数学第四章课件微商与微分

第四章微商与微分

微商概念来自一个连续量随另一个速度量变化的“瞬时”变化率。§1微商的概念及其计算例1变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动求非均匀棒的密度（一点的线密度均匀棒的密度单位长的质量非均匀：建立坐标系0给出质量函数取棒的一段到这段的质量这段上的平均密度越小，就越接近于点的线密度因而例2定义4.1设函数在点附近有定义。对于自变量在点的任一改变量，函数在该点的相应改变量为若极限存在，则称函数在点可导，并称极限值为在点的微商或导数，记为或或说明，微商是一种特殊的极限1微商的定义

上面两个例子：虽然问题的具体意义不同，但仅从数量方面来看，它们都是利用函数的改变量与自变量的改变量之比（即函数的平均变化速度）的极限来刻画这个函数在一点的变化速度，抽象化的。求在它们之比为令取极限，即得函数在的微商给自变量以改变量，函数有对应的改变量例3的微商。求在点的微商。时，函数有改变量它们之比为注意到第三章第三节讲到的两个重要的极限之一，就是因此

当给自变量以改变量例4LQTROAByx为曲线上点在处的法线方程为

处切线（如果存在）的斜率。由此：曲线切线方程为2微商的几何意义①切线:割线的极限位置——切线位置开始割线的极限位置——切线位置①切线:割线的极限位置——切线位置①切线:割线的极限位置——切线位置①切线:割线的极限位置——切线位置①切线:割线的极限位置——切线位置①切线:割线的极限位置——切线位置①切线:割线的极限位置——切线位置①切线:割线电的极织限位疼置——切线遮位置①切业线:割线寻的极矛限位蚀置——切线罚位置①切筹线:割线羞的极机限位霞置——切线预位置①切算线:割线凶的极固限位迈置——切线纸位置①切胀线:求曲徐线在对桥应于处的裹切线玻方程浸和法红线方茫程解：故在对于处的切线方程和法线方程分别为，即，即例5在上景面的蓝定义4.董1中，亦考虑和便有采定义登：或写明成和左导数定义4.1'右导数函数在点可导在点的左，右导数存在且相等。显然：！给敞出了落证不抬可导易的有辅效方槐法定义4.2`若在开区间内每一点都可导，则称函数内可导.在开区间在内可导。且若都存在，则称上可导。在注：或上可导，则对每个都唯一对应数从而定义了一个新函数，称为在设的导函数，简称导数。另外：3.可导换与连笛续的婶关系定理4.抬1证:设在点x处可绍导,存在,因此蹲必有其中故所以服函数在点x连续.注意:函数晒在点x连续凝未必鸟可导.反例:在x=影0处连士续棕,但不优可导.即左极限不等于右极限，即差商的极限所以在点不可导。0xy事实上不存在。不可导点4.微商凭的计眉算原料加工产品基本杯初等京函数凝的微宵商公判式四则上运算复合耀运算微商碗法则初等崖函数胞的微珠商（1）常缸值函胃数（2）其中是正量整数（3）正弦成函数与余揉弦函午数特别（4）对霸数函拌数基本也初等零函数膛的微垄商公劣式微商请的四均则运绝算法超则由定宋理4.糕2可得定理4.贵2反函题数微兼商法兆则若函数在点附近连续且严格单调，又则其反之数在点可导，且证明敏：由在附近每连续升且严逝格单程调，昌则反截函数在点附惊近连穗续且质严格原单调控。因继此，截若则，且尿当时有故由惩复合盈函数器求极目限法授则得。定理4.语3（5）指数变函数：为的反都函数俊而（6）反分三角扣函数到此伴：第宝一步赔基本慌上完透成（季还差顾一点涉）核心鸟，最们重要败：若函数在点可导，在

点可导，则复合函数在点可导，且或定理4.4链式法则：推广到多个。复合扔函数袄求导射法则（7）幂衣函数的微观商特别裕：总结晒：98页航微野商公取式表拜和运慰算法失则。涛要求宝：熟灿记，求解：可视为和的复合，故例7例8，求=解可视为的复合，故设，求例9解可视为的复合，故设（x>柔-1），故求两边胖取对鹅数得解上式缺两边唱对x求导纲得例10因此设，求解塘两边立取对沈数再两篇边对x求导悦得故例11例10和舒例11采用衔的方捧法也贡称为处对数志求导练法，退它简秤化求月导运伞算。剩例11也可酬用链符式法涂则求孤得。嫂因尖为，所柏以函数是初捏等函玻数，质故在属定义减域内朗连续信，但故点不兼可导幅。当时有几何亲上表吐示曲鹿线在x=邀1处的赶切线许平行恭于y轴。下面撇再举竹两个国说明竞函数胳在一办点连广续但平并不弄可导摩的例病子。例12设当时，广函数是可介导的具：显然在连续乖。由幼于极肌限不存励在，后故在点不见可导诊。我肺们知退道，遥当时，不断是地在1和-1之间绕摆动智。从棒图形鹿上看锻就是宋当Q点沿祝曲线郑趋于稻原点循时，秤割线OQ在直等线之间繁摆动蛮。例13注意根，并咽不是套割线搞不断富摆动羽就无潜切线徐。例较如函灶数有故可见在点可来导，沾事实幅上在0点割层线的疤斜率也是闪不断辣摆动仙的，随但它贝有个尊极限能位置y=碍0.§2、微秩分概棵念及府其计墨算复习1、可尸导和镰导数棋（微晋商）斥的概廊念2、无特穷小鸭的比泄较问此昆薄片累面积送改变业了多滥少?设薄窄片边位长为x,面积廉为A,则面积旦的增镜量为关于△x的线性批主部高阶无穷小时为故当x在取得增量时,变到一块似正方肌形金暮属薄耻片受则温度掏变化奇的影借响,引例14边长浙由其一.微分攻的概塑念称为函数在的微分一般浴：函饭数,给自至变量只一个邻改变欺量相应辜地函距数改赌变量是否掏也可痕分成胞类似格的两凤部分从而叔有定术义：垦（可桃微、市微分艰）设在有定传义，蝇如果修对给愚定的，有其中A与无关贞，则况称在x点可准微，并亡称为函须数在点x的微泥分，债记为跃：或上述厌定义松中有套两个童概念感，一归个是腐可微拐的概很念，迎另一印个是慕微分居的概糖念。注意榴：dy既与x有关脚又与铃有关.定义4.毙2从定监义可碑知，瘦微分沈具有第两大仔特性捐：(1或)微分英是自争变量醉的改桥变量讯的线锡性函装数容右易计乔算；(2致)微分蛮与函迎数的雁改变编量之差撕是比高阶校的无庙穷小扔量(1)函数在什么条件下可微？(2)A到底是什么？问题：思路咐（讨丧论）绍：先般看在案可微沫的条纠件下摧：可炭推得歪什么坊结果桐？再甜看：士反过男来是截否成乐立？聚（当划然希兴望成肯立）在点可另微在点可芬导且反之漫：设在点可慎导。御则…从而座有…于是若，则于是即自赢变量志的微耍分等氧于自离变量挤的改园变量悉。从锈而微商鞠就是引微分悔之商定理4.5：函数在点可微的充要条件是：函数在点可导。这时微分中的系数证:

“必要性”

已知在点可微,则故在点的可导,且“充分性”已知即在点的可导,则二许微梢分的升几何撞意义当很小时,则有从而导数贪也叫恼作微商切线稀纵坐痛标的私增量自变片量的疾微分,记作记由定糊理4.宅5知从微誓商公等式表阔可得赌微分赴公式里表，从微术商公恩法则垦可得皱微分冬法则身。当u为自荡变量辜时，摸函数的微吸分为当蔽不河是自槽变量津时，耽而是x的函胜数时，域如何横？三．套微分旺公式肠与运泡算法尸则：重点劲指出料：由微隆分与性微商沾的关蚂系：而，故因此允：无神论u是自卷变量棍还是项中间鲜变量缘瑞，微分骂形式保持桐不变蹦，这戚一性延质称干为一价市微分慨形式幼的不梁变性。，当很小冈时特别常用查：1）2）3）四．肌微分劝在近桶似计请算中蹈的应储用§3．隐芦函数辟与参友数方朱程微返分法前面教讲过百的函归数关避系都愿是用有时纷自变有量与猴因变刮量的进对应龄法则墙由一朝个方市程确杜立，藏即函精数关雁系隐藏业在一勤个方绸程中雹，例.一般串地：，确膀定了吩隐函挨数：例1．方程可以通确定咸隐函副数和它们颤都是混连续赞函数续。但也社可以金确定条隐函纹数它在点不勇连续演。1、隐子函数障微分叔法形式帖给出旅的称吉为显鼓函数僚，而有驱些隐贺函数浮却不加能简余单地攻解出震，假定年在一剖定条授件下院，方程可以度确定杰隐函鹿数并且爪是可驾导的翁：求例2：由方必程确定护隐函忌数，求解：将代入碍方程推，则方选程为怠恒等间式，局即有将视为愤复合昂函数滤，在膝恒等顺式两育边对x求导庙，得恒家等式解得例：也可还以利晕用微迎分运耐算求荣隐函前数的弟导数说，在方披程两边遮求微蛇分得解得例3．已允知，求解：扩在方惩程两养边对x求导闻，并核注意y是x的函掉数，法得解得例4．已知，求解：注在方寄程两岔边取偷对数在方拌程两盛边对x求导淘，并或注意y是x的函变数，愿得解得2．参忆数方织程微夜分法设曲疯线的泉参数惜方程醋为：若有反辫函数，则跳可得作复合屈函数所以也可驻以用味微分陆推导抖：所以例5．已知嫂椭圆饮参数躁方程移为求解：例6．一轮稼子沿改一直炎线滚稀动，朗轮勒子上活一定踩点的礼轨迹碰曲线称为盗旋轮滨线，脏其参税数方行程为求出赢曲线哄上斜鸣率为1的切艘线。解：弄旋策轮线携上任盏一点烟切线侧的斜完率为令，解孕得，它镰对应枪旋轮投线上柴的点故斜坝率为1的切妥线为化简沫得：§4．高村阶微伙商与爸高阶崭微分1．高具阶微余商的耀概念一般鲜地函尝数的导都数仍然脚是x的函代数。可以亡考虑的微姿商称为的二也阶微驶商(二阶飘导数)。记伏为:二阶巧及二缓阶以虏上的惨微商蛮统称露为高厅阶微书商。例1．（n是正槽整数膜），求y的各吩阶导搭数。…躬…，求解得侧：，求解得普：强调躬两点方程尖两边慢再对求导命：例3例22、高熊阶微驰商的标运算色法则都有n阶导较数,则(C为常公数)莱布屈尼兹(L召ei喜bn地iz仪)公式及设函数与二缝项式真展开罚对比侮记忆渴。函迁数的子零阶靠导数票理解负为函脚数本低身。4.商：设，求解：例4例6．设，求解得丧：易证诞：，故注意再：用莱映布尼鸡茨公汇式当氧然可誓以。欣但显尿然是绣自找贺麻烦揉。对3.高阶填微分函数的一许阶微接分是把它瓦看成璃是的函渠数，闹再求约一次怠微分题得称为的二熊阶微登分,记为记为，即注意各：的意划义不绝同。把类似局地定罩义：的阶微牙分为于是这正拼是阶导披数（佛微商旧）缓符京号的催由来雾。一般散地：炭若，由一确阶微扣分形残式不逢变性这时是中抱间变产量，樱故和不再脉独立循，它终们都顷是的函便数，剧故高阶忠