\编于点([x]表示不超过

x

的最大整数)n=10,p=0.7nPkn=13,p=0.5Pkn0目前四十五页\总数六十四页\编于点例4

独立射击5000次,每一次命中率为0.001,

(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于1次的概率.解

令X表示命中次数,则X

~

b(5000,0.001)目前四十六页\总数六十四页\编于点（2）求

命中次数不少于1次的概率.

令X表示命中次数,则X

~

b(5000,0.001)小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件本例启示目前四十七页\总数六十四页\编于点由此可见日常生活中“提高警惕,防火由于时间无限,自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的

同样,人生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常现象,大可不必怨天尤人,更不要想不开而防盗”的重要性.事，不用奇怪，不用惊慌.跳楼自杀.目前四十八页\总数六十四页\编于点例5

设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是0.01,且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由四人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.解发生故障时不能及时维修”,而不能及时维修的概率为则知80台中发生故障目前四十九页\总数六十四页\编于点即有

按第二种方法故80台中发生故障而不能及时维修的概率为第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维修工人减少一人。运用概率论讨论国民经济问题，可以有效地使用人力、物力资源目前五十页\总数六十四页\编于点6.泊松分布

易见目前五十一页\总数六十四页\编于点解

随机变量X的分布律为由已知试求例1

设随机变量X服从参数为的Poisson分布，且已知目前五十二页\总数六十四页\编于点得由此得方程得解（另一个解不合题意，舍去）因此目前五十三页\总数六十四页\编于点

设在n重贝努里试验中，以代表事件A

在一次试验中发生的概率,它与试验总数n有关.若Poisson定理则证明:令则目前五十四页\总数六十四页\编于点Poisson定理的证明(续)对于固定的k，有得由目前五十五页\总数六十四页\编于点所以Poisson定理的证明(续)目前五十六页\总数六十四页\编于点Poisson定理的应用

—二项分布与泊松分布关系

由Poisson定理，可知有令则当n比较大，p

比较小时则目前五十七页\总数六十四页\编于点单击图形播放/暂停ESC键退出二项分布

泊松分布n100,np10时近似效果就很好

请看演示实际计算中，目前五十八页\总数六十四页\编于点

由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布.

我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.泊松分布可以作为描绘大量实验中稀有事件出现的次数X=0,1,2,…的概率分布的数学模型目前五十九页\总数六十四页\编于点电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水

在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中

,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.目前六十页\总数六十四页\编于点