混凝土的收缩徐变问题

一、对混凝土收缩徐变

现象的认识和研究过程1、对混凝土收缩、徐变的认识过程

19世纪20年代，在英国开始波特兰水泥的工厂化生产，从此开始了混凝土结构在世界范围内的发展时期。然而，人们对砼收缩、徐变现象的认识和重视始于20世纪初，而对它的系统研究则始于20世纪30年代，应用于实际结构更晚。直到20世纪40年代后期，多数设计人员仍认为混凝土收缩、徐变只是一个单纯的材料科学范围的学术问题。经过研究试验资料的积累与几十年的实践经验，人们对徐变、收缩对结构影响分析方法的研究已经得到很大发展。许多国家的设计规范对收缩、徐变都给予了详细考虑。关于混凝土收缩、徐变的知识，已经成为结构设计人员所必须掌握的专业知识。2、对混凝土收缩、徐变的研究过程早在1937年，F.Dischinger就提出了由混凝土徐变、收缩所导致的混凝土与钢筋截面应力重分布与结构内力重分配的微分方程解。这种方法对多次超静定的计算十分复杂，而且与实际出入较大。但由于没有更有效计算混凝土收缩、徐变的方法，Dischinget的理论在世界范围内使用了30多年。

1967年，H.Trost引入了当时被他称为松弛系数的概念（后被Z.P.Bazant改为老化系数），提出了由徐变导致的应力与应变之间关系的代数方程表达式，既简化了计算，又提高了精度。

1972年，Z.P.Bazant对H.Trost的公式进行了严密的证明，并将它推广应用到变化的弹性模量与无限界的徐变系数。

Trost-Bazant将按龄期调整的有效模量法与有限单元法相结合，使得混凝土结构的徐变、收缩计算能够采用更逼近实际的有限单元法及逐步计算法。

（1）加载时，混凝土柱体产生的瞬时弹性应变e；（2）加载前，混凝土就产生的随时间增长的收缩应变s；（3）长期持续荷载作用下，混凝土柱体随时间所增加的附加应变c，即徐变；（4）在1时刻卸去荷载，混凝土柱体除瞬时恢复弹性应变e外，还随时间恢复了一部分附加应变v（滞后弹性应变），残留而不可恢复的附加应变部分为屈服应变f。徐变应变c=v+f总应变b=s+e+(v+f)二、混凝土徐变、收缩的概念1、轴心受压混凝土柱体的变形混凝土柱体在龄期0施加荷载P，至时间1后卸去荷载的变形过程：

试验表明，加载初期徐变增长较快，后期变慢，几年后就停止增长。结构的累计徐变变形可达到同应力下弹性变形的1.5~3倍或更大。2、徐变与收缩的影响因素（1）收缩机理

1）自发收缩：水泥水化作用（小）

2）干燥收缩：内部吸附水蒸发(大)3）碳化收缩：水泥水化物与CO2反应（2）徐变机理(ACI209,1972)1）在应力和吸附水层润滑的作用下，水泥胶凝体的滑动或剪切产生的粘稠变形；

2）应力作用下，由于吸附水的渗流或层间水转动引起的紧缩；

3）水泥胶凝体对骨架弹性变形的约束作用所引起的滞后弹性应变；

4）局部发生微裂、结晶破坏及重新结晶与新的连结所产生的永久变形。（3）影响因素

(1)混凝土的组成材料及配合比；(2)构件周围环境的温度、湿度、养护条件；(3)构件的截面面积；(4)混凝土的龄期；(5)应力的大小和性质。3、徐变与收缩对桥梁结构的影响（1）结构在受压区的徐变和收缩将引起变形的增加；（2）偏压柱由于徐变使弯矩增加，增大了初始偏心，降低其承载能力；（3）预应力混凝土构件中，收缩和徐变导致预应力损失；（4）结构构件表面，如为组合截面，收缩和徐变引起截面应力重分布；（5）超静定结构，引起内力重分布；（6）收缩使较厚构件的表面开裂。4、线性徐变与非线性徐变（1）线性徐变理论徐变应变c与弹性应变e成线性关系，其比例系数为徐变系数，它与持续应力的大小无关：=c/e

适用性：桥梁结构中，混凝土的使用应力一般不超过其极限强度的40~50%，试验发现，当混凝土柱体应力不大于0.5Ra时，徐变变形与弹性变形之比与应力大小无关的假定是成立的。（2）非线性徐变理论徐变系数与持续应力的大小有关，即徐变应变与弹性应变不成线性关系。（3）分析混凝土徐变时的基本假定

1）采用线性徐变理论；

2）不考虑结构配筋的影响，把结构当作素混凝土。三、混凝土徐变系数的

数学表达式

从时刻开始对混凝土作用单轴向单位常应力，在时刻t产生的总应变，一般称为徐变函数J(t,)。对于上述两种徐变系数的定义，徐变函数可分别表示为：2、徐变数学表达式目前国内外对混凝土徐变的分析存在各种不同的理论，考虑的因素不尽相同，采用的计算模式也各不相同。归纳起来，有以下两种表达方式：（1）将徐变系数表达为一系列系数的乘积，每一个系数表示一个影响徐变值的重要因素，如英国BS5400(1984)、美国ACI209(1982)、CEB-FIP(1990)、我国2004桥规等；1、徐变系数的定义混凝土的徐变大小，通常采用徐变系数(t,)来描述。目前国际上对徐变系数有两种不同的定义。令时刻开始作用于混凝土的单轴向常应力s()至时刻t所产生的徐变应变为ec(t,)，第一种徐变系数采用混凝土28天龄期的瞬时弹性应变定义，即

CEB-FIP标准规范（1978及1990）及英国BS5400（1984）均采用这种定义方式。徐变系数的另一种定义为这一定义是美国ACI209委员会报告（1982）所建议的。

（2）将徐变系数表达为若干个性质互异的分项系数之和，如CEB-FIP(1978)、我国1985桥规等。下面对目前国际上常用的几种徐变数学表达式作简要介绍。（1）CEB-FIP标准规范（1978）认为徐变包括瞬时初应变、滞后弹性应变、残留流塑应变三部分：式中，

(t,t)—加载龄期为t

，计算龄期为t时的混凝土徐变系数；

ba(t)—加载后最初几天产生的不可恢复的瞬时初始变形系数（加载初期急变）；d(t,t)—可恢复的滞后弹性变形系数；f(t,t)—不可恢复的流塑变形系数；（2）我国桥规《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》（JTJ023-85）式中，d—滞后弹性系数，取为0.4；d—随时间而增长的滞后弹性应变；f—随混凝土龄期而增长的滞后塑性应变。f—流塑系数，依理论厚度和周围环境而定；

R(t)/R—加载时混凝土强度与最终强度之比。在规范中，上述各参数多以图形曲线和表格的形式出现，给使用带来了不便。（3）CEB-FIP标准规范（1990）

式中，0—名义徐变系数；

bc(t,t)—徐变系数进程系数；RH—环境相对湿度修正系数；

bfcm—混凝土强度修正系数

b(t)—加载龄期修正系数。（4）英国规范BS5400（Part4）

式中，k1—环境湿度影响系数；

k2—加载开始时固化程度影响系数；

k3—混凝土成分影响系数；

k4—混凝土构件有效厚度影响系数；

k5—确定徐变随时间发展的情况。（5）ACI209（1982）采用双曲线的形式式中，(u)—终极徐变系数；1—混凝土加载龄期影响系数；2—环境湿度影响系数；3—混凝土构件厚度影响系数；4—混凝土坍落度影响系数；5—细集料（<4.8mm）含量影响系数；6—空气含量影响系数，一般取1。（6）我国2004桥梁规范

各系数的定义与CEB-FIP(1990)相同。（7）BP模式

Z.P.Bazant与L.Panula对世界范围内庞大的徐变试验数据进行最优拟合后，提出了BP模式，认为徐变由基本徐变和干燥徐变组成，用徐变函数J(t,t,t0)表示总应变：式中，t0,t,t—分别为开始干燥时的龄期、加载龄期、计算龄期；

1/E(t)—单位应力产生的初始弹性应变；

c0(t,t)—单位应力常温、常湿度下产生的基本徐变（无水分转移）；

cd(t,t,t0)—单位应力产生的干燥徐变（有水分转移）；

cp(t,t,t0)—干燥以后徐变的减小值。

以上徐变表达式均以试验为依据，通过大量的试验数据总结出相应的经验公式，因此其计算结果与实际的差别较小。以上公式包含的参数众多，比较复杂，不适合进行理论分析。但可在电算中采用。3、偏重理论的徐变数学表达式除以上表达式外，为便于理论分析，以试验为依据，经过适当假设，提出理论上的徐变计算公式。一般从以下两方面来讨论：

1）加载龄期与徐变系数

(t,)的关系根据对加载龄期与徐变系数

(t,)的关系的不同假定，可以得出三大理论：老化理论，先天理论和混合理论。

2）徐变基本曲线的函数(t,0)

在假定加载龄期与徐变系数

(t,)的关系时，需要预先知道当

=0时的徐变系数曲线，即(t,0)。目前，徐变基本曲线的函数(t,0)最广泛采用狄辛格（Dischinger）公式，因此，(t,0)的表达公式又叫狄辛格公式。（1）(t,)与的关系

①老化理论：不同加载龄期的混凝土，其徐变曲线在任意时刻t徐变增长率都相同，即

(t,)与无关。由此得出：

a、已知(t,0)，将该曲线垂直平移可得(t,1)、(t,2)、(t,3)、……；

b、(t,)=(t,0)-(,0)c、增大到一定值(3~5年)，(t,)0。

②先天理论：不同加载龄期的混凝土，其徐变增长规律均相同，即(t,0)可表示为(t-0)。由此得出：

a、已知(t,0)，将该曲线水平平移可得(t,1)、(t,2)、(t,3)、……；

b、(,)不因而变化，即(,)=k0；

c、加载龄期不同，但持续荷载作用时间(t-)相同，则发生的徐变系数相同，即(t,0)=(t+i,0+i)

③混合理论：加载初期用老化理论，加载后期用先天理论。（2）徐变基本曲线的函数

(t,0)

狄辛格于1937年提出徐变基本曲线公式：式中，k0—加载龄期=0、t=时的徐变系数（终极值）；

—徐变增长速度系数；(t,0)—加载龄期

=0的混凝土在t时的徐变系数。有了徐变基本曲线公式(t,0)

，应用老化理论或先天理论，可得出一般的徐变系数(t,t)的计算公式。例如，由老化理论：（3）三种徐变理论的比较

a、老化理论对早期混凝土符合较好，对后期加载的徐变系数偏低，不能反映早期加载时徐变迅速发展的特点与滞后弹变，因而虽然计算简单，但难以反映实际情况，往往与试验不符，因此，老化理论渐被淘汰。

b、先天理论不能反映加载龄期的影响，只考虑持荷时间，当持荷时间无穷大时，不同加载龄期的徐变系数都有相同的徐变终极值，因而在缺少实测资料时亦很少应用。先天理论比较符合后期加载的情况。

c、混合理论与上述两种理论相比，一定程度上更好地反映了徐变的基本特征，但对于加载初期，尤其是早期加载的混凝土徐变迅速发展的情况不能很好地反映，对于构件厚度、混凝土配合比的影响都没有给出。四、徐变应力-应变关系2、应力-应变关系的微分方程表达式

将前面介绍的不同徐变系数数学表达式代入公式（1），可推导出应力-应变关系的微分方程式。如对于Dischinger法，微分方程为：但是有些徐变系数表式不能得出常微分方程，故不能用微分方程求解。正因为如此，Dischinger法在国内外被广泛采用，直到20世纪60年代才逐渐被Trost-Bazant法所取代。3、应力-应变关系的代数方程表达式作变换：式中，sc(t)、ec(t)称徐变应力和徐变应变。1、徐变作用下结构的总应变(t)

在线性徐变理论中通过徐变系数和弹性应力即可求出总应变。（1）应力不变条件下：(t)=e+c(t)=e[1+(t,)]

其中，徐变系数(t,)是指加载时刻为的t时刻的徐变系数。（2）连续变化的应力条件下：并注意到sc(t0)=0，则引入老化系数(t,0)（最初H.Trost称其为松弛系数，1972年T.P.Bazant改称老化系数，有些文献也称为时效系数）：于是，式（5）可写为：

假定混凝土弹性模量为常数，E(t)用常量E代替，将式(a)代入(1)，则式(1)可表示为由于上式含有对应力历史的积分，因此在分析中直接应用上式求解是困难的。由公式（3）得令式中，0t，E=E(0)。式中，E为按龄期调整的有效模量或徐变等效弹性模量：公式（6）称为Trost-Bazant法，它是工程实用分析的基本方程。老化系数(t,0)可根据实验结果曲线插值计算，但不便于电算。也可根据所采用的徐变系数表达式进行推算。许多学者假定了应力随时间的变化规律（即(t)与(0)的变化关系），从而求出(t,0)。金成隶假设应力变化符合老化理论，即设(t)=(0)e-(t,0)，则有：

有关文献经论证提出下列公式：对继效理论，=0.91，=0.686；对老化理论，=1，=1，即得到金成隶公式。在实际分析中，不必过分追求老化系数的精确程度，因为徐变计算误差最大的方面还在于徐变系数的选择。对时间t微分一次，得式中，s(t)=s(t0)+sc(t)，为t时刻的总应力。五、徐变效应分析的力法（一）徐变效应分析的微分方程1、老化理论分析（1）徐变应力-应变微分关系假定弹性模量为常数，则公式（3）为按老化理论：(t,0)=(t,i)-(0,i)=(t)-(0)代入式（8），得（2）徐变微应变与内力的关系设M(t0)、N(t0)为t0时刻实际结构的初始弯矩和轴力，在t0以后结构成为n次超静定，xjt为徐变在t时刻引起超静定结构的赘余力（j=1,2,…,n），和为xjt=1作用于基本结构产生的弯矩和轴力，于是，由赘余力产生的任意截面的徐变弯矩和徐变轴力为由此产生的徐变应力把（a）代入（b）并对时间t微分，得结构初始内力产生的应力

把（c）、（d）代入（9）中，有式中，e0(t)、k分别为徐变引起的截面重心处的轴向应变和曲率：（3）变仪形协钱调及无内力捡求解设切争口xjt方向痒的变雨形为规，利视用虚井功原校理将e0(t)、k表达旁式代仍入上慈式，芬有结构后不同素位置锡的徐围变系扫数是杀不同乔的，候若最仗年轻阁混凝啄土的斧徐变少系数堆为(t)，则首由老赴化理驰论知纹，其多他龄恰期混甩凝土宽的徐紫变系筛数为下标s表示拾杆长钩的函蹈数。英代入篇上式根据愁变形妹协调冰条件都：写成磨矩阵替形式室为此即由老化匪理论这求解宗超静谷定结摘构徐舱变二边次力劝的基卧本微碑分方提程组共。当混镰凝土具龄期酒相同品时，怠即s=1，于略是[*]=喷[]，{*}=舰{}公式昼（10）变惯为令有由此姑解得即（4）讨效论如果选用M2g、N2g表示速后期协结构车的初反始弯管矩和丧轴力权，Mgt、Ngt为t时刻止的结喘构内泡力，房诚则由于于是具有将上株式代泰入Mgt表达齿式，俭得当结榜构初下始内雷力是逮一次俘落架婚的内牲力时掉，即M(t0)伸=M2g，N(t0)值=N2g那么芬这两暑式右园边第香二项越为零佩，即藏徐变愈二次盼力为且零。另外赴，上煎式还由表明丙，先井期结蒙构与数后期读结构给之间匹的内妨力差凯别越挎大，丽徐变骡二次兽力越犯大，拦结构弹内力坦变化炼也越节大，趁这些蝴性质货对了维解结魄构的抬徐变穷效应留是十撞分重得要的巧。2、一锯般徐碎变理铸论分只析（1）基普本假段定及湖符号嫂规定所有铜构件椒具有录相同高的收际缩、耍徐变阴特性誉；从前梯期结蛾构继职承下绘来的时荷载仿为q，在笼赘余坝力方恰向的筝初内随力为xj,1（j=1锅,2捉,…龙,n）；结构削体系杏转换箭时刻屈为t；体系泼转换发之后借时刻t产生壤于赘劫余力棍方向袭的徐臂变次降内力淹为xj(t,t)（j=1息,2狮,…宜,n）。（2）相汇容方谦程在体皇系转坛换后葱的任宋何时幕刻t的dt时间往内，民由公照式（10）得光到第i个赘炎余力垫方向颜的变浊位增洗量为伏：1)由徐尼变次御内力掩增量dxj(t,t)产生捏的增疼量：2)由徐认变增坟量产娱生的利增量松：3)由荷村载及殊初内父力xi产生作的增颠量：式中云，ij—xj=1产生悬于基钉本静弹定结踩构第i个赘预余力史方向燃的变曾位；i,1—由初睬荷载q及初隙内力x1产生临于基岛本静脊定结胖构第i个赘岁余力纲方向东的变危位；(t,t)—时间t-t混凝荒土的灯徐变舌系数膀；则变辱位相繁容条锅件为捡：由于公式(a)可化鄙为另一家方面誉，若批以同关样的倦外荷饱载施短加于义经体甘系转肚换的椒后期溜结构并中，脆令第i个赘程余力锐方向友的弹脉性次索内力挖为xi,2(i=1甩,2判,…躬,n)，则比较佛（b）、艳（c），跑得到解微鞭分方译程，盘并根陷据初即始条徐件：t=t，xi(t,t)=右0,(t,t)=粉0得到式中xi(t,t)—第i个赘叛余力服方向养因徐能变产谢生的暑次内歪力；xi,1—先期脂结构探在第i个赘科余力锻方向缴的截奔面内病力；xi,2—先期破结构湾荷载军按后牵期结芬构计帝算得功到的绵第i个赘蚊余力遥方向卖的截缸面内笼力。在（e）式以的推脱导过红程中莲，忽荣略了酿实际冰存在居的构民件施开工节络段之婆间徐哨变特起性的福差异溪，而蔑经过笼体系睡转换众的结牺构都嫂存在套这种嘉差异沟，这骨是该叙式的池缺点谊。（二却）徐员变效门应分虽析的碰代数浇方程T-谜B分析惩得到拖的徐歪变应库力-应变编关系微的代务数方室程表腔达式盼为（成公式6）：仿照深老化景理论创的分掩析过这程，竿有ec(t,t0)=e0(t)+ky式中天，利用鞠虚功翠原理嚷可得洪切口xit方向也的变族形：式中鸭，根据段变形牧协调居条件疲：写成脚矩阵吧形式链：上式扭是T-洞B法求扛解超软静定猛结构筑徐变港赘余状力的芹基本蛇方程眉，它惩是代帐数方活程组晌，很照容易去求解摆。1、位从移法亩基本牵方程由公胖式（6）得锤：可以偶看出毒，跪是仪弹性淋应变电，故肌结构秀的徐讽变应原变能百为：积分法号中秃的前连两项梦可以捧通过竟虚功争原理吼进行端变换眉。如图划，设脖单元ij的徐朴变等够效弹岸模为E，应元变为c(t)，且氧杆端俯力和它杆端影位移怀分别尸为：按照生有限影元理容论，遵得：式中怀，[K]—弹性集刚度勒阵；[K]—徐变姐刚度顾阵，[K]=(t,0)[K]六、奇徐变物效应这分析鹅的位根移法c(t)=Ec(t)c(t)(t0)/Euiviiujvjju0iv0i0iu0jv0j0j上图粮中的(b)、(c)分别部为两尼种虚蝴位移岛状态访，状杀态a的力蜡对状言态b的虚昌位移售所作待的虚且功方羞程为劫：将c(t)=Ec(t)代入属，有(a)同样躬，状兰态a的力孕对状申态c的虚胆位移害所做毯的虚锻功方影程为均：(b)式中肆，{F0}为初饰始内拦力产糖生的厌弹性因杆端外力：{F0}=合[K]{0}耍(c)将式(a)、(b)代入超式(1怨2)中，泽得根据摧卡氏膛第一持定理瓣，有上式浆表明锦了由摄徐变醒引起怕的单穿元杆忍端力东由两蝴部分哥组成笋：第克一部肝分为闹由徐撑变位辱移{}产生祖的杆嗽端力疏，第雾二部友分为迈与初美始杆各端力{F0}引起招的徐韵变相粗应的榆杆端情力，唐这部骑分内枪力可利在用哲位移句法求诸得的脚结构称初始慨弹性什位移{0}后根迅据式(c)计算露。由于女徐变通分析拉是以喇结构阻初始膊内力温为基隙础的进，所嗓经历交的时往间段宋除约才束反乏力发把生变挥化外稻并不容增加和新的罪荷载欧，因津此将你各单野元在贸单元偏坐标戒系内欠由徐膛变引缸起的晨杆端抛力列档阵转递换到黎结构萍坐标帆系内土，进易行迭副加，床便可裂得到散结构惩总体宁平衡扮方程登，引卧入边复界条捧件后真，求洁解得值到徐启变引屑起的划单元刊杆端仔位移{}，进础而得慎到徐判变引增起的浮单元党杆端蓬力{F}。2、有治限元削拟弹乏性逐免步增械量法（1）基轻本分富析过得程分析竖各施较工阶逼段的替结构斧徐变怪效应熄时，牙采用重增量扩形式驳的徐零变变超形表虏达式厨比较刷方便旁。在草实际典结构灵中，顽应力伐与时吼间的畅关系月可用滨下图壤来近争似表穗示。i表示ti时刻堆的瞬摔时弹客性应火力，*i表示ti-1ti时段输的徐馅变应辉力增亭量。根据灵公式(3贵)可写投出至付时刻tn的徐娱变应侮变为同理艇可写漫出至男时刻tn-1的徐志变应出变为则第n个阶险段（际即tn-1tn）徐喇变应佣变增赔量为拔：0i*in-1*n注意垂上式英中含暖有(tn-1,tn-1)，若园计算孟中采菜用的胡徐变倒系数酒包含吼加载堆初期处急变竞项a()，则(tn-1,tn-1)0；否杏则(tn-1,tn-1)=0。利用责积分英中值漫定理种，有式中廉，ti-1tti。引入栗系数扮：则式中爹，另一顿方面资，公描式(1雨3)还可祥以写内成式中窜，{*0}为初预始内里力产澡生的纹徐变邮变形围：定义为徐余变等计效固虹端力袭，则引入殃以下姨记号{*0i}—第i阶段(ti-1ti)初始跨结构鸭内力桨产生要的徐竖变变衡形；{i}—第i阶段驱的总丝式徐变赛变形淹；{0i}—第i阶段柳由i/E产生斤的弹悬性变离形；{Fi}—第i阶段蒸由徐堂变引显起的棚总杆盾端力狱；{F*0i}—第i阶段惭徐变仔等效比固端袄力：[Ki]—第i阶段摆徐变炕刚度斧矩阵骆：由此诵可写父出第i阶段慢的单泪元平怠衡方颜程：由(c)式可用看出栗，因广为{Fi}是完昆全由双徐变训引起代的杆尾端力盲，所赚以由*i/Ei产生翼的杆扣端位诵移为({i}-显{*0i})。至此碗，由扭公式电（14）可悼写出岁第n阶段并由徐腾变引捕起的浩总杆沿端位爷移为爸：整理苗后即辩可得幅到t=0到t=tn-1的结钱构内跳力产缸生的明第n阶段(tn-1tn)的徐窃变位都移为丈：式中敌的弹知性位层移{0i}可由麻初始莲阶段踏的位裤移法滔分析萝得到辫，总既徐变肚位移{i}可由多式(c)、(d)组集活成的幅结构础总体海平衡辨方程僚解出恨。至此撞，通应过式(c)、(d)、(1界5)的联善立方辣程，局逐阶吵段进卷行徐兆变分数析。竭基本制步骤找如下渐：第一办阶段思（n=1）：1）计忽算t0时刻妄的结刻构弹馒性变贯形{00}；2）令{0}=猪{*00}=馋0，按醒式(1蜓5)计算胆第一恰阶段找初始诸内力认产生丙的徐国变变片形{*01}：{*01}=铲{00}10+{00}(t0,t0)3）按占式(b)计算饺徐变护刚度避矩阵[K1]=(t1,t0)[K]4）按祥式(a)计算惕徐变窄等效诱固端姑力{F*01}=醉-[K1]呈{*01}5）按姐一般垮有限革元步仆骤组丛集总糕刚和者总荷讨载阵毫，列镜出结家构总报体平落衡方女程，倾处理堆边界标后解唤出{1}；6）计锯算徐术变引拾起的毕总杆诸端力{F1}和支脖反力各。第二艇阶段打（n=2以后剂的计剪算）薯：1）计鸟算t1时刻肝加载翅的结巩构弹司性变件形{01}；2）按婚式(1所5)计算{*02}：3）按误式(b)计算孕徐变厘刚度骡矩阵[K2]=(t2,t1)[K]4）按防式(a)计算旺徐变播等效净固端钳力{F*02}=杏-[K2]宴{*02}5）按幼一般栏有限橡元步泽骤组降集总坚刚和退总荷贸载阵瓶，列进出结府构总皱体平泻衡方奴程，封处理昌边界煌后解拢出{2}；6）计类算徐柏变引诞起的课总杆蜡端力{F2}和支亩反力蠢；7）返但回第身一步获进行朗自n=3开始鸡各阶鹅段计辅算。（2）位勿移法盗分析编的递辅推计锻算在利岁用式(1渴5)计算毅时，南需要顺存储虽前n-1阶段帅的{0i}、{i}、{*0i}、ni、视、(ti,ti-1)，给计紧算带吗来不超便。若将励徐变麻函数尘表达诞为e指数驳形式美，则严式(1笔5)的计暴算可岭采用兽递推坑方式猜，省划去很敬多存比储。率具体代方法逼如下扰：设徐承变函肚数表谜达式贵为(1押6)则由式(1联6)，可膏得为计炕算方摇便，刊令*0=0，{0}=秃{*00}=冰0，这恶样，流式(1和4)、(1皱5)可写捧成上面看两式硬中出坝现了糠实际鬼并不扛存在范的E(t0,t-1)、(t0,t-1)两项成，计繁算中达可令辟其为里非零芽值而援不影遍响计逼算结答果。定义饿下面隶的量则式(1毅5)变成将式(e)两边访同乘届以治，有同时监，按往式(e)Bin的定义义，即有上式欠是一予个递踩推式冲，说宋明了Bin+1与Bin的关烤系。至此堂，式(1钱5)的复阶杂计除算转科化为绩按式(1败7)和(1闸9)进行寄的递仔推计氏算，刑仅需绵要存盈储上耐一阶目段的炼计算东结果秘，省渔却了适大量柴存储墨。利用慕递推半公式泡进行堆徐变嚷效应挠分析个的基荐本步或骤为央：第一量阶段绳（n=1）：1）计棍算t0时刻乌的结正构弹屑性变究形{00}；2）令{0}=竟{*00}=撑0，且Bi0=0，按卧式(1咱9)计算Bi1：Bi1={00}Ci(t0)3）按移式(1紫7)计算绘第一取阶段氏初始贫内力迁产生栽的徐奋变变辉形{*01}：4）按辞式(b)计算恶徐变血刚度肃矩阵[K1]=(t1,t0)[K]5）按爱式(a)计算爸徐变巾等效息固端扇力{F*01}=歪-[K1]钞{*01}6）组缴集总秀刚和旷总荷渴阵，野列出搁结构馆总体烂平衡惑方程排，处俘理边你界后辰