数值计算方法的意义内容与方法

数值计算方法陈研chenyan@

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中国农业大学资源和环境学院

2005年9月§1数值计算方法的意义、内容与方法软件的核心就是算法。20世纪最伟大的科学技术发明---计算机计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能；计算机的发展和应用，已不仅仅是一种科学技术现象，而且成了一种政治、军事、经济和社会现象；没有软件的支持，超级计算机只是一堆废铁而已；算法犹如乐谱，软件犹如CD盘片，而硬件如同CD唱机。算法的研究和应用正是本课程的主题！现代科学研究的三大支柱理论研究科学实验科学计算计算数学21世纪信息社会的两个主要特征：“计算机无处不在”“数学无处不在”21世纪信息社会对科技人才的要求：--会“用数学”解决实际问题--会用计算机进行科学计算建立数学模型选取计算方法编写上机程序计算得出结果科学计算解题过程一、计算数学的产生和早期发展计算数学是数学的一个古老的分支，虽然数学不仅仅是计算，但推动数学产生和发展的最直接原因还是计算问题。

二、二十世纪计算数学的发展数值代数

最优化计算

数值逼近

计算几何

概率统计计算

蒙特卡罗方法

微分方程的数值解法

微分方程的反演问题

数值计算的主要内容数值代数：方程求根、线性方程组求解、特征值和特征向量的计算、非线性方程组的求解；数值逼近：插值、数值微分和积分、最小二乘法；微分方程数值解：常微分方程数值解；偏微分方程数值解：差分法有限元法有限体积法教材

数值计算方法徐涛

编著（吉林科学技术出版社）参考书目

应用数值方法使用MATLAB和C语言

RobertJ.Schilling&SandraL.Harris（机械工业出版社）

NumericalRecipesinC++TheArtofScientificComputingSecondEdition

WilliamH.Press

等著

（电子工业出版社）

现代数值分析

李庆扬、易大义、王能超

编著（高等教育出版社）

§2算法一、算法的概念描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言（算法语言）给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌。

定义：由基本运算及运算顺序的规定所构成的完整的解题步骤，称为算法。例1：一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48，要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？算术方法：若没有小兔，则鸡应是17只总腿数：2＊17＝34一只小兔增加2条腿，应该有只小兔10只小鸡代数方法：设有x只小鸡，y只小兔，(-2)*(i)+(ii),得只小兔高斯消去法例：求解二元一次联立方程组用行列式解法：首先判别

（1）如果，则令计算机计算

输出计算的结果x1，x2。（2）如果D=0，则或是无解，或有无穷多组解。是否为零，存在两种可能：令通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：S2计算S3如果则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;否则S1输入S4输出计算的结果输入D=a11a22-a12a21D=0开始输出

x1,x2

结束

No输出无解信息Yes二、算法的优劣计算量小存贮量少逻辑结构简单例：用行列式解法求解线性方程组:n阶方程组，要计算n+1个n阶行列式的值，总共需要做n!(n-1)(n+1)次乘法运算。

n=20需要运算多少次？n=100?一、误差的背景介绍1.来源与分类从实际问题中抽象出数学模型

——模型误差§3数值计算中的误差例1:质量为m的物体，在重力作用下，自由下落，其下落距离s与时间t的关系是：（1.1）其中g为重力加速度。通过富测量嫁得到络模型级中参悦数的欢值——观测朗误差求近坏似解燃—忧—永方法景误差(截样断误乱差）机器木字长巾有限仆—双—舍入撒误差用计浇算机惕、计珍算器央和笔坦算，据都只午能用鲁有限完位小母数来代否替无堆穷小滨数或变用位林数较族少的日小数钉来代爆替位逆数较吊多的有变限小斯数，加如：=魂3.涉14灵15霜92绵6…x=宝8.此12嚷34厘5四舍述五入痛后…文…在数值旦计算凝方法繁中，喊主要拣研究截断应误差和舍入敬误差（包矛括初位始数斑据的幼误差夸）对嫁计算惧结果收的影避响！二、谈绝对恶误差骗、相呈对误描差和项有效盆数字1．折绝对车误差剧与绝矮对误翼差限例2:若殿用以完厘米吩为最得小刻报度的浆尺去扰量桌个子的姻长，大约挥为1.湖45米，端求1.孤45米的砌绝对仆误差境。1.命45米的绝对眼误差跪=？不知仰道！定义1：设x是准确值，x*为x的一个近似值，称

是近似值x的绝对误差,简称为误差。

（1.5）但实际问题往往可以估计出不超过某个正数，即，，则称

为绝对误差限，有了绝对误差限就可以知道x范围为即x落在内。在应用上，常常采用下列写法来刻划x*的精度。2．相对绘误差伴和相系对误须差限（1.6）定义元2：设x是准评确值悉，x*是近很似值殊，称满足 为近似值x的相对误差，相应地，若正数，则称为x的相对误差限。3．有效秧数字则说x*近似洪表示x准确桌到小登数后德第n位，光并从纲这第n位起直到阀最左拨边的芒非零强数字而之间卡的一牧切数糕字都胃称为有效骨数字，并把灵有效稿数字砍的位项数称滴为有效凑位数。定义塞3：如果（1.7）由上矿述定展义有效数位为3位有效数位为5位有效数位为4位误差巾的传亩播与结积累例3冲：蝴蝶杨效应——室纽充约的运一只恭蝴蝶馅翅膀写一拍咐，风归和日桥丽的笼北京皇就刮烤起台饥风来酷了？跨！NYBJ以上且是一藏个病严态问戒题§4数值黎计算予中应望该注歼意的莲一些载原则1．要种使用促数值脆稳定孝的算细法例4：求

（n=0,1,2,…,8）的值。解：烟由于初值递推轨公式（1.8）注意胸此公絮式精确成立按(1案.8您)式就谦可以宵逐步笔算出Wh壤at桶h寸ap裁pe暂ne蛾d?腿!不稳丧定的腐算法胳！由递符推公此式（1腊.8吧）可看薄出，In-1的误养差扩个大了5倍后走传给In，因而辈初值I0的误炊差对贫以后荷各步遮计算侵结果吨的影裳响，灰随着n的增谜大愈来戴愈严完重。汤这就市造成I4的计看算结斤果严具重失羞真。这就矮是误帜差传相播所咱引起炕的危侍害!改变晒公式疫：将公式变为不妨归设I9I10，于是投由可求销得I90.思01得7，按公骆式（1委.9仪）可逐冲次求泉得（1.9）I80.杆01筹9I70.窃02尽1I60.牲02皱4I80.较02络8I40.史03慕4I30.坐04耳3I20.菊05衣8I10.熊08交8I00.绍18鄙2稳定罚的算苦法秧！在我她们今躺后的曾讨论产中，误差将不予可回防避，算法凡的稳定冈性会是牲一个营非常翁重要裕的话闸题。2．要邪避免弯两个狂相似竞数相迟减在数偏值计溉算中腿，两仙个相尽近的阀数作段减法偷时有鲜效数午字会闷损失京。（1.10）的值。当x=耕10栏00，y的准庭确值概为0.鉴01言58叙01、直接调相减2、将（1贴.1学0）改写罢为则y=荣0.代01镜58怎1例5:求类似妨地2.绝对株值太枝小的默数不茂宜作弃除数例6：如分拒母变群为0.烟00趁11，也优即分坚母只承有0.王00章01的变尖化时3.仔避晶免大册数吃小数例7：用单精度计算的根。精确狭解为算法1：利用求根公式在计离算机染内，慨109存为南0.翠11咐010，1碰存为滚0.嚼11在01。做加杂法时历，两滋加数胜的指搁数先下向大核指数仇对齐烈，再货将浮迫点部插分相帝加。骡即1浑的予指数埋部分劲须变楼为1010，则恼：1印=扶0厨.0旗00崇00岛00洋00特1愚1010，取抽单精现度时抽就成姜为：109+1抵=0赢.1究00嗽00激00愤01虎010+0辨.0豆00准00米00挪0熔1里010=0中.1密00谱00评00棵0舰1番010算法2：先可解出注：求和娱时从绵小到慌大相宋加，怜可使蔽和的丘误差寒减小撇。例8溉：按壳从小华到大劣、以亮及从学大到惭小的说顺序朋分别塌计算4.绝先厦化简连再计盼算，足减少呜步骤俱，避悼免误订差积批累。一般我来说火，计辣算机细处理幕下列腊运算扑的速殃度为1恰+杨2睬+拐3甩+骄…好+绍40爹+蛛1件09再利访用5.胖算法络的递推偏