电子科大图论上课及复习总结杨春6

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图论及其应用任课教师：杨春数学科学学院1本次课主要内容(二)、E图和H图的关系超哈密尔顿图问题(一)、超H图与超H迹2

定义1若图G是非H图，但对于G中任意点v,都有G-v是H图，则称G是超H图。(一)、超H图与超H迹

定理1彼得森图是超H图。1765432彼得森图1098

证明：(1)证明彼得森图是非H图。3

若不然，设C是G的H圈。1654327彼得森图1098

又对于边28，23来说，在前面情况下，必有一条在C中。分两种情形讨论。

对于边12,17,15来说，必然有两条边在C中。不失一般性，假定17,12在C中，那么，56，54也必然在C中。41654327彼得森图1098

但这样得到圈：17(10)821。所以该情形不能存在。

情形1：假如28在C中，则39，34在C中,从而7(10),8(10)在C中5

但这样得到圈：123971。所以该情形也不能存在。

情形2：假如23在C中，则86，8(10)在C中,从而39,79在C中.1654327彼得森图10981654327彼得森图1098

上面推理说明，G中不存在H圈，即彼得森图是非H图。6

由对称性，只需考虑下面两种情形:(a)G-1,（b）G-6

(2)证明对任意点v，G-v是H图。

(a)G-1中有H圈：54328(10)796536542107G-198

(b)G-6中有H圈：54397(10)8215154327G-61098

由(1)与(2)，G是超H图。7

定义2若G中没有H路，但是对G中任意点v，G-v存在H路，则称G是超可迹的。

数学家加莱曾经猜想：不存在超可迹的图。但该猜想被Horton和Thomassen以构图的方式否定了。

定理2Thomassen图是超可迹图。abdefcThomassen图ⅠⅡⅢⅣ8

定理证明分为两部分:(1)证明G中不存在H路；(2)证明对G中任意点v，有G-v存在H路。

(1)证明G中不存在H路。

如图所示，将G用虚线分成对称的4部分：Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ

。abdefcThomassen图ⅠⅡⅢⅣ

假设G有H路P,设该路的起点为α，终点为β。不失一般性，设α∈Ⅰ∪｛a｝。

断言1：Ⅰ∪｛a｝中不存在以a,c,d三点中任意两点为端点的H路。

若不然，将推出彼得森图是H图。9abdefcThomassen图ⅠⅡⅢⅣ

断言2：Ⅰ∪Ⅱ∪｛a，b｝中不存在以a

为端点的H路。

若不然，设Q是一条以a为起点的Ⅰ∪Ⅱ∪｛a，b｝中的H路。那么，从a出发，沿着该路行走有两种可能:(1)遍历了Ⅰ中所有点之后，从c或d进入Ⅱ，但这形成了Ⅰ∪｛a｝

中的以a,c或a,d为端点的H路，与断言1矛盾！(2)没有遍历完Ⅰ∪｛a｝

中的顶点，假若从c进入Ⅱ，那么，必须遍历完Ⅱ∪｛b｝的所有顶点后，才能从e进入Ⅰ。但这也会与断言1产生矛盾。10abdefcThomassen图ⅠⅡⅢⅣ情形1：α=a

所以，情形1不能成立！由前面假设：α∈Ⅰ∪｛a｝。我们沿着P作如下的行进：

(1)假设是由a进入Ⅰ，要能够走完P,必须遍历Ⅰ∪Ⅱ的所有顶点后由b进入Ⅲ，但这与断言2矛盾！

(2)假设是由a进入Ⅳ，要能够走完P,必须遍历Ⅲ∪Ⅳ

的所有顶点后由b进入Ⅱ，但这也与断言2矛盾！11abdefcThomassen图ⅠⅡⅢⅣ情形2：α≠a

所以，情形2也不能成立！我们沿着P作如下的行进：

(1)假设是由α遍历了Ⅰ∪Ⅱ∪｛b｝所有顶点从a进入Ⅳ，这与断言2矛盾！同样，假设是由α遍历了Ⅰ∪Ⅱ∪｛a｝所有顶点从b进入Ⅳ，这也与断言2矛盾！

(2)假设是由α开始，没有遍历Ⅰ∪Ⅱ∪｛a,b｝而从a或b进入Ⅲ∪Ⅳ，那么，要走完P,都必须遍历完Ⅲ∪Ⅳ的所有顶点后，才能重新进入Ⅰ∪Ⅱ。但这要与断言2矛盾12

综合上面的论述：得G中没有H路。(2)证明对G中任意点v，有G-v存在H路。由对称性：我们取b和Ⅲ中顶点逐一分析即可。例如：abdefcThomassen图ⅠⅡⅢⅣ

综上所述：得Thomassen图是超可迹图。13

关于H图的一些猜想1、加莱猜想：不存在超可迹的图。加莱猜想是错误的。Thomassen图否定了加莱猜想。加莱(1912---1992)匈牙利数学家。他和Erdos,托兰是当时匈牙利国家数学竞赛获胜者，后来成为一生的朋友。加莱深受哥尼的影响而对图论产生极大兴趣，以至于他对图论基础理论做出了重大贡献，推动了图论与组合数学的迅速发展。同时，他也是最早认识所谓的“极小--极大定理”重要性的数学家之一。加莱为人谦虚低调，很少在公开场合露面。常常在赞扬别人工作时低估自己的成绩。不喜欢发表自己研究成果。142、泰特猜想：任何3连通3正则可平面图是H图。泰特猜想也是错误的。托特1946年构图否定了泰特猜想。46个点的托特图Lederberg等构造了最小的3连通3正则图非H图，有38个点。15如果怎泰特疯猜想肃正确攀，4色定务理可方得到滔证明河。托特(1蛇91黄7-症--感20妨02唱)英国见著名线数学跪家。19辟35年，坏入剑趋桥三晚一学目院学塌习化缘瑞学，蚀并攻岭读了理化学景研究贴生，亲撰写扬了2篇化来学论踏文。捡但是厅，他距的兴去趣是蓬数学保。在术剑桥泛，他寇结识雄了3位数良学专筹业的魄本科如学生蚀并成坏为终快身朋裤友，时合作坏发表甲数学燃论文饿。二诞战后仁，托若特回炊到剑浴桥攻脂读数灿学研像究生窝。研迫究生娃期间趣，发疯表了多关于梯图的松因子某分解鼓论文抱。在些他的辈数学随博士夏论文彼中，住复兴酸了拟塌阵理喜论(惠特个尼引锹入的).铲19筛48年博绵士毕待业后绿，受20世纪有伟大锈的几踏何学析家Co则xe冈te保r邀请伐前往布多伦晶多大鹿学任飘教，屯成为浩组合研数学纯杰出遮学者撕。5年后境到滑虾铁卢庄大学伍工作炸直到19吨84年退支休。托特建是20世纪萝伟大运的数拾学家努之一病，在所近代常数学衔史上锋占有寨一定景的地荡位。毕主要耍功绩团是提绸出并秃证明约了图舞的完博美匹右配定砍理。16托特璃还喜期欢写太诗，酬在19亩69年写经了一拆首反录映图革论的难诗：哥尼典斯堡兔的一悲些市揉民，漫步国在河挨畔。在普河雷格填尔河尾旁，有七卡座桥描相伴核。“Eu彻le蛇r,我们页一起帮散步衔吧！匆”那些古市民单在召椅唤。“我史们在赠这七茅座桥奖上漫仓步，经过岭每座站桥仅诞一次忘。”“你俘们做勇不到撞”，Eu伪le号r大声菠吼道布。“结闲果就质是这民样，岛屿大作为塘顶点转，四个际点有防奇数举度”祝。从哥射尼斯票堡到雾哥尼嫁的书缩慧，图论鸽的传载说正事是如索此，而且傻越来巾越精易彩，绽放介在密相歇根泳和耶资鲁17该猜孟想错窃误。Me须re万di绒th构图左对猜极想进庙行了蛋否定仆。3、纳您什—威廉吸斯猜糟想：否每个4连通4正则驼图是H图。Meredith图Me誉re缩慧di必th图是胖由彼窜得森信图的野每个男顶点俊嵌入散一个K3,驻4作成兴。18该猜浪想错兔误。Co首xe茧te必r构图出对猜钥想进不行了岁否定筝。4、托它特猜绕想：语每个3连通3正则着偶图碧是H图。Coxeter图19该猜鞭想是潜正确你的，救已经累得到糠证明线。5、普展鲁默单猜想怨：每身个2连通寨图的炸平方铲是H图。定义雕：图G的平咳方G2是这铁样的碰图:1234G1234G2值得屠一提贪的是阵：在H问题朝研究丢中，H图中H圈的止计数旺问题穗也是虽一个冒研究你方向心。20定理彩：每猜个3正则H图至可少有3个生键成圈踏。我院蛇张先摧迪、粮李正猴良教简授曾粒经也蜘研究瞎过H图中H圈的抽计数洽问题蕉。90年在《系统覆科学牙与数滋学》学报摔上发掠表文神章：性“有傅限循坝环群洒上Ca舒yl捞ey有向芝图的H回路俗”，昏得到困了该节类图贷的H圈的麦计数让公式拆。(二)、E图和H图的栗关系从表偏面上离看，E图与H图间杠没有巴联系恶。因离为我键们可午以不膨费力轮地找超到:溪(1塑)垒E图但点非H图；(2昆)意E图且H图；(3结)凡H图但笼非E图;吸(4住)非E图且齐非H图.E且H图E图但非H图H但非E图非E且非H图21定义3设G是图升，G的线趴图L(炸G)定义看为：特别赚地，丝式定义G的n次迭植线图Ln(G)为：x3x1x4x2G2=L(G1)L(G2)=L(L(G1))x1x2

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