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§1.1集合与集合的运算

真题探究考纲解读知识盘点典例精析例题备选命题预测基础拾遗技巧归纳1本资料由书利华教育网（又名数理化网）为您整理

考点考纲解读1集合的含义与表示了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,在具体情境中,了解全集与空集的含义.3集合的基本运算理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选2本资料由书利华教育网（又名数理化网）为您整理

根据考试大纲的要求,结合近几年高考的命题情况,可以预测20

13年集合这部分内容在选择、填空和解答题中都有可能涉及.高考

命题热点有以下两个方面:一是对集合的运算、集合的有关陈述语

和符号、集合的简单应用等作基础性的考查,题型常以选择、填空

题的形式出现;二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体,以

集合的语言和符号为表现形式,结合简易逻辑知识考查学生的数学

思想、数学方法和数学能力,题型常以解答题的形式出现.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选3本资料由书利华教育网（又名数理化网）为您整理

一、集合的含义与表示1.集合是一个不能定义的原始概念,描述性定义为:某些指定的对象

的全体就成为一个集合,简称集.集合中的每一个对象叫做这个集合

的元素;集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征.2.集合的常用表示方法:列举法、描述法和韦恩图法.3.元素与集合的关系:集合中元素与集合的关系分为属于与不属于

两种,分别用∈和∉来表示;但是要注意元素与集合是相对而言的.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选4本资料由书利华教育网（又名数理化网）为您整理4.集合的分类:集合可分为有限集、无限集和空集.二、集合与集合的关系1.子集:若集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,就说集合A包

含于集合B(或集合B包含集合A),记作A⊆B(或B⊇A).2.相等:若集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,同时集合B中

的任意一个元素都是集合A的元素,就说集合A等于集合B,记作A=B.3.真子集:如果A是B的子集,并且B中至少存在一个元素不是A的元

素,就说集合A是集合B的真子集,记作A⫋B.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选5本资料由书利华教育网（又名数理化网）为您整理4.若集合A含有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个,非空真子

集有2n-2个.5.空集⌀是一个特殊而又重要的集合,它不含任何元素,⌀是任何集

合的子集,⌀是任何非空集合的真子集,解题时不可忽视⌀.三、集合的运算及性质1.交集:由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,叫做集合

A与B的交集,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A且x∈B}.2.并集:由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫做集合

A与B的并集,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A或x∈B}.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选6本资料由书利华教育网（又名数理化网）为您整理3.补集:集合A是集合S的子集,由S中的所有不属于A的元素组成的集

合,叫做S中子集A的补集,记作

SA,即

SA={x|x∈S且x∉A}.4.A∩A=A,A∩⌀=⌀,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A.5.A∩

UA=⌀,A∪

UA=U,

U(

UA)=A.6.

U(A∪B)=(

UA)∩(

UB),

U(A∩B)=(

UA)∪(

UB).7.A∪B=A⇔B⊆A,A∩B=A⇔A⊆B,A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.

考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选7本资料由书利华教育网（又名数理化网）为您整理1.已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为

(

)(A)1.(B)4.(C)1或4.

(D)36.【解析】依题意x2-5x=-4,即x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.【答案】C考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选8本资料由书利华教育网（又名数理化网）为您整理2.已知集合A={0,1,2,3},集合B={x|x=2a,a∈A},则

(

)(A)A∩B=A.

(B)A∩B⫌A.(C)A∪B=B.

(D)A∩B⫋A.【解析】B={0,2,4,6},A∩B={0,2}⫋A.【答案】D考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选9本资料由书利华教育网（又名数理化网）为您整理3.已知全集U=R,A={x||x|<2},B={x|x2-4x+3>0},则A∩(

UB)等于

(

)(A){x|1≤x<3}.

(B){x|-2≤x<1}.(C){x|1≤x<2}.

(D){x|-2<x≤3}.【答案】C【解析】A={x|-2<x<2},

UB={x|1≤x≤3},A∩(

UB)={x|1≤x<2}.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选10本资料由书利华教育网（又名数理化网）为您整理4.已知集合A={-1,2},B={x|mx+1=0},若A∪B=A,则m的值为

.

【解析】∵A∪B=A,∴B⊆A.当B=⌀时,m=0,符合题意;当B≠⌀时,m

≠0,此时x=-

,∵B⊆A,∴-

=-1或-

=2,∴m=1或m=-

.综上可知,m的取值为0,1,-

.【答案】0,1,-

考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选11本资料由书利华教育网（又名数理化网）为您整理题型1集合的基本概念 例1

(1)定义集合A*B={x|x=ab,a∈A,b∈B},设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为

(

)(A)0.

(B)2.

(C)3.

(D)6.(2)已知集合A={x|ax2-3x-4=0,x∈R},若A中至多有一个元素,则实数a

的取值范围是

.【分析】(1)按照新的定义,先确定集合A*B中的元素,然后求出该集

合中所有元素之和.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选12本资料由书利华教育网（又名数理化网）为您整理(2)集合A是方程ax2-3x-4=0的解集.A中至多有一个元素,则a≠0时,应

有Δ≤0;a=0时,恰有一个元素.【解析】(1)依据A*B的定义,当A={1,2},B={0,2}时,A*B={0,2,4},因

此A*B中所有元素之和为6.(2)当a=0时,A={-

};当a≠0时,关于x的方程ax2-3x-4=0应有两个相等的实数根或无实数根,∴Δ=9+16a≤0,即a≤-

.故所求的a的取值范围是a≤-

或a=0.【答案】(1)D

(2)a≤-

或a=0【点评】(1)新定义问题属信息迁移题,解决的关键是紧扣给出的新

定义,按定义要求进行判断或运算,此类题目对能力要求较高.(2)在处理含参一元二次方程式的根的问题时,若二次项系数含参量,

则不能忽略二次项系数为0的情况.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选13本资料由书利华教育网（又名数理化网）为您整理变式训练1

(1)已知全集U=R,集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,

k=1,2,…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合

的元素共有

(

)(A)3个.

(B)2个.(C)1个.(D)无穷多个.(2)已知a、b、c为非零实数,代数式

+

+

+

的值所组成的集合为M,则M=

.【解析】(1)M=[-1,3],N为正奇数集合,则图中阴影部分表示M∩N=

{1,3}.考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选14本资料由书利华教育网（又名数理化网）为您整理(2)a、b、c皆为负数时代数式的值为-4;a、b、c二负一正时代数式

的值为0;a、b、c一负二正时代数式的值为0;a、b、c皆为正数时代

数式的值为4.∴M={-4,0,4}.【答案】(1)B

(2){-4,0,4}考纲解读命题预测知识盘点典例精析技巧归纳真题探究基础拾遗例题备选15本资料由书利华教育网（又名数理化网）为您整理题型梁2集合隶间的军关系例2捞(1档)设膝集合M={x|x=+,k∈Z繁},N={x|x=+,k∈Z郑},萝则()(A睁)M=N.便(B央)M⫋N.(C课)M⫌N.光(D派)M与N的关晕系不衰确定嚼.(2优)已摸知A={x|1漫<ax<2饱,a∈R惠},B={x|-1<x<1榜},丙且A∩B=A,则挪实数a的取曲值范围冠为.【分冲析】涉(1牙)将剪集合历中的泥元素乐列举腾出来清,寻扰找规必律加稳以判茅断;怒或者序将集合中铅元素学满足么的条帐件化促简(炼通分赠),唐再利堂用子灭集的该定义众判断笔.考纲师解读命题摊预测知识血盘点典例哥精析技巧尖归纳真题抖探究基础艇拾遗例题漏备选16本资暑料由螺书利象华教辨育网芒（又烘名数搂理化巴网w团ww种.s闻hu率li鞋hu竿a.润ne便t）之为您岔整理(2循)集戴合B是确浮定的邮集合举,集敬合A因含遣参数a而待裹定,始故A⊆B包括牧两种俭情况:B=⌀和B≠⌀.【解析】(1)(法一)用列举法,令k=-2,-1,0,1,2,…,可得M={…,-

,-

,

,

,

,…},N={…,0,

,

,

,1,…},∴M⫋N,故选B.(法二)集合M的元素为:x=

+

=

(k∈Z),集合N的元素为:x=

+

=

(k∈Z),而2k+1为奇数,k+2为整数,∴M⫋N,故选B.考纲念解读命题案预测知识仙盘点典例伍精析技巧盐归纳真题润探究基础催拾遗例题蹈备选17本资岁料由旋书利欲华教军育网示（又采名数铸理化栋网w富ww外.s棵hu语li宁hu册a.剂ne前t）追为您烧整理(2涉)∵A∩B=A,∴A⊆B.若A=⌀,则a=0踩.若A≠⌀,①摸当a>0骆时,A={x|<x<},成则≥-1且≤1,乓∴a≥2;味②当a<0时,A={x|<x<},都则≤1且≥-1,棋∴a≤-2.综上尿,a的取臣值范据围为兵{a|a≤-2或a≥2或a=0哥}.【答越案】吗(1嚼)B兼(2磨){a|a≤-2或a≥2或a=0缺}【点评】(1)本题解法二从分式的结构出发,运用整数的性质求解较

为方便.注意:若k是任意整数,则k+m(m是一个整数)也是任意整数,而

2k+1,2k-1均为任意奇数,2k为任意偶数.(2)空集是任何集合的子集,忽视这一点,会导致漏解.对于形如{x|a<x

<b}这一类的集合,当a≥b时,它表示空集,解题时要引起注意.考纲筛解读命题农预测知识笛盘点典例金精析技巧惑归纳真题格探究基础敌拾遗例题飞备选18本资轧料由默书利艰华教能育网雾（又盟名数崇理化搭网w云ww埋.s惨hu声li坑hu甚a.闯ne桐t）银为您仔整理变式炮训练出2虑(亚1)浇集合A={x|x=1谷2m+8n+4t,其惜中m,n,t∈Z厉},B={x|x=2被0p+16q+1点2r,其润中p,q,r∈Z月},穴则集少合A,B的关鱼系是(次)(A汗)A=B.议(B脊)A⫋B.(C甩)A⫌B.敲(D欠)ZA⊆B.(2寺)设怪集合A={洋1,a,b},B={a,a2,ab},晶且A=B,则a20屿13+b20呆13=.【解望析】北(1潜)任分意x∈A,有x=1个2m+8n+4t=2堂0n+1副6t+1熄2(m-n-t)∈B,即A⊆B;同看理可块得B⊆A,所狸以A=B.选爱A.考纲蝴解读命题眯预测知识魔盘点典例哗精析技巧要归纳真题床探究基础匠拾遗例题傻备选19本资设料由驰书利珍华教糖育网袋（又隙名数难理化郊网w娘ww妙.s凳hu真li虾hu劫a.凯ne鞭t）繁为您云整理(2炭)∵A=B,∴或解方絮程组恒得,或或a=1读,b为任染意实傲数.由集鸭合元搞素的刑互异听性得a≠1,已∴a=-1,b=0街,故a20把13+b20半13=-1.【答它案】钉(1它)A承(2女)-1考纲勉解读命题纯预测知识允盘点典例劝精析技巧衔归纳真题申探究基础妇拾遗例题毕备选20本资舱料由冲书利嘴华教菌育网园（又方名数迷理化裂网w促ww幻玉.s谅hu毙li伯hu砍a.乱ne弃t）复为您池整理题型脉3集合序的运权算例3榆已于知集避合P={x|a+1≤x≤2a+1抛},Q={x|x2-3x≤10编}.(1罚)若a=3叼,求副(RP)∩Q;(2乐)若P∪Q=Q,求允实数a的取萄值范膝围.【分熄析】偷(1梯)先眯求出务集合P,Q,再袜利用庙交集否的定秤义求帆解;磨(2忠)将P∪Q=Q化为P⊆Q,再猛利用时子集晋的定确义求外解.【解析】(1)因为a=3,所以P={x|4≤x≤7},

RP={x|x<4或x>7}.又Q={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5},所以(

RP)∩Q={x|x<4或x>7}∩{x|-2≤x≤5}={x|-2≤x<4}.考纲沿解读命题鸽预测知识停盘点典例踪蝶精析技巧凉归纳真题湖探究基础吴拾遗例题鹊备选21本资敌料由扁书利请华教赛育网贷（又涛名数用理化傻网w疑ww酒.s月hu抽li济hu歉a.志ne廉t）却为您搭整理(2笨)当P≠⌀时,烫由P∪Q=Q,得P⊆Q,所切以解得订0≤a≤2;当P=⌀时,马即2a+1榨<a+1且时,户有P⊆Q,得a<0斥.综上币,实驶数a的取副值范疤围是古(-∞,2粮].【点填评】肃求集榆合的正交、袜并、碎补集刑时,横注意输数形症结合嘴的运浮用;P∪Q=Q⇔P⊆Q,P∩Q=P⇔P⊆Q,当舞子集子是待咬定的掉集合半时,恼要考见虑空浆集的辆情况.考纲碎解读命题机预测知识幅盘点典例渴精析技巧火归纳真题秆探究基础杨拾遗例题扫备选22本资露料由争书利增华教企育网毕（又龄名数将理化仅网w痕ww采.s返hu扰li钓hu孝a.山ne篇t）脆为您傲整理变式答训练纠3勾设全涛集U=R皱,集蜻合M={x|3a-1<x<2a,a∈R躲},N={x|-1<x<3凤},若N⫋UM,求牺实数a的取范值范荷围.【解析】∵N≠⌀,N⫋

UM,∴①若M=⌀,则

UM=R,显然成立.于是有3a-1≥2a,得a≥1.②若M≠⌀,则3a-1<2a,得a<1.这时

UM={x|x≤3a-1,或x≥2a},由N⫋

UM得2a≤-1或3a-1≥3,即a≤-

或a≥

,又a<1,故a≤-

.综合①②有a≥1或a≤-

.即a的取值范围为{a|a≥1或a≤-

}.考纲殖解读命题征预测知识律盘点典例域精析技巧目归纳真题犯探究基础蜜拾遗例题织备选23本资发料由猪书利叫华教炊育网降（又奇名数摩理化太网w准ww晶.s员hu携li心hu蒙a.趋ne欲t）功为您快整理1.抹对集告合的已认识剪,关绝键在于于化塔简给舟定的祖集合诊,确卧定集惯合的能元素困,并领正确认识炉集合茎中元丸素的亚属性缴,特督别要蛇注意穴代表饶元素甚的形劲式,哪不要药将点咏集和数集劳混淆例.2.栗利用医集合舅相等亮的定嘱义解袭题时财,特静别要醋注意塞集合项中元滋素的秒互异答性,携对求出榜的结悟果要碎加以系检验鸦.3.疲在解赵决有葱关集沸合运珠算的冤问题配时,姥要准工确理值解题晚中符俭号语止言的级含义迹,善于贿将其跪转化得为文连字语蓬言.考纲蕉解读命题慰预测知识表盘点典例驳精析技巧症归纳真题凭探究基础脾拾遗例题阔备选24本资照料由唤书利庄华教纤育网危（又随名数摘理化嫩网w慕ww左.s尾hu圣li脊hu姻a.亦ne颠t）吹为您就整理5.氧对于遥给出互的集惧合是讲否为签空集唱,集枯合中蕉的元蜡素个甩数是胆否确父定,炭都是纲常见的荐讨论寇点,衰解题蔬时要这有分崇类讨进论的应意识坛.4.险集合爬的运怨算可毫以用授韦恩碗(V层en确n)暮图帮隐助思杆考,思实数顺集合面的交棉、并略、补集运捕算可斜在数批轴上目表示墨,注死意数瓶形结商合思们想在罩运算染中的流运用讽.考纲斩解读命题弟预测知识控盘点典例乒精析技巧吧归纳真题胁探究基础连拾遗例题蓄备选25本资炎料由终书利汽华教迟育网锐（又梨名数骡理化思网w练ww蔽.s普hu惠li撑hu驾a.恶ne薯t）隆为您蝇整理1.绪(2拼01膝1年姻辽宁亏卷)翅已知M,N为集其合I的非冈空真组子集烘,且M,N不相复等,怖若N∩(IM)=⌀,则M∪N等于(闹)(A溜)M.眼(B韵)N.枪(C社)I.喂(D凉)⌀.【解岗析】昂由已户知条闲件可唐知N是M的真宽子集凯,故M∪N=M.【答百案】掉A考纲昏解读命题遮预测知识抽盘点典例酬精析技巧平归纳真题说探究基础驼拾遗例题坛备选26本资证料由柿书利跪华教蚕育网园（又缺名数恩理化裙网w青ww半.s室hu矛li览hu搅a.读ne硬t）膊为您背整理2.圆(2哈01舒1年傲天津冬卷)近已知盘集合A={x∈R辨||x+3贩|+香|x-4|≤9}块,B={x∈R绍|x=4t+-6,t∈(煎0,贿+∞)}懒,则挪集合A∩B=.【答北案】扶{x|-2≤x≤5}【解析】由绝对值的几何意义可知x到-3与4两点的距离之和不超过

9,由-3与4两点之间的距离为7可知A={x|-4≤x≤5}.因为t>0,所以4t+

-6≥-2,集合B={x|x≥-2},所以A∩B={x|-2≤x≤5}.考纲连解读命题藏预测知识热盘点典例封精析技巧见归纳真题侨探究基础减拾遗例题拉备选27本资贱料由刘书利粮华教筝育网袍（又子名数铃理化幕网w矮ww觉.s哑hu显li评hu门a.晕ne散t）索为您玩整理例1单已僵知P={a|a=(音1,把0)做+m(0吊,1档),m∈R墓},Q={b|b=(疑1,昌1)造+n(-1,紧1)汽,n∈R}热是两冈个向已量集辟合,沿则P∩Q等于(弱)(A岛){适(1毯,1极)}衡.鹅(B帆){葬(-1,庸1)断}.(C勉){棒(1渣,0脏)}获.院(D到){微(0阅,1旱)}霸.【解析】∵P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R}={a|a=(1,m)},Q={b|b=(1-n,1+n),n∈R},由

得

∴a=b=(1,1),∴P∩Q={(1,1)},故选A.【答桌案】田A考纲否解读命题贯预测知识属盘点典例塞精析技巧配归纳真题温探究基础草拾遗例题行备选28本资税料由早书利举华教袄育网槽（又惊名数吩理化授网w咽ww黄.s昆hu守li蛋hu车a.章ne关t）泉为您猜整理例2筝设U为全虚集,宵对集使合X、Y,定炸义运跃算“填*”呈,X*Y=U(X∩Y).对于舒任意殖集合X、Y、Z,则犹(X*Y)*Z等于(闲)(A牵)(X∪Y)∩UZ.弊(B彩)(X∩Y)∪UZ.(C宁)(UX∪UY)∩Z.帖(D)(UX∩UY)∪Z.【答丛案】上B【解析】∵X*Y=

U(X∩Y),∴(X*Y)*Z=

U[(