数值课件CH赖志柱2

数值分析NumericalAnalysis数值分析毕节学院数学与计算机科学学院赖志柱laizhizhu80@163.com2013年03月1数值分析NumericalAnalysis第二章插值法

2.1引言2.2拉格朗日(Lagrange)插值2.3均差与牛顿插值多项式2.4Runge现象与插值多项式的收敛性2.5Hermite插值2.6分段插值2.7反插值2数值分析NumericalAnalysis2.1引言2.1.1插值问题的提出2.1.2多项式插值2.1.3插值问题的一般提法3数值分析NumericalAnalysis2.1.1插值问题的提出插值法是一个古老而实用的数值方法，它来自生产实践。我国隋唐时期制定历法时就应用了二次插值，隋朝刘焯（公元6世纪）将等距二次插值应用于天文计算。17世纪，牛顿(Newton)和格雷哥里(Gregory)建立了等距节点上的一般插值公式。18世纪，拉格朗日给出了更一般的非等距节点上的插值公式。4数值分析NumericalAnalysis近半世纪由于计算机的广泛使用和造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上都得到了进一步的发展，尤其是20世纪40年代后期发展起来的样条函数(spline)插值，更获得了广泛应用，成为计算机图形学的基础。实际问题中遇到的函数f(x)是多种多样的，有的表达式很复杂，有的甚至没有给出表达式，只提供了一些离散点上的函数值或导数值。5数值分析NumericalAnalysis例如，给定了函数在中互异的个点的值，或者给出了函数的一个表，我们的任务是根据这个表，寻求一个函数来逼近。6数值分析NumericalAnalysis7数值分析NumericalAnalysis对插值问题的思考第一步是根据实际问题选择恰当的函数类；第二步是具体构造的表达式。当然还得考虑插值问题是否可解，如果有解，解是否唯一；插值函数逼近于的误差如何估计，即截断误差的估计；进一步，当插值节点无限加密时，插值函数是否收敛于，即插值收敛问题。8数值分析NumericalAnalysis2.1.2多项式插值9数值分析NumericalAnalysis求插值函数的方法称为插值法，插值点在插值区间内的叫内插值，否则称为外插值。10数值分析NumericalAnalysis若为分段的多项式，就称为分段插值。若为三角多项式，就称为三角插值。若为有理分式(函数)，就称为有理插值。设或表示次数的实系数多项式全体。11数值分析NumericalAnalysis定理2.1

满足插值条件（2.1）的次代数插值问题的解是存在且唯一的。提示：采用待定系数法和Vandermonde行列式直接证明。12数值分析NumericalAnalysis2.1.3插值问题的一般提法

13数值分析NumericalAnalysis14数值分析NumericalAnalysis定理2.2

满足插值条件（2.4）的次插值多项式存在且唯一。15数值稻分析Nu笼me确ri胞ca食l尝An能al象ys介is16数值巷分析Nu驾me弃ri森ca烦l校An教al档ys拼is17数值纽奉分析Nu修me追ri吧ca呆l趣An驼al蛙ys量is18数值沈分析Nu何me坡ri旁ca详l女An赴al驼ys猪is2.锅2拉格周朗日(L休ag牺ra悬ng卷e)插值2.泰2.怎1La朱gr虹an诱ge插值跌多项莫式2.龄2.凶2插值柿余项教及估逗计2.虏2.房诚3线性模插值者和抛减物线拴插值2.共2.挣4截断袋误差泛的事冈后估起计法19数值遇分析Nu蛮me唇ri砍ca瓶l扩An己al福ys阳is2.喷2.看1视La隐gr衔an葡ge插值旷多项贫式20数值狼分析Nu山me累ri结ca步l莲An饺al恢ys难is21数值盼分析Nu孟me生ri和ca闲l秃An碰al欢ys吨is22数值谢分析Nu盆me问ri桥ca渠l待An之al孔ys能is23数值冷分析Nu匆me脚ri恢ca胶l甩An疫al市ys工is24数值枝分析Nu叨me蚀ri觉ca城l壮An周al瞒ys规is我们横称（2.誓7）式葵所表绸示的渗多项获式艺为次La报gr挽an扫ge插值竖多项球式（或淘插值岔多项烈式的La雪gr厦an况ge形式码），盈有时益也称度（2.题7）式冶为次La概gr挤an锻ge插值智公式。一般达情况润下，钳次La顿gr败an扁ge插值聚多项铲式是宏次数存为满的多舒项式因，特妹殊情减况下森其次安数也锁可能恰小于放。25数值口分析Nu应me镇ri肥ca挂l辜An颗al弯ys鹿is26数值擦分析Nu清me列ri讨ca碍l迈An绣al门ys灾is27数值史分析Nu四me斯ri纳ca邪l退An抖al抽ys直is28数值丹分析Nu芬me殿ri议ca对l念An锦al赏ys冒is2.改2.肚2插值严余项浓及估怪计29数值茎分析Nu已me咱ri泉ca踏l写An愧al规ys哈is30数值张分析Nu侨me策ri盘ca分l亩An娇al倚ys郊is31数值棉分析Nu略me也ri惰ca率l改An沟al楼ys兽is32数值皇分析Nu仅me示ri极ca部l饿An添al和ys慨is33数值雁分析Nu脊me送ri赌ca增l崇An宿al散ys值is2.梁2.雾3线性情插值改和抛惭物线米插值34数值锯分析Nu急me角ri蔽ca隐l蔽An渔al痛ys势is35数值纤分析Nu钟me耀ri房诚ca亏l也An鸭al馒ys碑is36数值贤分析Nu搅me啊ri辱ca大l齿An胳al胀ys逝is37数值怖分析Nu告me跃ri蓝ca刊l催An锈al刷ys争is38数值登分析Nu窝me淹ri侄ca铺l徐An讨al披ys古is2.近2.急4截断前误差仪的事剑后估疑计法39数值套分析Nu赴me舌ri其ca拦l军An纷al亮ys搁is40数值籍分析Nu秒me众ri唐ca晚l完An散al洽ys饶is2.发3均差储与牛魂顿插嚷值多诉项式2.贸3.旋1插值荒多项冲式的端逐次啄生成2.撤3.俊2均差薪及其撒性质2.演3.卖3退Ne班wt踩on插值捡多项涛式2.背3.忌4差分两形式恼的牛召顿插厚值公喊式41数值坚分析Nu此me招ri挠ca爹l听An扶al蜜ys饶is2.及3.艺1插值培多项济式的动逐次住生成拉格扯朗日跳插值答多项斯式结徐构简吃单紧秆凑，骗在理歼论分州析中樱比较语方便肤，在道数值减积分女和常泡微分涉方程旷数值君方法峡中经记常使讯用，作但当怠实际错应用多中增博加或县减少痛插值擦节点洁时，煎构造麦插值矮多项虽式的流基函僵数需书要重周新构惭造。42数值遥分析Nu咏me芹ri步ca蓝l壤An联al妇ys辽is拉格高朗日您插值机零次骄式为拉格挣朗日宿插值酸一次市式为上式呢可看心成是左零次眉式的尽修正怨，即43数值日分析Nu浪me吼ri呈ca牺l哑An麻al践ys粗is考察剃有三美个互扛异节结点的翠二次府插值哄，它娘满足理插值泡条件将血表路示为显然暑它满文足44数值洁分析Nu愤me法ri复ca萝l标An蛮al绸ys蝇is上式耻中，冷令施，贡得45数值能分析Nu较me跳ri垦ca吴l蛇An感al帅ys怖is46数值鞋分析Nu违me野ri沫ca护l肆An候al煎ys午is2.角3.右2均差害及其攻性质定义2.芒2设函鼓数园在窜个更互异昌点虹处柳的函如数值段，称为函煤数稻在俘上的零阶嗽均差(差商)，称为陪在转上的一阶图均差(差商)，称47数值晶分析Nu轿me零ri宝ca狮l谋An也al除ys穴is为菌在麦上的二阶物均差(差商)。一恶般地陪，称(2崇.1没6)为霸在浑上的阶均顿差(差商)，即腿函数争的族阶撒差商捕的差醒商称阴为白阶差唐商。48数值菌分析Nu蛾me挂ri首ca努l穴An镇al倾ys寇is在实肺际计费算中卡，常平常采找用表2.职1所示覆差商队表计辟算各侵阶差婶商。49数值泡分析Nu子me全ri患ca洒l绝An描al厕ys律is差商携是微辫商的联离散旗形式姐，且差商早有下厌列几械个主撤要性隔质：50数值察分析Nu盲me华ri什ca魄l培An遮al川ys喊is51数值啊分析Nu冈me狗ri曾ca门l敬An爽al捎ys晴is52数值状分析Nu泉me饶ri爸ca蒸l依An蒜al迅ys球is2.霸3.渡3餐Ne窗wt肿on插值努多项懂式53数值游分析Nu翁me虚ri归ca肃l属An触al橡ys疗is54数值损分析Nu车me举ri语ca贼l电An腿al甚ys坑is55数值愚分析Nu摧me情ri搁ca倍l州An撕al匆ys嚼isNe勉wt发on插值辟公式蔑中各钓项系揉数即出为亲的框各阶羽差商钱，且Ne左wt侨on插值逮多项湾式满便足下挥述递水推关侄系式（2.郑21）56数值辨分析Nu擦me粒ri颠ca绿l泄An袜al葱ys哪is例2.疗6已知抽处的浓函数奶值为作4次Ne舍wt馋on插值滋多项浸式。解：奥首先踢作差晚商表刘如下57数值趋分析Nu废me巾ri根ca丸l刷An棉al站ys筝is从而4次Ne痰wt碧on插值验多项具式为58数值比分析Nu泊me茶ri冈ca追l腿An史al降ys智is2.妻3.无4差分蜜形式律的牛骨顿插鞋值公惯式59数值吊分析Nu禾me谎ri睬ca顺l锡An表al似ys繁is60数值肾分析Nu篇me虽ri仅ca黄l悦An石al坑ys桑is性质1常数慨的向慨前差另分为0。性质2差分辱算子佣为线炉性算篇子。61数值浊分析Nu役me承ri悄ca类l虾An宿al疮ys液is62数值啊分析Nu兵me臭ri洋ca封l燃An辱al浮ys势is性质6函数岭值与翅向前饮差分浆可以歉相互服线性响表出累。63数值仰分析Nu话me竹ri猴ca巴l葛An害al泻ys膨is在牛隔顿插俊值公丽式（2.郊19）中价，利传用性务质7的差膊分代休替均名差。个当秘接近臭节点赢头时稻，令帆则此时（2.邪23）64数值毅分析Nu我me疤ri尊ca祝l颤An保al利ys忆is（2.器24）65数值隆分析Nu产me填ri亡ca植l突An销al妇ys屿is而余乖项为我们予称（2.娃24）式板为牛顿助（Ne滚wt男on）向针前差健分插涂值公形式。（2.基25）66数值直分析Nu缠me开ri哥ca崭l评An稼al放ys寺is67数值端分析Nu言me千ri少ca凡l凳An您al恳ys诵is68数值相分析Nu岁me犬ri遣ca乡丰l梨An废al茅ys初is69数值险分析Nu死me珍ri厘ca详l割An催al芬ys皇is70数值头分析Nu辈me戴ri凭ca雅l纺An识al盾ys酒is2.姑4Ru厨ng惠e现象己与插箭值多轮项式权的收真敛性71数值私分析Nu钞me哈ri丝式ca立l坦An眯al厌ys赵is72数值放分析Nu帽me斯ri约ca垦l锅An森al陕ys蓬is73数值测分析Nu膝me邪ri便ca失l醉An所al佛ys屈is74数值卧分析Nu筋me董ri耍ca劳l今An铃al窝ys棋is75数值委分析Nu挡me赤ri产ca糟l攻An滨al轮ys讨is几点暴启示（1）节招点的随加密盗并不懂能保季证在宋两点开间插妹值函宝数很好砍地逼遣近近。在实穷际应汇用中衰，高蔬次插饲值合很氏少被悦采用誓。（2）考学虑寻抹求新覆的函宝数类坟作插虎值函疼数。对Ru搏ng汽e引例劣来说其，跌是毛一个植有理糊分式冈，可怖考虑彼用有赴理分喝式作缘瑞插值齿函数茂，这恰就是虽有理奏分式赔插值班问题坛。76数值丈分析Nu判me昨ri废ca涨l钟An夹al凶ys岩is（3）既应然导让数发层生激盆烈变冲化，故则可鉴考虑演修改爆插值明条件斑，对龙插值律函数斜的导兽数进克行限速制，暗这就颂是He墙rm赶it宴e型插箩值问分题。（4）在抛整个惊大区白间上悔进行工插值歼会出饰现震坏荡现鼻象，围可考往虑将半大区霉间分污成几笔个小耍区间泪，再金在每颗个小精区间脑上进混行低闹次插派值，蚀这就旗是分尼段插廉值的蛛思想拘。77数值棵分析Nu傍me续ri覆ca野l弟An愚al礼ys鸽is（5）能截否在倒整个兴区间当上寻奖找一械个新鹅的函感数，离它不灯是插村值函跳数，源但却累仍然采是简良单函婆数，吴该函赏数不紫要求柜在节牛点黑处耽的值拐等于躁，枝但要假求它猴对于自大区很间中哈每一筛点的爪误差仰都在尘允许控范围腊内？这种扩逼近绸思想雅将提疏出一汽致逼抬近的且问题干。至于嗽插值及多项稳式的逐收敛促性，Fa首be嗽r证明约了下源面的逮结论售。78数值集分析Nu狗me胁ri紧ca直l返An虑al志ys勒is79数值婚分析Nu卡me钳ri蒙ca削l味An睛al册ys阿is80数值疲分析Nu桨me富ri奥ca墨l正An弊al懂ys兽is81数值递分析Nu鄙me视ri医ca樱l您An滚al江ys发is2.羽5He月rm块it钱e插值在对芦进脾行插公值时爸，有萍时不冈仅要曾求插疫值多棍项式银在节译点处叫等于汤被插朱函数蓬在这印些点班处的封值，构还要化求插博值多贵项式蠢的导猜数在疮这些阀点处旨的值非等于鼠的导丛数在烧这些恭点处缎的值追，即电带指声定导冰数的劫插值检，这饥便是He佛rm验it退e插值央。82数值介分析Nu剪me步ri允ca雕l折An蠢al帖ys薯is83数值示分析Nu课me弃ri脸ca毒l估An骨al占ys路is84数值鬼分析Nu能me炼ri堪ca氧l懒An拜al婆ys拢is85数值在分析Nu出me届ri挤ca叼l寺An义al计ys堆is86数值恒分析Nu帝me摄ri蛇ca缩慧l国An凯al棵ys她is87数值开分析Nu慨me旱ri妄ca桑l澡An茧al易ys铜is88数值色分析Nu梳me有ri况ca巡寿l叠An底al墓ys接is89数值继分析Nu船me寻ri帽ca渗l抽An句al当ys锻is2.览6分段封插值分段绣低次敏插值册是指暑将区屋间陆划分猾为若姓干个增子区笼间，窜在每类个子陕区间裂上采瞧用低祖次插登值多融项式欣逼近达被插筒值函药数。常用凳的分烫段插声值是累分段样线性盲插值呜、分斗段二傻次插播值和届分段释三次He劳rm干it阶e插值势。2.片6.竹1分段努线性淡插值2.漠6.旧2分段附三次He户rm浮it刃e插值90数值针分析Nu神me假ri丙ca膜l鬼An步al捧ys凉is2.存6.绳1分段仰线性哭插值91数值绕分析Nu便me绩ri概ca则l觉An堤al蚂ys厨is92数值伍分析Nu呢me算ri耀ca膨l议An奴al杏ys绢is93数值序分析Nu图me务ri坑ca躁l假An霉al饲ys乔is94数值丙分析Nu刃me痛ri讯ca傍l吹An弹al爪ys唉is95数值仇分析Nu招me膀ri绸ca躺l颈An气al重ys王is96数值成分析Nu后me芦ri钉ca猎l所An片al蓬ys粗is2.肿6.剧2分段菊三次He类rm恐it咽e插值97数值蠢分析Nu蜘me孝ri群ca群l带An问al艳ys刮is98数值煌分析Nu据me弃ri谎ca插l厌An烤al击ys腔is由He循rm使it似e插值扬多项访式可炮知，绳当象时99数值若分析Nu校